一類球面并聯機構的速度與加速度分析

范 駿，楊隨先，白青松

（四川大學制造科學與工程學院，四川 成都 610065）

1 引言

自1965 年Stewart 平臺問世以來，并聯機構（parallel mechanisms，PM）得到了學術領域和工業領域的廣泛關注。相對于串聯機構，其擁有諸如高精度、高速度、高剛度、低慣性和反向運動學求解簡單等優點。在具有上述優點的基礎上，球面并聯機構（spherical parallel mechanisms，SPMs）的末端執行器還可以在一個球面上進行運動。目前典型的球面機構包括過約束和非過約束兩種類型。前者如3-RRR（R 表示轉動副）結構的the Agile eyes[1]；后者早期包括文獻提出的 3-RRRRR 結構[2]，Di Gregorio 的 3-RRS（S 表示球面副）結構[3]等。上述球面并聯機構具有移動或旋轉奇異點，在此之后提出的結構在工作空間之內大都避開了奇異點，如雙三角結構[4-5]等。球面并聯機構廣泛應用于包括指向設備、太陽能電池板、天線、航海模擬機構、內窺鏡和攝像設備等方面[6]。而近來球面并聯機構在醫療仿生領域的得到大量應用，如法國國家研究局（Agence Nationale de Recherche，ANR）主導了一系列將將球面并聯機構應用于微創手術（minimally invasive surgery，MIS）的研究[7]，國內也有學者利用不同的球面并聯機構對人體肩部關節進行仿生設計[8-9]。目前得到應用的球面并聯機構以過約束為主，對加工和裝配的精度要求極高。因此，提出一種對加工和精度要求不高并且計算簡單的球面機構具有重大意義。

目前球面并聯機構的運動學分析通常采用以下方法：利用幾何約束建立由三角函數構成的約束方程，對約束方程進行求導從而推導出速度方程和加速度方程[10]；利用坐標系中各關節速度旋量之間的關系直接構造出速度公式或雅可比矩陣[11]261-264；直接根據末端執行器角速度和主被動關節變量的關系推導得出速度方程并再次求導分析加速度[12]4-6，[13]4-5；利用各分支端點運動空間的布爾運算求交集來得到運動平臺即末端執行器的方向工作空間，并利用CAD 建模軟件輔助分析，目前僅用于位置運動學[14]。

論文提出了一類新型三自由度球面并聯機構，相比現有球面并聯機構，其對于制造和裝配精度要求較低，反向運動學求解更簡單并且在工作空間中不含任何形式的奇異點。然后根據末端執行器角速度和主被動關節變量之間的關系，選擇合適的關節向量構造了特殊向量來建立和簡化了機構的速度和加速度模型，進而得到了運動雅可比矩陣并據此分析了機構的奇異性。最后，針對兩種特定軌跡，根據速度和加速度模型利用Matlab 和ADAMS兩款軟件進行計算仿真得到了各分支主動關節角速度和角加速度變化曲線。

2 機構結構及其位置運動學

2.1 機構結構

圖1 球面并聯機構的基本結構Fig.1 Basic Structures of the SPMs

提出的一類三自由度球面并聯機構的結構，如圖1 所示。機架由三個互相固連的弧形滑動導軌條組成，其半徑均相等，圓心位于同一點O，并且所在平面互相垂直。固定滑軌條上的交錯滑塊移動時，同時也帶動移動弧形滑軌，弧形滑軌的半徑也相同，圓心也落在O 點。移動與固定的滑軌在滑塊處的切線保持垂直。移動滑軌的末端與末端執行器通過運動副相連接，根據連接方式不同分為三類：（1）通過轉動副連接，記為3-PcPcR，其中，Pc—移動副在一條弧線上進行運動；R—轉動副，此時三處轉動副的軸線必須同時經過O 點；（2）先通過轉動副，再通過萬向節連接，記為3-PcPcRU，其中，U—萬向節，此時對轉動副的軸線方向沒有要求；（3）通過球面副連接，記為3-PcPcS，S—球面副。其中，3-PcPcR 機構為過約束結構，雖然結構簡單但對加工和裝配精度要求極高，3-PcPcRU 和3-PcPcS 機構同為非過約束結構，對裝配精度要求不高，但是球面副的加工精度和加工成本較高。三種機構具有相同的自由度（三個方向的轉動自由度）以及相同的運動學模型。在末端執行器上安裝Z 軸方向（Z 軸與末端執行器主平面垂直）的模組并帶動加工刀具，根據安裝的方向，機構可以對不同半徑的內外球面進行加工，或者按照復雜的空間曲線軌跡行進。

以3-PcPcR 機構為例，其結構示意圖，如圖1（b）所示。在實際使用過程中，可以將原動機固定在滑塊上利用齒輪嚙合進行，并且在此基礎上配合減速器使用可以進一步增加機構的負載能力。3-PcPcRU 機構的具體應用方案，如圖2 所示。

圖2 3-PcPcRU 機構的應用方案CAD 模型Fig.2 CAD Model of the Application Scheme of the 3-PcPcRU Mechanism

2.2 機構的位置運動學

機構的運動模型中需要用到的向量和角度，如圖3 所示。O點到末端執行器連接點所形成的單位向量分別為t1，t2和t3，到末端執行器中心點的單位向量為te。其中，ti（i=1，2，3）之間的夾角記為δ，ti與te之間的夾角記為Δγ，這兩個角度由加工制造確定。在保持當前方向te的前提下，末端執行器還可繞自身中心旋轉Δθ。αi和βi分別是機構主、被動關節角度值。

圖3 運動模型中的向量與角度Fig.3 Vectors and Angles in the Kinematic Model

對于正向位置運動學問題，根據Euler-Rodrigues 參數寫出ti關于主被動關節角度值的表達式，利用ti之間夾角一定的幾何條件可以建立約束方程，對方程進行三角代換后利用Bezout 消元法可以得到一個16 階多項式方程，找到唯一可行解后可以計算出對應的被動關節的角度值，進而得到ti的具體形式，其單位合向量即為te。而對于反向問題，根據te和Δθ 得到ti的具體形式，僅需對ti中部分元素進行反三角計算就可以得到主被動關節角度值。利用正向求解方法得到的3-PcPcR 機構工作空間，如圖4 所示。為了簡化計算，所有計算都將末端執行器的工作空間設定在一個單位球上，在不考慮干涉的條件下是一個八分之一球面。

3 機構的速度與奇異性分析

3.1 機構的速度分析

ti可認為是相應的坐標軸上的單位向量繞wi旋轉αi至ri，再由ri繞si旋轉βi的結果，其中αi為主動關節輸入變量。對于球面并聯機構，不需要討論坐標系的移動而只需要討論角速度和角加速度。

根據末端執行器的角速度向量和主被動關節變量導數的關系，有如下矩陣方程：

當 Δθ=0 時，使 τi同時垂直于 si與 ti。當 Δθ≠0 時，ti≠tmi，記τi＝tι×tmi，其中 tmi為在對應方位下當 Δθ=0 時 ti應處于的位置，其幾何意義，如圖5 所示。

圖5 tmi 的幾何意義Fig.5 Geometrical Meaning of tmi

定義te基于各個分支的表達形式為tei和tmi，則每一組tei對應一組 αei和 βei。

為消除被動關節影響，在式（1）兩邊同時乘以（si×τi）T可得：

寫成矩陣形式，有如下速度關系：

進而可以得到機構的運動雅可比矩陣：

需要注意的是，利用各關節速度旋量之間的幾何關系，可以直接構造出基于速度旋量的速度方程。對于球面并聯機構，只需要考慮旋量副部，同樣可以得到形如式（4）～式（7）的速度方程和雅可比矩陣。這個方法在文獻[11]中得到應用并且在文獻[15]中得到總結。但利用旋量構造加速度方程在計算上有難度，并且在確定部分中間變量的值時需要用到上述過程中的向量，文獻[11]利用這樣的方法也僅僅討論了機構的雅可比矩陣。因此論文采用與文獻[12]和文獻[13]中同樣的方法如上文所示。

3.2 機構的奇異性分析

根據運動雅可比矩陣，并聯機構的奇異性分為三類：

（1）B 缺秩：這種奇異性被稱為第一類奇異性。在這種奇異構型之下，并聯機構在工作空間中的一個或多個方向上失去了運動的能力，亦即驅動器在某一個方向上無法令運動平臺產生位移。對應為幾何意義為si，τi和wi必須共面，利用反證法進行證明：若Δθ≠0，則｛ti，si，wi｝或｛tmi，si，wi｝必須互相垂直。然而可證ti·wi≠0并且tmi·si≠0，條件相矛盾；若Δθ=0，則同樣條件相矛盾。因此易知，對于涉及的球面并聯機構第一類奇異點不存在。

（2）Ar缺秩：這種奇異性被稱為第二類奇異性。在這種奇異構型下，并聯機構在一個或者一個以上方向上運動不可控。從運動學的角度上說，存在一個非零的向量ts，使得當q˙α=0 時，有Arts=0（此時ts被稱為Ar的零空間）。此時，機構在外部力旋量的作用下容易發生破壞。若Δθ≠0，此時Ar可以寫成兩個非零矩陣的乘積，因此；若 Δθ＝0，此時 Ar=-［t1，t2，t3］T一定保持滿秩。因此，第二類奇異點也不會出現在此類機構中。

（3）Ar和B 同時缺秩，此類奇異性被稱為第三類奇異性。此時并聯機構在失去一個或一個以上方向上的運動能力的同時，在一個或一個以上的方向上運動不可控。對于涉及的并聯機構，這一類奇異點也不會出現。

因此，在工作空間中，即 αi，βi∈（0，π/2）的范圍內，機構不存在上述形式的奇異點。

4 機構的加速度分析

將式（1）對時間求導，可得：

為了消除非主動關節變量的二階導數的影響，在式（8）左右兩邊同時左乘（si×τ）iT可消除被動關節二階參數影響，并帶入之前的結果：

其中，Ar和 B 的形式與式（4）中保持一致［c1c2c3］T，并且：

5 軌跡仿真

式（4）和式（9）所示的速度和加速度方程既可以用于利用驅動輸入端的具體參數確定末端執行器的角速度和角加速度，也可以根據末端執行器角速度和角加速度特性反向求出相應的驅動輸入參數。下面對與兩種運行軌跡進行計算仿真，求出其角速度和角加速度運動特性曲線：（1）末端執行器與向量t0=［0.5773，0.5773，0.5774］T保持 π/12 的夾角和 Δθ＝0 以 π/5rad/s 的角速度旋轉一圈，此時末端執行器的中點的軌跡為一個圓形；（2）末端執行器的歐拉角以如下運動形式變化其中t 表示時間，此時末端執行器中點的軌跡為一個空間二次曲線。同時，將制造確定的角度δ 設定為π/18，此時Δγ≈0.1008。對于結構簡圖，如圖1 所示。在利用虛擬樣機軟件ADAMS 進行仿真時不便添加和分析運動副，因此需要建立一個等效機構，如圖6 所示。其中所有的直線狀的連桿僅為輔助添加運動副和測量組件的等效連桿。

圖6 仿真等效機構Fig.6 Simulation Equivalent Mechanism

圖7 軌跡（1）下主動關節變化曲線Fig.7 Active Joint Curves under Track 1

軌跡（1）的主動關節角速度與角加速度變化，如圖7 所示。MATLAB1-3 和ADAMS1-3 分別表示主動關節1～3 的計算結果和仿真數據，用實線和離散點加以區分。保持Δθ＝0，則機構的速度與加速度分析和計算較為簡單。

軌跡（2）中，Δθ 持續變化且可能出現 Δθ＝0 的情況，末端執行器可自轉，此時主動關節角速度和角加速度，如圖8 所示。通過比較，ADMAS 的驗證結果與MATLAB 的計算結果相比，速度誤差極小。值得注意的是在Δθ＝0 附近，角加速度可能會產生突變。

圖8 軌跡（2）下主動關節變化曲線Fig.8 Active Joint Curves under Track 2

6 結論

（1）提出了一類具有相同運動學模型的三自由度新型球面并聯機構，涵蓋過約束和非過約束兩種類型，其在工作空間之內沒有任何形式的奇異點。

（2）根據末端執行器角速度和主被動關節變量之間的關系，利用關節向量構造特殊向量，簡化了機構速度分析模型的建立，并簡便地獲得了機構的雅可比矩陣并分析了機構的奇異性，結合約束條件對速度模型進行求導進一步得到了機構的加速度模型。

（3）根據機構的速度和加速度模型，對于兩種特定的軌跡進行了分析計算和機構仿真，給出了機構各分支主動關節角速度和角加速度變化曲線，對速度和加速度模型進行了驗證。