幾類間斷點(diǎn)與原函數(shù)存在性的關(guān)系辨析

于曉要 李 娜

（商丘工學(xué)院，河南 商丘 476000）

1 引言與預(yù)備

高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中對(duì)函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性給出了一些簡(jiǎn)單闡述，主要結(jié)論如下定理[1-2].

定理1 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在I上存在原函數(shù).

定理2 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上可積.

定理3 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只存在有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上可積.

文獻(xiàn)[3]-[5]也對(duì)函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性進(jìn)行了進(jìn)一步研究和探討.本文僅對(duì)間斷點(diǎn)的類型給出幾個(gè)結(jié)論，比較具體地討論間斷點(diǎn)與函數(shù)的可積性、原函數(shù)存在性的關(guān)系.

2 主要結(jié)論

結(jié)論1 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上可積，但原函數(shù)不存在.

證明 由定理3可得f(x)在[a，b]上可積.下證f(x)在[a，b]上的原函數(shù)不存在.

設(shè)x0∈(a，b)是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，則f(x0-)、f(x0+)都存在.用反證明法，假設(shè)f(x)在[a，b]上存在原函數(shù)F(x)，即F'(x0)=f(x0)，由洛必達(dá)法則可得

結(jié)論2 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在有限個(gè)無窮間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上不可積，且不存在原函數(shù).

因?yàn)閒(x)在[a，b]上無界，所以不可積.類似結(jié)論1 的證明可得原函數(shù)不存在.

上面已經(jīng)討論了第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)中的無窮間斷點(diǎn).在下面的討論中，把第二類間斷點(diǎn)中的震蕩間斷點(diǎn)分為有界震蕩、無界震蕩兩種類型.

結(jié)論3 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在有限個(gè)有界震蕩間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上可積，原函數(shù)可能存在也可能不存在.

由定理3容易得，f(x)在[a，b]上可積.下面的兩個(gè)例子說明了原函數(shù)可能存在也可能不存在.

圖1

圖2

事實(shí)上，在x≠0時(shí)，f(x)的原函數(shù)為

而無論a是哪個(gè)常數(shù)，F(xiàn)(x)在x=0處均不可導(dǎo).

結(jié)論4 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在有限個(gè)無界震蕩間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上不可積，原函數(shù)可能存在也可能不存在.

在x=0處不可導(dǎo).

圖4

圖3

3 結(jié)語

根據(jù)上面的討論可得，一個(gè)函數(shù)在含有間斷點(diǎn)的區(qū)間上存在原函數(shù)，那么該間斷點(diǎn)必定是震蕩間斷點(diǎn)，且原函數(shù)是否存在與間斷點(diǎn)處有界震蕩還是無界震蕩無關(guān).可積性與原函數(shù)存在性之間沒有必然的蘊(yùn)含關(guān)系，是相互獨(dú)立的概念.存在既不可積也不存在原函數(shù)的函數(shù)（如例4），只有可積且存在原函數(shù)的情形才成立牛萊公式.