RV 減速器擺線輪齒廓曲線的曲率影響因素研究

張躍明，王 巍，紀(jì)姝婷

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

1 引言

RV 減速器（Rotary Vector Reducer）是工業(yè)機(jī)器人的核心部件，而擺線輪是RV 減速器的關(guān)鍵零部件[1-2]。擺線針輪傳動(dòng)是一種新型傳動(dòng)，關(guān)系這種傳動(dòng)效率很重要的參數(shù)就是擺線輪齒廓曲線的曲率，對(duì)擺線輪齒形的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。當(dāng)前國內(nèi)技術(shù)對(duì)擺線輪的設(shè)計(jì)方面還處于不完善狀態(tài)[3-4]。擺線針輪行星傳動(dòng)也遵循齒輪傳動(dòng)的一般規(guī)律，在齒廓曲線拐點(diǎn)處傳動(dòng)性能較好，傳動(dòng)效率較高，曲率的變化情況直接影響齒輪傳動(dòng)的好壞[5]。對(duì)齒面磨損與潤滑、計(jì)算輪齒的接觸疲勞強(qiáng)度、接觸區(qū)域的變形以及齒廓修形都有直接的影響[6]。目前，嚙合線、重合度、傳動(dòng)誤差在擺線針輪傳動(dòng)中都有學(xué)者研究[7-8]，還有一部分學(xué)者研究了漸開線齒輪的曲率變化情況[9-10]，文獻(xiàn)[11]研究正交面齒輪傳動(dòng)中齒面曲率，推導(dǎo)了面齒輪傳動(dòng)的齒面主曲率和主方向；文獻(xiàn)[12]研究了外壓橢圓封頭當(dāng)量曲率半徑，分析了當(dāng)量半徑的取值方法；文獻(xiàn)[13]用包絡(luò)法討論了誘導(dǎo)法曲率，先討論了相對(duì)法曲率和相對(duì)主曲率，最后討論了誘導(dǎo)法曲率和綜合曲率。雖然很多學(xué)者都對(duì)曲率進(jìn)行了研究，但是對(duì)擺線輪齒廓曲線的曲率研究卻很少，其中各參數(shù)的變化對(duì)擺線輪齒廓曲率的改變在國內(nèi)參考文獻(xiàn)中尚是一片空白。因此，有必要分析和探討各參數(shù)對(duì)擺線輪齒廓曲線的曲率變化的影響，這對(duì)擺線輪齒廓修形、擺線針輪傳動(dòng)裝置的設(shè)計(jì)和研發(fā)具有重要的指導(dǎo)意義。

針對(duì)擺線針輪行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的嚙合特性，推導(dǎo)了擺線輪齒廓曲線的曲率和拐點(diǎn)解析式，詳細(xì)分析了幾何參數(shù)對(duì)拐點(diǎn)位置的影響規(guī)律，計(jì)算出在一個(gè)擺線輪齒廓凹凸區(qū)間上曲率最大值和最小值，并且深入研究了幾何參數(shù)對(duì)曲率變化快慢的一般規(guī)律。

2 擺線輪齒廓

2.1 擺線輪齒廓方程

為擺線針輪行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)主要由擺線輪、針齒殼和機(jī)架三部分組成，如圖1 所示。根據(jù)擺線輪與針輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，擺線輪既有繞針齒分布圓的中心公轉(zhuǎn)，也有繞自身幾何中心的自轉(zhuǎn)，因此可以建立坐標(biāo)系，如圖2 所示。讓坐標(biāo)系XcOcYc與擺線輪固定，讓坐標(biāo)系XpOpYp與針齒殼固定在一起。研究的是針對(duì)針齒殼固定，所以固定坐標(biāo)系X0O0Y0與針齒殼坐標(biāo)系XpOpYp重合。在初始位置時(shí)，Xc軸與X0軸重合，Yc軸與Yp軸是平行的。由齒輪嚙合原理可以知道，擺線輪與針輪之間的嚙合傳動(dòng)，相當(dāng)于擺線輪的節(jié)圓和針齒輪的節(jié)圓做內(nèi)切的純滾動(dòng)。點(diǎn)P 為節(jié)點(diǎn)，如圖是兩圓初始嚙合位置，初始嚙合節(jié)點(diǎn)為P0，擺線輪的節(jié)圓圓心Oc繞針齒輪節(jié)圓圓心Op轉(zhuǎn)過角度為θp，則小圓滾過的角度為θc，則可以得到動(dòng)軸與定軸之間的夾角：Δθ=θc-θp。

圖1 擺線輪齒廓曲線的形成Fig.1 The Formation of Cycloidal Profile Curve

在兩圓轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，針齒中心A 在動(dòng)坐標(biāo)系XcOcYc上形成的是短幅外擺線，實(shí)際擺線輪齒廓是短幅外擺線的內(nèi)側(cè)等距曲線，因此，可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求得擺線輪齒廓方程。針齒分布圓半徑為rp，滾針半徑為rrp，偏心距為a，擺線輪和針輪齒數(shù)分別為Zc和Zp。點(diǎn)A 在坐標(biāo)系XpOpYp的位置向量為：

坐標(biāo)系XpOpYp到X0O0Y0的轉(zhuǎn)換矩陣Mcp為：

則點(diǎn)A 在動(dòng)坐標(biāo)系XcOcYc中形成的短幅外擺線為：

將式（1）～式（2）代入上式，即可得到：

式中：ih=Zp/Zc—擺線輪與針輪的傳動(dòng)比擺線輪齒廓曲線Wc 的單位法向量nc：

式中：K=a*Zp/rp—短幅系數(shù)

即可得到擺線齒廓曲線的短幅外擺線的等距曲線：

3 擺線輪齒廓曲率相關(guān)公式計(jì)算

3.1 曲率和曲率半徑

擺線輪齒廓是短幅外擺線的等距曲線，參數(shù)選取不合理會(huì)影響到齒廓形狀進(jìn)而影響到RV 減速器的傳動(dòng)性能。根據(jù)曲線曲率半徑的基本定義可得擺線理論齒廓在任意一點(diǎn)處的曲率半徑為：

將式（4）中對(duì)應(yīng)的 x、y 分別對(duì) θp求導(dǎo)，為了計(jì)算方便，令 θp=ψ 代入上述公式，可得到短幅外擺線的曲率半徑為：

實(shí)際齒廓曲線的曲率半徑為：

根據(jù)曲率半徑與曲率的數(shù)學(xué)關(guān)K=1/p 可以得到曲率的表達(dá)式：

3.2 擺線輪誘導(dǎo)法曲率

誘導(dǎo)法曲率是嚙合理論的重要內(nèi)容，是研究兩個(gè)相切曲面相對(duì)彎曲程度的量，是決定該傳動(dòng)裝置潤滑條件好壞和接觸強(qiáng)度大小的重要因素[13]。計(jì)算曲面的誘導(dǎo)法曲率可以為評(píng)價(jià)新型傳動(dòng)裝置，選擇最佳參數(shù)組合及探索新型傳動(dòng)裝置提供理論依據(jù)[14]。

對(duì)于擺線輪與針輪的嚙合，由于針輪半徑為定值，所以沿切線方向的法曲率為kn2=1/rp，擺線輪沿切線方向的法曲率為kn1。

在任意凸區(qū)間接觸點(diǎn)處擺線針輪嚙合的誘導(dǎo)法曲率：

在任意凹區(qū)間接觸點(diǎn)處擺線針輪嚙合的誘導(dǎo)法曲率：

3.3 齒廓曲線拐點(diǎn)

拐點(diǎn)是曲線二階導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)，是曲線凹凸特性改變的臨界點(diǎn)，因此在研究各參數(shù)對(duì)曲率的影響之前對(duì)拐點(diǎn)所在位置的研究很有必要性。

一般情況下，曲率半徑和曲率都為正數(shù)，對(duì)于分析曲線的拐點(diǎn)特性，最好不要取絕對(duì)值，以便于區(qū)分?jǐn)[線的凹凸變化。擺線輪齒廓一個(gè)輪齒的曲率半徑隨曲柄轉(zhuǎn)角ψ 的變化，如圖2 所示。

圖2 齒廓曲線曲率半徑Fig.2 Curvature Radius of Tooth Profile Curve

齒廓曲線曲率，如圖3 所示。

圖3 齒廓曲線曲率Fig.3 Curvature of Tooth Profile Curve

結(jié)合圖3 對(duì)式（11）分析，曲線凹凸特性發(fā)生改變對(duì)應(yīng)的曲柄軸轉(zhuǎn)角：

將曲率式（11）對(duì)曲柄軸轉(zhuǎn)角ψ 求導(dǎo)，則曲線曲率在極值處對(duì)應(yīng)的曲柄軸轉(zhuǎn)角：

4 擺線齒廓特性分析

擺線針輪傳動(dòng)是少齒差傳動(dòng)的一種，RV 減速器主要應(yīng)用一齒差，用途并不廣泛，但是隨著工業(yè)的快速發(fā)展，機(jī)器人需求量開始逐漸增大，RV 減速器型號(hào)也開始增多，參數(shù)化設(shè)計(jì)就顯得至關(guān)重要[15]。所以有必要將擺線輪參數(shù)對(duì)擺線輪齒廓曲線曲率的影響進(jìn)行分析。

以本實(shí)驗(yàn)RV-20E 減速器為研究對(duì)象，各數(shù)據(jù)為：針齒分布圓半徑rp=52.5mm，偏心距a=1mm，針輪半徑rrp=1.25mm，針齒數(shù)Zp=40，ih=40/39。

表1 RV-20E 減速器主要參數(shù)Tab.1 The Main Parameters of RV-20E Reducer

4.1 擺線齒廓曲線的拐點(diǎn)位置變化情況

由圖2 可知，曲柄軸轉(zhuǎn)角在［0，π/2］區(qū)間和［π/2，π］區(qū)間曲率半徑呈對(duì)稱分布，分別存在曲率半徑突變的點(diǎn)。根據(jù)曲率半徑與曲率的數(shù)學(xué)關(guān)系k=1/p，可知在該點(diǎn)曲率應(yīng)為0。為了形象描述其變化規(guī)律，作出曲率與曲柄軸轉(zhuǎn)角的圖3 便于對(duì)拐點(diǎn)位置進(jìn)行分析。

當(dāng)曲線曲率半徑>0 時(shí)，曲線內(nèi)凹，曲率半徑<0 時(shí)，曲線外凸。在曲線由內(nèi)凹到外凸的變化中會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn)，由曲率圖（3）可知，在區(qū)間［0，2π］，曲率曲線在兩個(gè)位置曲率為0，存在對(duì)稱拐點(diǎn)。因此，求出k=0 所對(duì)應(yīng)的曲柄軸轉(zhuǎn)角，即可求出拐點(diǎn)位置同擺線輪齒廓參數(shù)的關(guān)系。由式（14）求得的拐點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的曲柄軸轉(zhuǎn)角公式，影響拐點(diǎn)位置的參數(shù)有偏心距a、針齒分布圓半徑rp和針齒數(shù)Zp。

4.1.1 偏心距對(duì)拐點(diǎn)的影響

偏心距對(duì)拐點(diǎn)位置的影響，如圖4 所示。偏心距對(duì)拐點(diǎn)的位置影響很大，偏心距在（0.2～1）mm 之間，拐點(diǎn)坐標(biāo)位置以拋物線形式減小，偏心距大于1mm 后，拐點(diǎn)坐標(biāo)位置以近似指數(shù)形式減小，逐漸向齒根方向靠近。總的來說，隨著偏心距的增大，拐點(diǎn)位置不斷向齒根移動(dòng)，從而會(huì)增強(qiáng)齒根位置的傳動(dòng)性能。

圖4 偏心距對(duì)拐點(diǎn)位置的影響Fig.4 The Effect of Eccentricity on the Position of the Inflection Point

4.1.2 針齒數(shù)Zp對(duì)拐點(diǎn)的影響

齒數(shù)對(duì)拐點(diǎn)位置的影響，如圖5 所示。

圖5 齒數(shù)對(duì)拐點(diǎn)位置的影響Fig.5 The Effect of the Number of Teeth on the Inflection Point

在擺線針輪行星機(jī)構(gòu)中，擺線輪與針齒一般相差一個(gè)針齒。針齒數(shù)影響著擺線齒廓曲線的拐點(diǎn)位置的移動(dòng)。由仿真的圖5，拐點(diǎn)坐標(biāo)位置隨著齒數(shù)的增加，以接近一次函數(shù)形式遞減，逐漸向齒根方向靠近。因此，在設(shè)計(jì)擺線針輪減速器時(shí)，需要綜合考慮擺線輪齒數(shù)與擺線輪齒廓曲線拐點(diǎn)位置的關(guān)系，在良好的傳動(dòng)性能條件下，選擇合適的針齒數(shù)以保證不同條件下對(duì)傳動(dòng)性能的要求。

4.1.3 針齒分布圓半徑rp對(duì)拐點(diǎn)位置的影響

針齒分布圓半徑對(duì)拐點(diǎn)位置的影響，如圖6 所示。不同于針齒數(shù)Zp和針齒分布圓半徑rp對(duì)曲線拐點(diǎn)的影響，由仿真得出的結(jié)果分析，隨著針齒分布圓半徑增大，拐點(diǎn)坐標(biāo)位置以近似二次拋物線逐漸增大，逐漸遠(yuǎn)離齒根，其中，針齒圓半徑在區(qū)間（45～50）mm，拐點(diǎn)位置變化迅速，在（45～60）mm 之間變化緩慢。增大針齒分布圓半徑，有利于增強(qiáng)齒頂方向的傳動(dòng)性能。

圖6 針齒分布圓半徑對(duì)拐點(diǎn)位置的影響Fig.6 The Effect of Circular Radius on Inflection Point

4.2 擺線齒廓的曲率在凹凸區(qū)間的變化規(guī)律

MATLAB 仿真出實(shí)際齒廓曲線的曲率隨曲柄軸轉(zhuǎn)角的變化圖像，如圖3 所示。在［0，ψ1］區(qū)間內(nèi)，為凹區(qū)間，曲率為正，曲率的最大值在曲柄軸轉(zhuǎn)角為0 時(shí)刻，帶入曲率公式（11），得出最大曲率Kmax=0.7412，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最小曲率半徑為pmin=1.3510。最小曲率為0，對(duì)應(yīng)曲柄軸轉(zhuǎn)角為ψ1。在［ψ1，π］區(qū)間內(nèi)，為凸區(qū)間，曲率最小值在曲柄軸轉(zhuǎn)角為ψ2時(shí)刻，代入本實(shí)驗(yàn)室RV 減速器參數(shù)最小曲率為Kmin=-0.3386。

4.3 各因素對(duì)曲率變化快慢的影響

擺線針輪傳動(dòng)是一種新型傳動(dòng)，它的一個(gè)很重要的參數(shù)就是齒廓曲率，對(duì)齒廓曲率的分析有利于擺線輪修形和計(jì)算輪齒接觸力，因此研究曲率的變化有利于提高擺線針輪傳動(dòng)效率。

4.3.1 偏心距對(duì)曲率的影響

圖7 偏心距對(duì)曲率的影響Fig.7 The Effect of Eccentricity on Curvature

偏心距對(duì)曲率的影響，如圖7 所示。對(duì)應(yīng)相同的曲柄軸轉(zhuǎn)角，曲率最小值隨著偏心距的增大而減小，曲率的最大值隨偏心距a 的增大而增大。曲率在齒根附近變化迅速，在齒頂附件曲率變化平緩，隨著偏心距a 的增大，曲率在齒根附件變化越來越迅速，在齒頂附件齒廓曲線的曲率隨著偏心距a 的增大波動(dòng)逐漸加大。

4.3.2 針齒分布圓半徑對(duì)曲率的影響

針齒分布圓半徑對(duì)曲率的影響，如圖8 所示。對(duì)應(yīng)相同的曲柄軸轉(zhuǎn)角，由圖8 分析，針齒分布圓半徑的增大使擺線輪齒廓曲率的最小值和最大值隨之變大；同時(shí)，針齒分布圓半徑的增大，拐點(diǎn)所在位置逐漸向齒頂方向靠近，曲率的變化在靠近齒根方向開始減緩，曲率大小在齒頂方向變大，但在齒頂方向曲率的波動(dòng)基本保持不變。

圖8 針齒分布圓半徑對(duì)曲率的影響Fig.8 The Effect of Circular Radius on Curvature of Needle Teeth

4.3.3 針齒半徑對(duì)曲率的影響

針齒半徑對(duì)曲率的影響，如圖9 所示。由圖9 分析，曲柄軸轉(zhuǎn)角相同，曲率最小值隨著針齒半徑rrp的改變基本保持不變，曲率的最大值隨著針齒半徑的增大先保持減小最后趨于不變。增大針齒半徑，不會(huì)影響齒廓曲線拐點(diǎn)所在的位置，曲線的曲率在齒頂方向的波動(dòng)也不受影響，但是，隨著針齒半徑的增大，曲線的曲率在齒根方向的波動(dòng)會(huì)逐漸減緩。

圖9 針齒半徑對(duì)曲率的影響Fig.9 The Effect of the Radius of the Needle on the Curvature

5 結(jié)論

（1）基于齒輪嚙合原理的方法對(duì)擺線針輪傳動(dòng)進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出了擺線齒廓曲率公式和擺線輪與針輪嚙合的誘導(dǎo)法曲率公式。

（2）擺線輪齒廓在齒根到齒頂區(qū)域分別存在一個(gè)對(duì)稱拐點(diǎn)。

（3）擺線輪齒廓曲率在齒根附近變化迅速，在齒頂附近變化平緩，在內(nèi)凹的齒廓區(qū)間，曲率的最大值在齒根處，最大值為0.7412；在外凸的齒廓區(qū)間，曲率的最小值并不在齒頂，而在曲柄軸轉(zhuǎn)角為ψ2處，對(duì)應(yīng)的最小值為（-0.3386）。

（4）擺線輪偏心距a、針齒分布圓半徑rp的改變都會(huì)影響齒廓曲率的波動(dòng)，增大擺線輪偏心距a 或減小針齒分布圓半徑rp會(huì)使擺線輪齒廓的拐點(diǎn)所在位置向齒根方向靠近，這與前面分析的影響拐點(diǎn)參數(shù)的結(jié)果相吻合，說明了分析的準(zhǔn)確性。因此在設(shè)計(jì)擺線輪時(shí)，減小偏心距a 或增大針齒分布圓半徑rp均有利于改善擺線輪齒廓在齒頂方向的傳動(dòng)性能。另一方面，針齒半徑的改變不會(huì)影響擺線輪齒廓曲率在齒頂方向的波動(dòng)，也不改變擺線輪齒廓曲線的拐點(diǎn)位置。

（5）通過分析擺線輪各參數(shù)對(duì)擺線輪齒廓曲線拐點(diǎn)位置和齒廓曲率的影響，對(duì)擺線齒廓修形和分析擺線針輪的傳動(dòng)提供理論幫助。