兩自由度并聯機構性能指標分析

王學雷，張 賓，呂世霞，王 京

（1.北京電子科技職業學院，北京 100176；2.中國農業大學，北京 100083）

1 引言

并聯機構具有剛度大、誤差小、結構緊湊、承載能力大、動態響應性能好等優點而受到人們的青睞[1-3]。與6 自由度并聯機構相比，少自由度并聯機構具有成本低、結構簡單、控制容易等優點而成為國內外學者的研究焦點[4-6]。

機器人運動學性能好壞直接影響其運動效果，如何評價運動學性能好壞是機器人研究的重要內容之一。為了評價機器人運動學性能好壞，研究者提出多種運動學性能評價指標，為機器人的優化設計提供了依據[7-9]，但這些指標仍存在評價不全面、不系統等問題。利用各向同性指標對2UPS+U 并聯機構進行性能指標分析，并根據統計學中的變異系數，提出了機構全域性能波動指標公式，得到機構尺寸與性能波動指標之間的關系圖譜，為機構的優化設計提供了理論依據，避免了尺寸選取的盲目性。

2 兩自由度并聯機構速度同性指標分析

所述的兩自由度并聯機構由機座、兩個結構完全相同的SPU（球副-移動副-虎克鉸）型驅動分支以及一個U（虎克鉸）型約束分支構成，可等效為2SPU+U 并聯機構，如圖1 所示。參考文獻[10]對該機構及其用途進行了詳細介紹。

設并聯機構輸出速度和輸入速度映射關系，如式（1）所示。

式中：Vc—輸出速度；v—輸出線速度；ω—輸出角速度—并聯機構各關節輸入速度；J∈6×n—并聯機構速度雅可比矩陣。

將機器人線速度和角速度分開單獨進行分析。定義并聯機構速度雅可比矩陣為 J=［JνJω］T，其中，Jν∈R3×n為機構線速度雅可比矩陣，Jω∈R3×n為機構角速度雅可比矩陣，則式（1）可寫為如下表達式：

根據范數概念，對式（2）兩端同時取2 范數，得：

圖1 2SPU+U 并聯機構Fig.1 2SPU+U Parallel Mechanism

引入格朗日算子λν、λω，結合式（2）和式（3）可構造如下方程式：

設機構輸入速度為單位速度向量，即：

對式（4）求偏導，并結合式（5）可得機構輸出線速度和角速度極值條件為：

式中：λν—矩陣的特征值；λω—矩陣的特征值，即式（6）取得極值條件為 λν和 λω分別取矩陣和的特征值。將式（6）求得的特征值 λν和 λω分別代入式（3）可得機構輸出線速度和輸出角速度極值[11]，即：

在機器人工作空間內，線速度和角速度向量分別構成一個n維橢球體，研究者基于橢球短軸和長軸的比值介紹了一種速度各向同性評價指標，如式（8）所示。

該指標描述速度橢球的扁率，K 越大，速度各向同性越好。

兩自由度并聯機構有兩個速度輸入，因此線速度和角速度雅可比矩陣各有兩個奇異值，基于式（8）定義該兩自由度并聯機構線速度和角速度各向同性指標，如式（9）所示。

式中：σνmax—矩陣 Jν的最大奇異值；σνmin—矩陣 Jν的最小奇異值；σωmax—矩陣 Jω的最大奇異值；σωmin—矩陣 Jω的最小奇異值，0

根據參考文獻[10]運動學部分預選機構參數，借助Matlab 軟件對兩自由度并聯機構線速度和角速度各向同性指標進行擬合，得到Ktv和Ktω在工作空間的分布圖，如圖2 所示。

圖2 Ktv 和 Ktω 的分布圖Fig.2 Ktv and Ktω Distribution Diagram

從圖2 可以看出，角速度各向同性指標較大，線速度各向同性指標較小，說明工作空間內角速度各向同性較好，線速度各向同性較差，且線速度和角速度各向同性指標均對稱分布于X=0軸線上，在X=0 軸線上線速度性能較差，而在X=0 軸線兩側隨著與X=0 軸線的遠離，線速度性能指標越來越好，在X=（-21～-17.5）cm，Y=（40.5～46.5）cm 和 X=（17.5～21）cm，Y=（40.5～46.5）cm時，線速度性能指標最好，其最大值為Ktv=0.011453；而角速度性能指標在X=0 軸線上性能最好，而在X=0 軸線兩側隨著與X=0軸線的遠離，角性能指標越來越差，在 X=（-3.3～3.3）cm，Y=（0～25.5）cm 時，角速度性能指標最好，其最大值為 Ktω=0.59033。通過以上分析可知線速度同性指標與角速度同性指標具有矛盾性。為了全面評價機器人在整個工作空間線速度和角速度傳遞性能，定義線速度和角速度全域各向同性指標如下：

式中：0<ηKtv<1，0<ηKtω<1，W—機構可達工作空間。

由式（10）可知，機構線速度和角速度全域各向同性指標越趨近于1，機構在工作空間線速度和角速度傳遞性能越好。

3 兩自由度并聯機構全域性能波動指標分析

速度全域同性指標ηKtv和ηKtω只反映機構線速度和角速度各向同性的均值，并不能反應整個工作空間內各向同性波動幅度大小，因此，基于統計學中變異系數概念提出一種機構全域性能波動指標作為上述全域同性指標的輔助性能評價指標，設ηˉJ為性能指標ηJ的標準差，即：

則機構全域性能波動指標公式可表示為：

采用單變量分析法，逐個分析重要結構參數（ra rb rz）對性能波動指標的影響規律，借助Matlab 軟件分別繪制關鍵尺寸（ra rb rz）對性能波動指標的影響曲線，如圖3 所示。其中，僅考慮ra、rb、rz 變化時對線速度性能波動指標的影響關系，如圖3（a）、圖3（b）、圖3（c）所示。僅考慮 ra、rb、rz 變化時對角速度性能波動指標的影響關系，如圖3（d）、圖3（e）、圖3（f）所示。

圖3 結構參數與和的關系Fig.3 Relationship Between and and Structural Parameters

4 結論

（1）在兩自由度并聯機構2SPU+U 工作空間內，角速度各向同性指標較大，線速度各向同性指標較小，線速度同性指標與角速度同性指標具有矛盾性。

（2）針對速度全域性能指標的不足提出全域性能波動指標公式，采用單變量分析法，逐個分析了重要結構參數ra、rb、rz 對性能波動指標影響規律，通過分析可知ra 的增大會使整個并聯機構運動線速度和角速度波動程度增大，不利于機構的平穩運行；rb 的增大會使機構線速度運動波動程度增大，rb 的增大對角速度波動性能影響較小。rz 的增大有利于線速度和角速度性能波動的減小，有利于機構的運動控制。

（3）通過機構全域性能指標和全域性能波動指標圖譜，得到尺寸變化對機構性能的影響趨勢，為機構的尺寸選取以及優化設計提供理論依據，對機器人重要結構尺寸的選取以及控制方案的設計有著重要意義。