分類討論思想在初中數學解題中運用概述

蘇仕亮

(江蘇省連云港市歡墩中學 222133)

初中學生入學后在學習數學方面面臨著知識和方法的雙重變化，由于個性與思維在初中階段處于一個高速發展階段，因此適宜進行數學思想的啟蒙與教學.分類討論是一種相對簡易、普通而且實用的數學思想，對初中學生而言能夠起到重新審視數學問題、分類化解學習目標并合理進行比較研究的思維作用，能幫助學生將復雜問題簡化為若干個簡單問題，更容易達成解題目標，因此適宜在課堂上進行指導性的教學.

一、分類討論思想的概述

1.分類討論思想在初中數學中的意義

分類探討思想方法能把完整的數學概念轉化為零散的數學細節，實現可靠的歸納分析.分類探討思想是指根據數學對象的性質是否相同，將其分為不同的類別.素質教育的改革與發展，使初中數學教學體系逐步向素質教育過渡，分類探討思想有助于提高學生數學思想的嚴謹度和數學知識的實踐性，幫助學生對所學知識進行歸納、總結.根據應試教育的要求，運用分類討論法，可以提高學生解決數學問題的能力.分類探討思想符合初中生的思維方式.運用分類探討思想，有利于學生理清思路，提高數學思想能力，增強創新意識和實踐能力.

2.分類討論思想在初中數學中的應用

分類思想是近年來在數學中考中常見于綜合考察題型，一般在一二個分支題后的第三分支題中有所體現，重點考察學生靈活運用初中數學知識的能力.通常此類題型通過強行計算也可以得出正確答案，但應用了分類思想后，學生更容易通過綜合分析化解此類數學問題中比較繁復的計算，因此廣大初中數學教師應該把分類討論思想作為初中數學教學中的一個重點來對待.一般來說，初中數學的分類思想容易出現在有理數和絕對值題型、幾何與函數相關題型、對數與公式題型等等.

3.分類討論思想在初中數學中的現狀

當前一些初中數學教師教學方法仍然殘留著傳統教學理念的影響，在分類討論思想的教學方面生搬硬套書本例題，學生反而會對分類討論思想產生不正當的認知，認為簡單地一分為二就是分類討論，導致學生對分類討論法并不熱衷，認為不如直接計算方便，這對初中學生的思維發展非常不利.分類討論思想的目的是激發學生的創新思維，養成獨立、全面分析問題的習慣，不能簡單地以工具強行向學生“推銷”.

二、分類討論思想在初中數學解題教學中的運用策略

1.培養學生模仿教師分類討論

課堂教學是培養初中學生分類討論思想最好的溫床，不僅僅局限于習題課，在新知教學中借助溫習舊知是滲透數學思想的重要教學環節，溫故知新，而且能夠幫助學生對舊知與新知完成橫向比較，并引發學生們的思考，在腦海中自動將數學知識進行分類與對比，餅自動歸集到已掌握知識的體系中，試圖為這些數學知識找到合適定位.因此，初中數學教師可以將知識進行模塊化，對數學知識點進行科學分類，并為學生指出分類標準，例如有理數與無理數之間的分類原則和標準，然后就這些分類標準引發當堂探討，使學生感受到分類的必要性，強化對數學知識的分類處理意識，并且模仿教師進行主動對數學知識歸集整理，研究基本條件對象的劃分標準，進一步認知與接觸分類討論思想.

2.組織學生學生分組討論分類思想

初中學生對于思想的認知是不完整的，因此對于數學思想的認知傾向于具體的、可執行的方法，數學教師不要給予糾正初中學生的這種認識，而是應該在學生接觸并將數學思想工具化一段時間后，在與學生們討論對于接觸分類討論思想的經驗和認識，防止學生將分類討論思想復雜化，影響使用數學工具的效率.例如絕對值知識是一個應用分類討論思想很好的教學課程，可以組織學生對三類絕對值進行分類討論，在課堂上分組教學法能夠促使學生們在思想交互中對分類討論思想的認知從碎片化逐漸全面化，及時發現自己認知上的錯誤.

3.掌握學生的學情并及時加以指導

教師應對學生應用分類討論思想的學情進行及時掌握，發現哪些學生路線正確，哪些學生對分類討論思想的理解有誤區，哪些學生拒絕接受分類討論思想，等等.一般情況下教師在當堂教學中并不一定能夠及時掌握所有學生的學情，通常情況下都是通過課后作業來進行梳理，但不全面，因為有些學生分類討論問題的時候并不一定是本著思想指導，教師還要綜合考慮預留作業考察知識的全面性，教師通過循序漸進的復雜習題進行掌握和排查，逐步摸清學生是否真正理解了分類討論思想的基本原則，通過增設數學實踐讓學生對分類原則進行科學化，做到有的放矢.

三、分類討論思想在數學中的應用實例

1.分類討論思想在初中幾何中的應用

初中幾何以圖形知識為主，通常在圖形關系之間存在分類討論的空間.例如圓與直線之間距離與半徑之間的數量關系，在什么條件下相交，什么條件下相切，什么條件下相離，這就是分類討論思想在判斷先決條件方面的實踐應用.再例如當某種條件成立時，圖形出現某種情況，而另一種特殊條件成立時，圖形變化為某種情況，此類分類討論在高中函數、方程中是家常便飯，因此在初中階段為學生培養分類討論思想對學生日后的影響十分有意義.

2.分類討論思想在初中在代數中的應用

初中代數知識通常對學生注重進行邏輯考察和訓練，主要培養的是數學思想中的推理思想，而幾何與代數的問題轉化又屬于轉化思想，如果在一堂課中貫穿了多種數學思想，學生們就會產生迷惑，因此要有意識地強調代數問題解法的多重性，將解代數問題植入分類討論思想.應用兩分法探討線性不等式中是一個比較容易應用分類討論思想的題型設計，通常此類題型設計采用多種選擇的形式，讓學生判斷哪一種方案最優，一般在考試中都以實例應用題看，例如某個公司以固定預算購買A、B兩種產品，這兩種產品各購買多少是最經濟性的方案，諸如此類問題就應該分兩步用分類討論思想進行驗證，避免出現選項產生遺漏、不完善等現象.

3.分類討論思想在初中生活題中的應用

當前初中數學貫徹生活教育，在貼近生活的題型中考察學生的邏輯能力和理解能力，融入一些社會生產生活知識，幫助學生提前完成公民教育.這些生產生活知識中較為常見的是融合了統計學、方案優選等實踐案例，最適合初中數學教師在其中穿插分類討論教育.例如社會生產的實踐課題往往采用此類命題：某工廠生產某種產品10噸，自主銷售每噸利潤1000元，如果加工成初級產品每噸利潤2000元，由于人力資源有限，只能采取兩種產品同時銷售的辦法，必須在4天之內清倉，問采用什么配比方案能夠利潤最大化？這種問題只有分類討論的方式最適合摸清兩種銷售方式的利潤總量，然后才能從經濟角度進行銷售方案的配比與設計，學生們在模擬社會實踐的環境下鍛煉分類討論能力，這種題型對學生的綜合思維能力也大有裨益，近年來是初中數學命題的熱門點，因此教師有必要設計此種題型培養學生的分類討論思想，將社會實踐活動滲透到數學教學.

一般來說，初中學生在教師有目的地指導下，都能夠比較清晰地掌握分類討論思想，也會形成一個應用分類討論思想的標準，讓學生在初中數學階段應對復雜性考題時能夠注意運用、熟練掌握分類討論思想，對學生日后學習高中數學大有幫助.為達到教學目標，教師需要客觀地幫助學生講解和指導分類討論思想的應用場合，不要為了教學目標而使學生刻意去運用指導思想，導致學生解題時面臨過多壓力，或者過度依賴分類討論思想，要注意數學問題的特殊性，雖然數學問題一題多解是常態化的，但應該應該立足于審題的基礎上，客觀評價和選擇最優解決辦法.