利用數學模型解決金融學問題

張梓杰 江蘇省蘇州市昆山震川高級中學

一、引言

數學是一切理科的基礎，是一門十分重要的基礎學科。數學理論的不斷發展，也推動了其他學科的發展。以物理學為例，利用數學中的函數與導數知識，我們可以研究物理變量的變化趨勢，探索自由落體的規律，研究電磁相互作用等。利用數學知識，我們還可以進行金融分析；利用函數，我們可以精確地描繪出各種金融量之間的關系，利用導數，我們可以研究金融變量隨初始投入或時間推移的變化趨勢。所以，運用數學模型解決金融與經濟問題，可以更準確地研究金融與經濟規律，促進金融產業的健康穩定發展。

二、數學模型

應用數學知識，通過數學模型的建立，可以為我們較為精確、客觀地描述生產生活中的問題。研究生產生活中的變量之間的關系，并用具有數學含義的公式描述這種關系，就是建立數學模型的過程。在對數學模型求解的過程中，我們可以得到解決實際問題的方法。在遇到十分復雜的問題或者在解決不可量化的問題時，我們可能需要對問題的產生原因進行深入的分析，確定不同變量之間的關系，將不可量化的影響因素轉變為數學模型中的參數，從而將復雜的問題簡單化、直觀地將問題表達出來。在利用數學模型求解的過程中，應當注意到現實問題的約束條件。比如，商品的產量和售價不可以是負數；在投資回報率為負數時，投資策略是不可行的[1]。利用數學模型，我們可以高效地解決許多領域中的復雜問題。因此，數學在生態學、金融學、醫學等領域都有著十分廣泛的應用。

三、數學模型在金融學中的實踐應用

金融是一門快速發展的學科，在企業的存貸管理、投資決策、市場分析、戰略制定中有著十分廣泛的應用。利用數學模型，我們可以精確地分析在實踐中遇到的金融學問題，幫助企業的經營者及管理者更好地解決遇到的存貸問題、投資管理問題，更高效地分析市場需求及對手戰略，促進企業的發展。

（一）利用數學模型解決存貸問題

在解決存貸問題的過程中，我們需要用到指數函數的知識。實際上，指數函數在生物學、公共衛生、社會學、金融學等領域，都有著十分廣泛的應用。在對生物的繁殖規律、細胞的生長分裂以及一些正反饋的研究中，我們都要用到指數函數。指數函數的一個重要特點是，它的變化快慢與原函數始終成正比。在描述生活中的類似現象時，都會用到指數函數。實際上，在金融投資中，尤其是分析存貸的過程中，指數函數發揮了極其重要的作用。在銀行計算連續存款的利息時，我們需要用到指數函數。假設一個人有金額為A的閑置資金，想要存入銀行，有兩種存款方式可以選擇。第一種存款方式為，定期1年，年利率10%，如果到期后繼續買入，則以復利的方式計算利息。第二種存款方式為，定期8年，年利率12%，以單利的方式計算利息。在比較兩種存款方式的過程中，我們可以發現，如果按照第一種方式存款，存款期限為n年，則n年后的本息和為T1(n)=A＊(1+10%)^n，如果按照第二種方式存款，則8年后的本息和為T2(n)=A＊(1+8＊12%)＊n，如果這個人打算將這筆存款存入銀行8年時間，即n=8，按照第一種存款方式，T1(8)=2.14A；按照第二種存款方式，T2(8)=1.96A。可以發現，雖然第一種存款方式復利的利率較低，但是由于隨著自變量的增加，指數函數的增幅逐漸變大，8年后，第一種存款復利的本息和較高。在存貸計算中，指數函數發揮著十分重要的作用。當存款年限較長時，復利帶來的收益是十分驚人的[2]。

（二）利用數學模型解決邊際分析問題

在邊際分析中，導數有著非常廣泛的應用。如果我們知道生產總成本與生產量的關系，就可以通過求生產成本對生產量的導數，得到每個產品的邊際成本，這就是邊際成本的求解；如果我們知道銷售總收益與銷售量的關系，就可以通過求銷售總收益對銷售量的導數，得到每個產品的邊際收益，這就是邊際收益的求解。在進行投資決策時，邊際分析也是十分重要的。如果我們已經知道某個項目的投資收益與投資量之間的關系，就可以通過求投資收益對投資量的導數，從而得出單位投資增量帶來的單位收益增量，分析投資的邊際收益。邊際收益的增長速度有三種情況。當邊際收益遞增時，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量逐漸變大，此時，投資者應在確保風險可控的情況下，適當增加投資，從而提升資金回報率。當邊際收益不變時，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量保持不變，此時，投資者不應當盲目追加投資。這是因為，在增加投資的過程中，資金回報率不會上升，而投入的資金越多，投資者面臨的風險越大[3]。當邊際收益遞減時，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量逐漸變小，此時，投資者需要控制投入資金的規模，并且在不影響系統穩定性的情況下，適當回撤一部分資金。下面，我們舉例進行分析。

假設某投資者打算投資一個項目，當投入資金為x（百萬元）時，投資回報率（百萬元）R(x)=[-(x+0.1)^0.5-1/ (x+0.1)+10.32]/100，通過對這一函數的導數的分析，我們可以找出投資回報率隨投入資金變化的關系。在求導的過程中，可以令t=x+0.1，從而簡化計算過程。R(t)=(-t^0.5-1/t +10.32)/100，易得R’(t)=(-0.5/t^0.5+1/t^2)/100，由于t和x是線性關系，且t隨x的增大而不斷增大，我們可以通過求R(t)的駐點t0，得到R(x)的駐點。令R’(t)>0，t<1.59；令R’(t)<0，t>1.59；令R’(t)=0，t=1.59。我們不難發現，R(t)在t<1.59時是單調增的，R(t)在t>1.59時是單調減的，R(1.59)是R(t)的最大值。令t=x+0.1=1.59，可以求得x=1.49。也就是說，當x=1.49時，R(x)取得最大值0.084，當投入資金為149萬元時，投資回報率最高，為8.4%。投資者可以根據計算結果，投入適當的資金，從而獲得更豐厚的回報。

（三）利用數學模型解決需求價格彈性問題

在金融分析中，我們常常需要研究商品的需求規律，從而做出相應的決策。提高企業的收入。運用導數知識，我們可以描述商品的需求隨價格變化的規律，并根據需求價格彈性，制定合適的銷售策略。假設A商品的價格為p時，市場需求量為q，我們就可以根據商品的歷史銷售數據，得到需求函數q = q( p) ，如果需求函數可導，我們就可以求出商品的需求價格彈性Ep：Ep = p/ q( p)＊q＇( p)。需求彈性在經濟及金融學研究中，有著十分重要的作用。它可以較為直觀地反映表示某種商品需求量q 對價格p 變化的敏感程度。我們可以將Ep理解為需求量變化的百分比與價格變化的百分比之比。我們可以根據某一商品在某一價格處的需求價格彈性，制定合適的銷售策略[4]。

當| Ep | < 1 時，如果企業采取降價策略，商品的需求量將發生較小的變化，總銷售收入將下降。如果企業想要提高營收，則應在可接受的范圍內提高價格。當| Ep | > 1時，如果企業采取降價策略，商品的需求量將發生較大的變化，總銷售收入將上升。企業應當在保證銷售價高于成本價的同時，適當降價，從而增加銷售收入。當| Ep | 接近1 時，無論是漲價還是降價，由于需求將發生等比例反向變化，商品的總銷售收入將不會發生大的變化。因此，企業可能需要采取其他措施，提高總利潤。因此在市場經濟中，企業的經營者應該充分利用導數，分析所經營的商品的需求價格彈性，正確把握市場動向，及時根據趨勢調整商品的價格，從而增加企業利潤[5]。

（四）利用數學模型解決市場分析問題

在制定市場戰略的過程中，企業常常需要對市場情況進行分析，在這個過程中，我們可能需要用到導數及博弈論的知識[6]。假設在壟斷市場上，有兩家企業A和B。這兩家企業生產同一種商品，且A企業和B企業的生產成本均為300元/件，且生產成本在未來一段時間內不會發生變化。這兩家企業的經營者面臨著一個相似的問題：如何制定市場戰略，才能提高銷量，獲得更多的利潤？在此，我們假設兩家企業都是理性的，且它們在制定生產及銷售計劃時不考慮對手的計劃。它們面對的需求曲線為q=600-p。由于以上兩家企業幾乎完全相同，我們可以考慮其中一家企業的決策，從而推斷另一家企業的決策。設企業A的售出x件商品，總利潤為RA，企業B售出y件商品，總利潤為RB。那么RA(x)=(600-x-y)x-300x=-x^2-xy+300x, RA’(x)=-2x-y+300，由導數知識，當y不變時，RA(x)隨x的增大先變大后變小，當RA’(x)=0時，RA取最大值 。令RA’(x)=0，x=(300-y)/2。類似地，企業B應選擇y=(300-x)/2，聯立這兩個方程并求解，我們可以得到，x=y=100，RA(x)=10000，RB(y)=10000，也就是說，當兩家企業處于競爭狀態時，他們都將以100件為銷售目標。在銷售100件時，A企業和B企業的總利潤相同，為10000元。

四、結語

利用函數與導數構建數學模型，我們可以高效地分析許多經典的金融學與經濟學問題。在求解數學模型的過程中，要注意利用換元法，將較復雜的部分當做一個整體，從而簡化函數及其導數，更清晰地顯示函數的變化規律。當遇到包含多個變量，且變量之間存在較為復雜的關系的時候，可以借助信息技術，建立較為復雜的數學模型，并將模型可視化，從而高效地解決需要分析的問題。