拉桿轉子輪盤結合面切向接觸剛度試驗研究

呂超穎，張鎖懷，李俊南，紀林章

（上海應用技術大學機械工程學院，上海 201418）

1 引言

分布式拉桿轉子具有諸多優勢，如重量大、剛度大、易于拆卸組裝等，但是，由于存在接觸面，在很大程度上，破壞了拉桿轉子的連續性[1]，所以，重點研究結合面的接觸特性顯得甚是緊要[2-3]，為后來的研究者提供參考。結合面存在著接觸剛度，而且粗糙表面形貌對結合面接觸剛度產生重要影響[4-5]。所以，研究者們開展了大量的研究表面形貌的理論工作。首先，從統計分析平面的GW 模型被美國康涅狄格的Greenwood 和Williamson 提出以后，接著，M-B 接觸模型[6]被提出，它是由Majumdai 和Bhushan 在研究過程中得出的，具體地講，機械加工表面具有自仿射分形特征，粗糙表面的表征參數（分形維數D 和特征長度尺度參數G）具有尺度獨立性，不受儀器分辨率的影響。結合這一接觸分形理論，文獻[7-9]也研究了結合面接觸剛度，分別提出了結合面的切向接觸剛度的分形模型。以上這些模型始終是從理論分析入手，對理論模型的精度和使用范圍沒有進行驗證。

就上述理論工作的不足之處，拉桿轉子輪盤結合面間的接觸效應著重從試驗方面開展。同時，結合輪盤表面微觀形貌的特征分析，基于文獻[10-11]中計算分形參數的方法，建立起理論模型，進行仿真分析與計算，并運用試驗手段，對比分析拉桿轉子輪盤結合面切向接觸剛度的相關問題。著重接觸靜剛度的試驗研究，不具備動剛度研究的條件。

2 分形參數與輪盤粗糙度的關系

2.1 分形參數計算方法

運用分形接觸理論，可理論模擬出粗糙表面的實際輪廓曲線，用處處連續、點點不可微、統計學自相似性的Weierstrass-Mandelbrot 函數[12]來逼近。分形維數D 與分形粗糙度參數G 可通過對功率譜密度函數（power spectral density，以下簡稱 PSD）P（ω）做導數得到。

式中：γ—仿形參數，機械加工表面一般取γ=1.5；ω—空間頻率，單位是m-1。

對式（1）兩邊取對數，得：

令 2D-5=k，b=-2（D-1）lgG-lg（2lnγ）

式（2）可以寫成：

從式（3）可以看出，PSD 在對數計算后的平面坐標系上并非曲線，而是一條直線，k、b 分別表示雙對數坐標方程 lgP（ω）-lgω的傾斜度、與Y 軸交點的縱坐標，如圖1 所示。

圖1 實測、擬合PSD 曲線Fig.1 Measured，Fitted Power Spectral Curve

根據其關系式可得：

由k 和b，就可以計算出分形參數（一定條件下。表現為與整體的相似性）D 和G。

2.2 分形參數的試驗方案

設計、加工八組試驗輪盤，每組五個，直徑140mm，厚度37mm。45 號鋼，經過調質處理，HB220～250。輪盤接觸表面采用車削方式進行加工，而且表面粗糙度Ra的設計值分別為：0.4、0.8、1.6、3.2、6.3、12.5、25 和 50。采用英國某公司制造的 Talysurf CCILite 超精密三維形貌測量儀測量輪盤表面粗糙度，如圖2 所示。在每個試驗輪盤的上下端面上取8 個沿圓周方向均勻分布、長20mm 的測量長度，測量長度沿半徑方向。在輪盤粗糙度測量過程中，發現其中一組輪盤的粗糙度值非常分散，而且與設計值相差較大，因此，剔除了該組輪盤數據，在后文的輪盤剛度試驗中，也沒有考慮該組輪盤，其余輪盤粗糙度試驗數據，如表1 所示。

在第一組、第二組輪盤中，其中各有一個輪盤的粗糙度值出現較大偏離，在剛度試驗中，沒有使用。因此，在表1 中，沒有給出。

對實測表面粗糙度Ra數據進行功率譜分析之后，將分析結果轉化到lgP（ω）-lgω 坐標系上。按前文中的算法，計算表面輪廓曲線的功率譜函數，并繪制實測曲線，再將實測值擬合為功率譜函數曲線，如圖1 所示。

表1 輪盤粗糙度試驗數據Tab.1 Roulette Roughness Test Data

圖2 三維形貌測量儀測量輪盤RaFig.2 Three-Dimensional Topography Measuring Wheel Roughness

圖3 分形維數-表面粗糙度關系Fig.3 Fractal Dimension-Surface Roughness Relationship

圖4 分形粗糙度參數的指數-表面粗糙度的關系Fig.4 The Relationship Between the Index of Fractal Roughness Parameters and Surface Roughness

由于上述每一組試驗數據呈現在平面上是一系列分散的點，需用光滑的曲線擬合連接起來，通過擬合直線的斜率和截距，可得D 與Ra之間的關系。再將每組表面粗糙度對應的分形維數、分形粗糙度參數繪制在二維圖上，得到一系列離散點，如圖3、圖4 所示。

對這些離散點，用冪函數進行近似擬合，可得分形維數與表面粗糙度之間的近似換算式（其中，Ra的單位是μm）為：

對試驗數據進行擬合，可得分形粗糙度參數與表面粗糙度之間的近似換算式（為了表達方便，令g=-logG）為：

3 切向接觸剛度分形模型及仿真

3.1 切向接觸剛度

基于文獻[13]中的分形接觸理論，結合面切向接觸剛度可以由下式來計算：

式中：al—最大的接觸點面積；ac—臨界接觸面積；H—較軟材料的硬度；σy—較軟材料的屈服強度；E—兩接觸材料的復合彈性模量；P—結合面上的法線方向上的力；T—結合面上的切向載荷；和μ—結合面兩接觸材料的當量剪切彈性模量和摩擦系數；E1、E2和 ν1、ν2—兩個接觸材料的彈性模量和泊松比。

由式（7）可見，切向接觸剛度Kt不僅與輪盤表面材料性能參數有關，還與作用在結合面上的拉桿轉子法向力P、切向力T 和接觸區域面積有關。同時需要指出：僅當T/P<μ 時，切向接觸剛度Kt才存在；當T/P≥μ 時，轉子輪盤將會發生相對滑動。

粗糙表面上的法向力P 可以表示為[13]：

當 1＜D＜2，D≠1.5 時，接觸載荷為：

當D＝1.5 時，接觸載荷為：

這樣，由式（7）～式（9）可知，在結合面的切線方向上的接觸剛度Kt與以下幾大參數存在復雜非線性關系。分別為：作用在結合面上的法線方向上的力P、切線方向上的力T、粗糙表面材料性能參數（如表面硬度H、σy、E、當量剪切彈性模量Gˉ等）以及分形維數D、分形粗糙度參數G，由此構成了結合面切向接觸剛度的分形模型。給定切向力T 和最大的接觸點面積al，就可以通過式（7）～式（9）分別算出切向接觸剛度和拉桿轉子法向載荷，進而建立起切向接觸剛度與切向載荷、拉桿轉子法向載荷的關系。

根據臨界接觸面積ac的計算公式，當表面粗糙度確定時，臨界接觸面積也是定值；綜合式（7）～式（8）可知，當拉桿轉子法向力P 較小時，最大的接觸點面積 al小于 ac，則 Kt為負；同樣，當 Ra較大時，al變小，ac變大，也會造成切向接觸剛度為負的情況。由此可說明，接觸分形理論只適用于Ra較小、拉桿轉子法向力P 較大的情況。

汾渭平原作為中國第四大平原，是全國空氣污染最嚴重區域之一，2018年被生態環境保部納入了“藍天保衛戰”治理重點區域。目前有關將汾渭平原大氣污染作為一個整體進行衛星監測的研究報道較少。本研究將利用 OMI數據，綜合運用空間插值、相關分析等方法對汾渭平原SO2季節性空間分布特征、逐月變化，以及不同時期平均年總量變化情況進行探討，旨在全面認識汾渭平原大氣污染現狀，為本區域聯防聯控提供科學依據。

3.2 仿真與分析

輪盤材料性能及參數，如表2 所示。

表2 輪盤表面材料性能及參數Tab.2 Roulette Surface Material Properties and Parameters

圖5 粗糙度為0.34μm、不同切向載荷時，切向接觸剛度隨法向載荷變化的曲線圖Fig.5 Roughness of 0.34，Different Tangential Load，the Tangential Contact Stiffness Curve With the Normal Load Changes

由式（7）可知，切向Kt與拉桿轉子法向力P、切向力T 和輪盤Ra有關，為了比較Ra和P 對剛度Kt理論計算值和試驗測量值的影響，考慮到分形接觸理論僅適用于Ra很小、較大拉桿轉子法向力的局限性，考慮到輪盤之間存在切向滑移和實際拉桿的抗破壞最大應力，在此處只選取表面粗糙度為0.34μm、0.92μm，法向載荷依次為 30kN、40kN、50kN、75kN、100kN、125kN，切向力依次為 1kN、3kN、5kN、7kN、9kN、11kN。計算結果，如圖5、圖6 所示。由于粗糙度為0.92 時，拉桿轉子法向載荷小于50kN 的切向接觸剛度理論計算值為負，所以，圖6 的計算結果中，粗糙度為0.92時，最小拉桿轉子法向載荷為50kN。

由圖5、圖6 可知：拉桿轉子結合面的剛度Kt隨法向力的增大而增大，這是因為隨著拉桿轉子法向力增大，結合面的受剪面積也將增大，從而其Kt增大；拉桿轉子結合面的隨著結合面Kt間的切向力T 與法向力P 之比的增大而減小，即在結合面法向載荷一定的情況下，結合面Kt隨著結合面間切向載荷T 的增大而減小。

在圖5 中，當切向載荷逐漸增大為11kN 時，拉桿轉子輪盤之間出現滑移，導致切向接觸剛度值增加趨勢與較小切向載荷的切向剛度值的增加趨勢不太一致。

4 切向接觸剛度的試驗研究

4.1 試驗裝置及過程

輪盤結合面切向剛度試驗裝置，包括萬能試驗機、拉桿轉子（通過拉桿將各輪盤壓緊組裝在一起，拉桿有八根，分布在輪盤周向某一半徑處）、校正套筒（尺寸、結構與五個疊加輪盤相同，唯一區別是沒有接觸面，為整體結構）和兩個數顯千分表，如圖7 所示。

圖7 輪盤切向接觸剛度試驗裝置Fig.7 Wheel Tangential Contact Stiffness Test Device

萬能試驗機架的頂部設有上壓頭，數顯千分表一和數顯千分表二位于上壓頭的兩側、第2 和第4 塊輪盤外圓面上，機架的中部設有可移動的橫梁，橫梁上間隔設置兩V 型塊，將拉桿轉子水平搭設在兩V 型塊上，且位于所述上壓頭的正下方，如圖7 所示。萬能試驗機對拉桿轉子或校正套筒加壓，直至輪盤間出現滑移。記下兩個數顯千分表的讀數。典型的加載曲線，如圖8 所示。每條曲線代表一次加載過程。縱坐標表示對拉桿切向加載時，經數顯千分表一測得的輪盤位移a1。

圖8 結合面切向變形量與壓頭作用力關系圖Fig.8 The Relationship between the Tangential Deformation of the Joint Surface and the Pressure Head Force

4.2 數據處理

對拉桿轉子切向加載時，經兩個數顯千分表測得的輪盤位移為 a1、a2；

將輪盤組拆卸下，對校正套筒切向加載時，經兩個數顯千分表測得的校正套筒切向位移為b1、b2。

需要說明的是，對校正套筒加壓時，是為了排除輪盤自身形變、工作臺變形、輪盤外圓面與V 型塊的接觸變形、V 型塊與工作臺的接觸變形、壓力機傳力系統變形等因素所帶來的影響。

（1）計算拉桿轉子之間結合面的切向變形量：

則一個結合面的切向變形量δ，關系式如下：

（2）繪制接觸面上的切向載荷與結合面的切向變形量關系圖，如圖9 所示。利用最小二乘法擬合出其冪關系式。根據拉桿轉子輪盤之間的切向變形量隨著法向載荷增大而變小的原則，選取符合該趨勢的相關數據作為計算數據。這里只給出粗糙度為0.34μm 不同法向載荷的冪關系式。

圖9 切向載荷與結合面切向變形量關系圖Fig.9 The Relationship of Tangential Load and the Joint Interfaces Tangential Deformation

然后對這些冪關系式求導，即可得到結合面切向接觸剛度Kt。

4.3 試驗剛度結果與理論模型對比分析

對于本次試驗的結合面，切向接觸剛度隨接觸面上的切向載荷的變化不是太大，暫且不分析輪盤結合面切向接觸剛度隨切向載荷的關系。

粗糙度為0.34μm、0.92μm 時，理論模型和試驗獲得的結合面切向接觸剛度隨拉桿轉子法向載荷的變化規律，如圖10、圖11 所示。

由于切向載荷不止加一次，所以圖10、圖11 只給出切向總載荷為10kN 時的切向剛度，圖中的試驗切向剛度與理論模型剛度趨勢一致，但存在一定的誤差。

圖10 Ra=0.34μm，理論與試驗剛度隨拉桿轉子法向載荷變化關系圖Fig.10 Ra=0.34μm，Theoretical and Experimental Stiffness with the Rod Fastening Rotor Normal Load Changes

圖11 Ra=0.92μm，理論與試驗剛度隨拉桿轉子法向載荷變化關系圖Fig.11 Ra=0.92μm，Theoretical and Experimental Stiffness with the Rod Fastening Rotor Normal Load Changes

由理論剛度與試驗剛度結果可知：當表面粗糙度一定、拉桿轉子法向載荷增大時，理論剛度和試驗剛度都變大。由于輪盤結合面Kt是作用在結合面上的拉桿轉子法向載荷的函數，所以增加結合面間的拉桿轉子法向力，可提高輪盤Kt；理論Kt和試驗Kt隨著Ra 增大而減小，由于Ra 增大時，輪盤結合面最大接觸面積減小，以至于Kt降低。

5 結論

（1）分形接觸理論可以用于研究粗糙接觸表面的切向接觸剛度問題，但是，使用范圍有限，與試驗數據存在一定誤差。

（2）有效提高輪盤切向剛度的方法是增加結合面間的拉桿轉子法向力。

（3）表面粗糙度增大，則切向接觸剛度隨之減小。

（4）以上結論均為靜剛度的范疇，下一步將準備動剛度的相關試驗研究。