導數在高考中的應用分析

◇ 山東 劉士臣

導數是高考數學的必考內容,是解決相關問題的重要工具,在歷年高考中,導數常與方程、函數及不等式等知識點交會進行考查,往往一個高考題涉及多個方面的知識．下面我們通過分析高考題來分析導數的具體應用．

例1已知函數f(x)＝2x3－ax2＋2．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當0＜a＜3時,記f(x)在區間[0,1]的最大值為M,最小值為m,求M－m的取值范圍．

解析

本題考查了學生的運算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想的應用．

(1)易知f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0,得x＝0或,若a＞0,則當x∈時,f′(x)＞0；當時,f′(x)＜0,故f(x)在上單調遞增,在上單調遞減．若a＝0,f(x)在(－∞,＋∞)上單調遞增．若a＜0,則當＋∞)時,f′(x)＞0；當時,f′(x)＜0,故f(x)在上單調遞增,在上單調遞減．

(2)當0＜a＜3時,由(1)知,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增,故f(x)在[0,1]的最小值為,最大值為f(0)＝2或f(1)＝4－a．于是所以

當0＜a＜2時,可知單調遞減,所以M－m的取值范圍是．當2≤a＜3時,y＝單調遞增,所以M－m的取值范圍是

綜上,M－m的取值范圍是

點評

含參數函數單調性的討論,關鍵在于確定參數的分界值．解題時易犯以下兩個錯誤：①對參數a未討論或對a分類不全面,易忽略a＝0的情形而導致失分；②當a＞0時,f(x)在(－∞,0),單調遞增,中間應該用“,”或“和”連接,寫成就會導致失分．

例2已知函數f(x)＝2 sinx－xcosx－x,f′(x)為f(x)的導數．

(1)證明：f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍．

解析

本題考查了學生的推理論證、運算求解能力以及靈活運用數形結合思想去分析和解決問題的能力．

(1)設g(x)＝f′(x),則

g(x)＝cosx＋xsinx－1,g′(x)＝xcosx．

(2)由題設知f(π)≥aπ,f(π)＝0,故可得a≤0．由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一個零點,設為x0,且當x∈(0,x0)時,f′(x)＞0；當x∈(x0,π)時,f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)上單調遞增,在(x0,π)上單調遞減．

又因為f(0)＝0,f(π)＝0,故當x∈[0,π]時,f(x)≥0．當a≤0,x∈[0,π]時,ax≤0,故f(π)≥aπ．因此,a的取值范圍是(－∞,0]．

點評

本題第(2)問充分利用了第(1)問的結論,使問題大大簡化了．