基于Stewart 平臺(tái)的艦船運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的軌跡研究

邵云龍，吳建民，嚴(yán)昊

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院）

0 引言

艦船水上航行時(shí)，由于受到海浪的劇烈干擾，從而影響艦船的航行安全[1]，模擬運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)用引起了研究人員的廣泛關(guān)注[2]。若按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對(duì)艦船運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)進(jìn)行分類(lèi)，大體可以分為串聯(lián)式和并聯(lián)式。其中，串聯(lián)式的剛度較差、承載能力較小，而并聯(lián)式具有很高的結(jié)構(gòu)緊湊性，并且剛度性很高,承載能力大。此外，并聯(lián)式模擬平臺(tái)累積誤差相比串聯(lián)式而言較小，彌補(bǔ)了串聯(lián)式在相關(guān)層面的不足。東北大學(xué)叢愷[3]設(shè)計(jì)了一款三自由度船舶模擬平臺(tái)，青島黃海學(xué)院的李曉巖[4]等人設(shè)計(jì)了一款可進(jìn)行5 個(gè)自由度模擬的艦船模擬平臺(tái)。現(xiàn)有船舶模擬器的標(biāo)準(zhǔn)中，沒(méi)有明確提出對(duì) Stewart 平臺(tái)模擬不同海況下船舶運(yùn)動(dòng)的相關(guān)技術(shù)要求[5]。本課題采用并聯(lián)Stewart 平臺(tái)對(duì)在海洋中受到波浪劇烈影響的船舶進(jìn)行仿真研究，并根據(jù)上述進(jìn)行艦船模擬平臺(tái)的相關(guān)設(shè)計(jì)。

1 艦船運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)參數(shù)設(shè)計(jì)

艦船運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)采用Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)建造。其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：上平臺(tái)直徑Ra為300 mm，下平臺(tái)直徑Rb為400 mm。當(dāng)平臺(tái)處于初始位置時(shí)，下平臺(tái)到上平臺(tái)的距離h 為450 mm，各個(gè)桿長(zhǎng)li均為470 mm。

上平臺(tái)相鄰較近的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為77.4 mm，相鄰較遠(yuǎn)的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為424.26 mm。上平臺(tái)的各個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系如圖1 所示。

下平臺(tái)相鄰較近的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為103.2 mm，相鄰較遠(yuǎn)的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為565.68 mm。下平臺(tái)的各個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系如圖2 所示。

圖1 上平臺(tái)的各個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系圖Fig.1 Positional relationship diagram between the hinge points of the upper platform

圖2 下平臺(tái)的各個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系圖Fig.2 Position relationship diagram between the hinge points of the lower platform

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

為了更為清晰地描述上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，令Bi和bi分別表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的下鉸點(diǎn)和上鉸點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上、下鉸點(diǎn)分別位于半徑為Ra，Rb的圓周上。上平臺(tái)的原點(diǎn)設(shè)為O1點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O1-XYZ。下平臺(tái)的坐標(biāo)原點(diǎn)記為O，建立坐標(biāo)系O-XYZ。當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于初始狀態(tài)時(shí)，下平臺(tái)的坐標(biāo)系Z 軸將穿過(guò)O1點(diǎn)。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的初始高度為H，Stewart 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖3 所示。

圖3 Stewart 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.3 Stewart platform kinematics model

Stewart 平臺(tái)在空間進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)太過(guò)復(fù)雜，需要一種可以描述空間姿態(tài)的方法，故基于此采用RPY 法對(duì)空間姿態(tài)進(jìn)行描述。其中，X，Y，Z 三軸分別為固定坐標(biāo)系的3 個(gè)坐標(biāo)軸，α，β，γ則代表繞X，Y，Z 軸分別轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)角。則動(dòng)坐標(biāo)系的最終姿態(tài)矩陣為

若將上平臺(tái)鉸點(diǎn)在體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)寫(xiě)成齊次坐標(biāo)，其形式可表示為

當(dāng)上平臺(tái)進(jìn)行姿態(tài)變換后，可利用RPY 變換方程將上鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)用矩陣F 表示

若將下平臺(tái)鉸結(jié)點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)寫(xiě)成齊次坐標(biāo)，其形式可表示為

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

2.1.1 桿長(zhǎng)伸縮量分析

利用運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的上、下鉸點(diǎn)之間的距離減去初始的桿長(zhǎng)就可以得到相應(yīng)桿的伸縮量，即：

式中：Δli，l0，li——液壓缸的伸縮量、液壓缸的初始長(zhǎng)度值以及液壓缸此時(shí)的長(zhǎng)度值。

2.1.2 速度變化分析

我們可以用構(gòu)建速度矢量圖的方法來(lái)更加直觀(guān)地研究速度變化分析。如圖4 所示，li表示驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度，RAi可以表示驅(qū)動(dòng)桿上鉸結(jié)點(diǎn)在體坐標(biāo)系中矢量。RBi可以表示驅(qū)動(dòng)桿下鉸結(jié)點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的矢量，動(dòng)坐標(biāo)系中的原點(diǎn)矢量用R表示。另外，用RBi來(lái)表示驅(qū)動(dòng)桿上鉸結(jié)點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的矢量。

圖4 速度矢量圖Fig.4 Speed vector

則，Stewart 平臺(tái)的速度反解為

式中：v——各個(gè)支桿的伸縮速度，v=[v1v2v3v4v5v6]T；J——輸入速度對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位姿速度的一階影響系數(shù)矩陣

式中：RBi——上平臺(tái)鉸結(jié)點(diǎn)Bi相對(duì)于體坐標(biāo)系原點(diǎn)的位矢；ei——第i 個(gè)支桿的單位向量。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

已知Stewart 平臺(tái)的6 個(gè)電動(dòng)缸的伸縮量，以此來(lái)求解上平臺(tái)位姿。這種運(yùn)算過(guò)程被稱(chēng)為Stewart 平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。在實(shí)際研究過(guò)程中，上平臺(tái)位姿不易測(cè)量，然而又需要監(jiān)控機(jī)構(gòu)的運(yùn)行位置以保證機(jī)構(gòu)的安全運(yùn)行，因此，對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是十分必要的。

解方程，可以求出上平臺(tái)任意時(shí)刻的位姿。

將g（q）在初始位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取得其線(xiàn)性部分，得

若要令Δqj=qj-q0j，則式（9）可寫(xiě)成

若將式（10）看為以Δqi為未知數(shù)的線(xiàn)性方程，那么系數(shù)矩陣J 為

在此計(jì)算過(guò)程，由于將正解的初始值設(shè)為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于初始位置的狀態(tài)，并且每一步都有解析的形式，保證了算法的收斂性、計(jì)算速度以及運(yùn)算效率。

3 機(jī)構(gòu)的仿真

3.1 MATLAB 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

將仿真得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散，并將其導(dǎo)入到MATLAB 中已編制好的六自由度平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的程序中，得到各液壓缸的位置變化參數(shù)，并繪制成圖，如圖5 所示。

圖5 桿長(zhǎng)變化曲線(xiàn)Fig.5 Variation curve of rod length

3.2 ADAMS 機(jī)構(gòu)仿真

建立Stewart 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的三維模型是進(jìn)行ADAMS 運(yùn)動(dòng)仿真的基礎(chǔ)步驟，但由于ADAMS自帶的建模工具三維造型能力略顯不足，因此采用SolidWorks 進(jìn)行三維建模、ADAMS 運(yùn)動(dòng)仿真，充分發(fā)揮兩款軟件各自的優(yōu)點(diǎn)，提高工作效率。

將由SolidWorks 得到的裝配體以Parasolid 格式導(dǎo)出，并將其導(dǎo)入到ADAMS 中，導(dǎo)入成功后，對(duì)各個(gè)零部件重命名、賦予材質(zhì)及其他特性。此外，根據(jù)各個(gè)零部件不同的運(yùn)動(dòng)情況賦予其相應(yīng)的約束。其中，下平臺(tái)與大地通過(guò)固定副連接在一起，上、下平臺(tái)與上、下平臺(tái)虎克鉸支座通過(guò)固定副相連，上、下虎克鉸通過(guò)十字架與活塞桿和缸體進(jìn)行萬(wàn)向節(jié)副的連接，活塞桿和缸體間可以以圓柱副相連。活塞桿與缸體間需要添加移動(dòng)副。圖6 為Stewart 平臺(tái)的虛擬樣機(jī)。

圖6 Stewart 平臺(tái)的虛擬樣機(jī)Fig.6 Virtual prototype of Stewart platform

為了對(duì)艦船模擬平臺(tái)進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)分析，可以假設(shè)艦船在不規(guī)則的波浪中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為一系列規(guī)則正/余弦運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的疊加，設(shè)該艦船模擬平臺(tái)的位姿參數(shù)為（Px，Py，Pz，α，β，γ）的正/余弦運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

Px=50sin（0.06πt）Py=50sin（0.03πt）Pz=70sin（0.02πt）α=0.14sin（0.03πt）β=0.14sin（0.04πt）γ=0.24sin（0.60πt）

上平臺(tái)中心點(diǎn)位置及速度變化如圖7、圖8所示。

圖7 上平臺(tái)中心點(diǎn)位置變化Fig.7 Change of center position of upper platform

圖8 上平臺(tái)中心點(diǎn)速度變化Fig.8 Speed change of center point of upper platform

則可以得到任意液壓缸的位移及速度變化，如圖9、圖10 所示。

將上述6 個(gè)液壓缸的位移變化曲線(xiàn)離散成坐標(biāo)，然后制成樣條曲線(xiàn)。并將其作為驅(qū)動(dòng)，可以得到符合上平臺(tái)目標(biāo)函數(shù)的軌跡，有效加快了模擬平臺(tái)的設(shè)計(jì)和建立的速度。

圖9 任意液壓缸的位移變化Fig.9 Displacement change of any hydraulic cylinder

圖10 任意液壓缸的速度變化Fig.10 Speed change of any hydraulic cylinder

3.3 ADAMS 機(jī)構(gòu)控制仿真

PID 控制已經(jīng)成為應(yīng)用最為廣泛的控制方法，其主要組成部分有比例單元P、積分單元I和微分單元 D，具有穩(wěn)定性好、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)。基于此采用經(jīng)典的PID 控制方法對(duì)虛擬樣機(jī)進(jìn)行控制仿真，利用ADAMS 中提供的控制模塊搭建PID 控制系統(tǒng)。在ADAMS 中搭建PID 控制系統(tǒng)的過(guò)程中，需要設(shè)置輸入環(huán)節(jié)、PID 控制相關(guān)參數(shù)、比較環(huán)節(jié)等，以完成相關(guān)的控制指令。如圖11 所示。

仿真結(jié)束后，可以得到任意液壓缸的位移、速度變化分別如圖12、圖13 所示。

由仿真曲線(xiàn)可以看出，PID 控制系統(tǒng)能顯著降低液壓缸的位移變化，在PID 控制情況下，響應(yīng)幅值較開(kāi)環(huán)時(shí)有大幅度的降低，仿真結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)的PID 控制系統(tǒng)對(duì)于振動(dòng)的抑制有明顯效果。

圖11 在ADAMS 中建立控制系統(tǒng)的相關(guān)環(huán)節(jié)Fig.11 Relevant links for establishing a control system in ADAMS

圖12 PID 控制下的任意液壓缸的位移變化Fig.12 Displacement change of any hydraulic cylinder under PID control

圖13 PID 控制下的任意液壓缸的速度變化Fig.13 Speed change of any hydraulic cylinder under PID control

4 結(jié)論

仿真結(jié)果表明該艦船運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)設(shè)計(jì)的正確性，并且表明此PID 控制系統(tǒng)可以對(duì)振動(dòng)進(jìn)行有效的抑制。研究結(jié)果為后續(xù)的減震方法研究提供了新的思路，具有一定的實(shí)際意義。