考慮回轉(zhuǎn)間隙的某型火炮動(dòng)力學(xué)仿真

鄧輝詠，何循來，吳大林，熊 超

（1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，火炮工程系，河北 石家莊 050003；2.南通理工學(xué)院，機(jī)械學(xué)院，江蘇 南通 226002）

1 引言

某型大口徑榴彈炮，自重約3t，可以直升機(jī)吊運(yùn)，具有很好的戰(zhàn)術(shù)機(jī)動(dòng)性，非常適合山地作戰(zhàn)，在山地作戰(zhàn)中需要精確定點(diǎn)拔除敵方工事，因此對(duì)火炮射擊精度要求較高。采用試驗(yàn)的方法研究改進(jìn)火炮的射擊精度，費(fèi)效比低，目前國(guó)內(nèi)最有效可行的方法大多基于虛擬樣機(jī)技術(shù)，建立火炮動(dòng)力學(xué)仿真模型研究火炮的動(dòng)力學(xué)特性。

為了得到更精確的虛擬樣機(jī)，需要準(zhǔn)確把握各機(jī)構(gòu)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系及其力學(xué)本質(zhì)，文獻(xiàn)[1]通過建立齒輪齒弧的精確三維模型，基于Hertz 接觸模型，建立了某車載炮的動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[2]根據(jù)火炮高低機(jī)中具有碟簧緩沖裝置的實(shí)際，建立了考慮碟簧緩沖作用的火炮動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[3]基于有限段法，研究了彈丸在膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)對(duì)炮口擾動(dòng)影響；文獻(xiàn)[4]采用非線性有限元法，建立考慮彈炮耦合作用的某牽引火炮有限元模型，研究彈、炮結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈丸起始擾動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[5，6]用非線性彈簧阻尼模型研究了耳軸間隙在火炮射擊過程中對(duì)炮口運(yùn)動(dòng)的影響。

火炮射擊前通過轉(zhuǎn)輪進(jìn)行方向瞄準(zhǔn)，射擊時(shí)，由于蝸輪蝸桿的反向自鎖作用，轉(zhuǎn)輪保持不動(dòng)。考慮方向機(jī)的建模有扭簧法替代[7]和回轉(zhuǎn)軸承大規(guī)模接觸/碰撞法[8]，回轉(zhuǎn)軸承的接觸/碰撞屬性顯然比扭簧替代法更能反映問題實(shí)際，但實(shí)際上，射擊過程，由于軸承游隙和齒側(cè)間隙的存在，回轉(zhuǎn)軸承不只徑向移動(dòng)，還繞其回轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)，這是一種耦合運(yùn)動(dòng)，不能只考慮某一個(gè)間隙，而因該整體考慮。

2 回轉(zhuǎn)部分力的傳遞關(guān)系

回轉(zhuǎn)部分機(jī)構(gòu)關(guān)系簡(jiǎn)圖，如圖1 所示。方向機(jī)齒輪是方向機(jī)的輸出齒輪，方向機(jī)本體與上架固定。方向機(jī)齒輪與回轉(zhuǎn)齒圈嚙合，回轉(zhuǎn)齒圈與回轉(zhuǎn)軸承的外圈和下架固定在一起，為不動(dòng)部分，回轉(zhuǎn)軸承內(nèi)圈與上架固定在一起，為回轉(zhuǎn)部分。

圖1 回轉(zhuǎn)部分機(jī)構(gòu)關(guān)系簡(jiǎn)圖Fig.1 Mesh Relationship Diagram of Traversing Mechanism

射擊時(shí)，由于方向機(jī)具有反向自鎖作用，方向機(jī)齒輪不動(dòng)，炮膛合力在水平面內(nèi)的不平衡力矩帶著回轉(zhuǎn)部分有旋轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，該不平衡力矩經(jīng)回轉(zhuǎn)軸承內(nèi)圈->滾子->回轉(zhuǎn)軸承外圈->齒圈->方向機(jī)齒輪，方向機(jī)中有緩沖裝置吸收不平衡力矩帶來的沖擊，保護(hù)方向機(jī)中的零部件。

3 考慮間隙的方向機(jī)力學(xué)模型

牽引火炮動(dòng)力學(xué)模型的建立方法在許多文獻(xiàn)中均有論述，這里不贅述，這里重點(diǎn)對(duì)考慮間隙的方向機(jī)力進(jìn)行建模。

為了內(nèi)外圈轉(zhuǎn)動(dòng)靈活，回轉(zhuǎn)軸承存在游隙；另外，對(duì)于漸開線齒輪，為了不產(chǎn)生干涉，兩嚙合齒間存在齒側(cè)間隙。為了討論的方便，做如下假設(shè)：（1）回轉(zhuǎn)軸承的游隙沿徑向是均勻的；（2）在射擊時(shí)，方向機(jī)齒輪某個(gè)齒剛好落在齒圈某兩個(gè)齒中間，即左右齒側(cè)間隙相等。

3.1 建模方案

為同時(shí)考慮軸承游隙和齒側(cè)間隙，在上架與下架間建立一個(gè)質(zhì)量和慣量為0 的啞物體，為在數(shù)值計(jì)算時(shí)不產(chǎn)生奇異，可將質(zhì)量和慣量設(shè)為小值。（1）啞物體與下架間通過旋轉(zhuǎn)副約束，并通過一個(gè)雙向扭力約束轉(zhuǎn)動(dòng)方向的自由度，模擬方向機(jī)齒輪與齒圈的作用；（2）啞物體與上架通過平面副和垂直副約束，上架相對(duì)于啞物體只有在水平面內(nèi)兩個(gè)平動(dòng)自由度，用一對(duì)相互垂直的雙向力約束兩個(gè)平動(dòng)自由度，模擬回轉(zhuǎn)軸承的內(nèi)部作用。

3.2 雙向力和雙向扭力力學(xué)模型

含間隙鉸的建模方法主要：連續(xù)接觸模型、經(jīng)典碰撞模型和連續(xù)接觸力模型。連續(xù)接觸力模型考慮了變形位移以及變形速度的綜合作用，能夠計(jì)及碰撞對(duì)的法向力、切向力以及阻力。其力學(xué)模型一般采用基本Hertz 接觸理論的Lankarani-Nikravesh 非線性等效彈簧阻尼模型表征[9]。

式中：Fn—接觸點(diǎn)處的徑向接觸力；kn—徑向的等效接觸剛度，據(jù)經(jīng)驗(yàn)取常數(shù)；δ—接觸元素的相互滲透深量；δ˙—相互滲透速度；e—非線性因子；c—阻尼系數(shù)，其表達(dá)式為：

式中：ce—恢復(fù)系數(shù)；δ˙（-）—撞擊點(diǎn)初始相對(duì)速度；在實(shí)際建模過程中一般取經(jīng)驗(yàn)值或取剛度值的（0.1～1）%。

由于回轉(zhuǎn)軸承和齒輪齒圈嚙合均充分潤(rùn)滑，切向摩擦力與法向力相比很小，因此暫不考慮切向力的影響。

根據(jù)假設(shè)，則雙向力的力學(xué)模型可表示為：

式中：h—上架與啞物體在水平面內(nèi)沿坐標(biāo)軸的相對(duì)位移量。

雙向扭力模型與雙向力模型一致，只需將接觸剛度轉(zhuǎn)換成扭轉(zhuǎn)剛度，其關(guān)系式為：

式中：R—齒圈節(jié)圓半徑；kT—扭轉(zhuǎn)剛度。

阻尼的轉(zhuǎn)換關(guān)系式與剛度具有相同的形式，其位移和速度則是下架與啞物體繞回轉(zhuǎn)中心的相對(duì)角位移量和角速度。

3.3 雙向力模型剛度計(jì)算

回轉(zhuǎn)軸承滾子受力圖，如圖2 所示。

圖2 回轉(zhuǎn)軸承滾子受力圖Fig.2 Stress Diagram of Roller of Traversing Bearing

由于滾道的存在，當(dāng)座圈受到徑向作用力，其產(chǎn)生的接觸力也是徑向的。滾子與內(nèi)外滾道的接觸是典型的Hertz 接觸問題，要用Hertz 求取經(jīng)典解，需要求解橢圓率參數(shù)K、第一類橢圓積分Γ、第二類橢圓積分Σ和接觸體幾何尺寸間關(guān)系的超越方程，由于這種方法比較難于求解，采用布魯和哈姆克借助最小二乘法用線性回歸得到的 K、Γ 和Σ[10]：

對(duì)于球與內(nèi)外滾道的接觸：

式中：D—滾子直徑；r—內(nèi)外滾道的曲率半徑；Dm—滾子回轉(zhuǎn)中心圓直徑；Rx的表達(dá)式中；“+”—外滾道接觸；“-”—內(nèi)滾道接觸。則接觸變形與應(yīng)力的關(guān)系為：

式中：δ—接觸變形；Q—接觸力；Σρ—滾子、滾道在軸向平面、徑向平面的主曲率和。

得到滾子與內(nèi)外滾道接觸變形與接觸應(yīng)力關(guān)系后，用力法進(jìn)行求解，對(duì)于軸承的徑向變形，滾子變形的幾何關(guān)系滿足：

軸承的軸向變形，滾子變形幾何關(guān)系滿足：

根據(jù)上述方程即可求取各個(gè)方向的接觸剛度，由于回轉(zhuǎn)軸承具有對(duì)稱性，因此互相垂直的兩個(gè)雙向力剛度相等。

3.4 雙向扭力模型扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算

雙向扭力模型主要是模擬齒輪的接觸，對(duì)于齒輪接觸，除了有接觸變形還有彎曲變形和剪切變形，另外齒寬和重合度也會(huì)對(duì)輪齒的嚙合剛度有影響。在這里采用Y Cai 提出的嚙合剛度模型計(jì)算齒輪的嚙合剛度。

用Y Cai 模型計(jì)算時(shí)變嚙合剛度[11]，在單齒嚙合情況下，其表達(dá)式為：

式中：X—作用線上，從嚙入點(diǎn)到嚙出點(diǎn)的嚙合位置，X 的原點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)位置：

式中：ε—總重疊系數(shù)；εa—端面內(nèi)重疊系數(shù)；tz—端面內(nèi)轉(zhuǎn)過一個(gè)基節(jié)的嚙合時(shí)間。

Ca—與齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量：

式中：β0—節(jié)圓上的螺旋角；B—有效齒寬（mm）；H—全齒高（mm）。

Kp—接觸剛度幅值點(diǎn)，對(duì)于普通材質(zhì)的齒輪，其值也是與齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量：

式中：mn—齒輪副法向模數(shù)，嚙合剛度的單位為N/μm。

當(dāng)重合度ε>1 時(shí)，齒輪接觸對(duì)的綜合嚙合剛度為：

式中：I=int（ε-1）。

根據(jù)假設(shè)，取t=0 時(shí)刻的嚙合剛度：

從式中可以看出，嚙合剛度為與重合度、模數(shù)、齒寬等結(jié)構(gòu)參量有關(guān)的量。嚙合剛度與模型中扭轉(zhuǎn)剛度的關(guān)系，如式（4）所示。

4 仿真計(jì)算

齒側(cè)間隙和回轉(zhuǎn)軸承的游隙其設(shè)計(jì)值均為0.1mm，考慮到使用過程中的磨損，分別對(duì)間隙值和游隙值為0.2mm 和0.5mm的情況進(jìn)行發(fā)射動(dòng)力學(xué)仿真，考查炮口橫向角位移θh、橫向角速度ωh情況。齒側(cè)間隙和回轉(zhuǎn)軸承游隙單獨(dú)作用及共同作用對(duì)θh的影響，如圖3～圖5 所示。

從圖3 可以看出，回轉(zhuǎn)軸承間隙的影響顯著，間隙增大到0.5mm 后，其擾動(dòng)幅值是初始間隙的兩倍。這是由于反后坐裝置的復(fù)進(jìn)機(jī)力和駐退機(jī)力是一對(duì)不平衡力，在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)產(chǎn)生不平衡力矩。在炮身后坐時(shí)，這一不平衡力矩使得炮身向駐退機(jī)一側(cè)旋轉(zhuǎn)。由于間隙的存在，回轉(zhuǎn)部分初期處于自由狀態(tài)，此時(shí)受到的力作用和邊界條件相同，因此其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)基本一致。間隙越大，回轉(zhuǎn)部分回轉(zhuǎn)角度越大，輪齒接觸時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度越大，碰撞力越大，炮口擾動(dòng)越明顯，炮口橫向角位移越大。

圖3 回轉(zhuǎn)軸承游隙為0.1mm 時(shí)，隨齒側(cè)間隙變化曲線Fig.3 Changing Curve by the Backlash in Circular Tooth when the Clearance of Gear Ring was 0.1mm

圖4 齒側(cè)間隙為0.1mm 時(shí)，隨回轉(zhuǎn)軸承游隙變化曲線Fig.4 Changing Curve by the Clearance of Gear Ring when the Backlash in Circular Tooth was 0.1mm

從圖4 中可以看出，回轉(zhuǎn)軸承游隙影響不明顯階段比齒側(cè)間隙影響長(zhǎng)（前者約為0.3s，后者為0.1s），幅值隨齒側(cè)間隙影響較小。這是由于在相同齒側(cè)間隙下，齒圈游隙越大，在炮膛合力作用下，回轉(zhuǎn)部分在后坐方向的自由行程增長(zhǎng)，后坐方向接觸力增大，但該接觸力影響回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，炮身橫向角位移不變。后期炮口橫向角隨間隙變化出現(xiàn)不一致性，是齒圈游隙和齒側(cè)間隙耦合作用引起的。

圖5 齒圈游隙和齒側(cè)間隙均變化時(shí)的曲線Fig.5 Changing Curve by Both the Backlash in Circular Tooth and the Clearance of Gear Ring

從圖5 中可以看出，當(dāng)齒側(cè)間隙和回轉(zhuǎn)軸承游隙共同作用時(shí)，曲線形狀和幅值與圖3 有較高的相似性，說明齒側(cè)間隙是引起炮口橫向角位移的主要因素。

圖6 齒圈游隙為0.1mm 時(shí)，隨齒側(cè)間隙變化曲線Fig.6 Changing Curve by the Backlash in Circular Tooth when the Clearance of Gear Ring was 0.1mm

圖7 齒側(cè)間隙為0.1mm 時(shí)，隨齒圈游隙變化曲線Fig.7 Changing Curve by the Clearance of Gear Ring when the Backlash in Circular Tooth was 0.1mm

圖8 齒圈游隙和齒側(cè)間隙均變化時(shí)的曲線Fig.8 Changing Curve by both the Backlash in Circular Tooth and the Clearance of Gear Ring

齒側(cè)間隙在轉(zhuǎn)軸承游隙單獨(dú)和共同作用對(duì)炮口橫向角速度的影響，如圖6～圖8 所示。從圖中可以得到與炮口橫向角位移相似的結(jié)論。不同之處在于：在運(yùn)動(dòng)后期ωh變化激烈，角速度曲線表現(xiàn)出了強(qiáng)非線性，從幅值來看，當(dāng)軸承游隙為0.1mm 時(shí)，ωh反而最大，這是齒圈游隙和齒側(cè)間隙耦合運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。

5 結(jié)論

基于虛擬樣機(jī)技術(shù)，建立了考慮回轉(zhuǎn)軸承游隙和齒側(cè)間隙的某型火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型，討論了回轉(zhuǎn)部分間隙非線性建模方案，回轉(zhuǎn)軸承徑向支撐剛度以及齒圈與方向機(jī)輸出齒輪嚙合剛度計(jì)算方法，最后分別對(duì)齒側(cè)間隙、回轉(zhuǎn)軸承游隙以及其共同作用對(duì)炮口橫向角位移和角速度進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果顯示：（1）齒側(cè)間隙越大，炮口橫向角位移位移越大，當(dāng)間隙增大到0.5mm 時(shí)，橫向角位移幅值約為初始間隙幅值的2 倍；（2）齒圈游隙對(duì)炮口橫向角位移的影響不顯著；（3）在考慮齒圈游隙和齒側(cè)間隙共同作用時(shí)，齒側(cè)間隙是引起炮口橫向角位移與角速度的主要因素，兩因素共同作用與齒側(cè)間隙單獨(dú)作用曲線有較高的一致性；（4）由于兩因素的耦合作用，炮口橫向角速度曲線在運(yùn)動(dòng)后期產(chǎn)生了強(qiáng)非線性。