應用分層布局的開槽機方案設計

楊佳佳，薩日娜，李緯天

（內蒙古工業大學機械學院，內蒙古 呼和浩特 010051）

1 引言

隨著科技進步和當前機械領域的快速發展，機械產品也開始面臨應對當前新型工業化帶來的挑戰，對其升級來滿足生產需要。開槽機是裝修行業和建筑行業的主要使用設備。若設備的體積小、穩定性好、工作效率高，則在現實工作中可以實現高效、安全、經濟的作業。經過實際考察和施工人員的要求。對開槽機進行升級設計。升級后的開槽機在現有基礎上增加了（水箱、導軌、履帶輪、液壓桿、控制系統）等相關部件，開槽機是一個包括機械結構、各類零部件、動力裝置、控制系統等的復雜系統。有功能復合化、結構多樣化的特點。各組成部件的布局是開槽機升級的重要環節，布局問題涉及到計算幾何、計算機圖形學、運籌學、邏輯推理等多學科、多領域的知識，屬于復雜的組合優化問題。其復雜度具有：布局問題的模型一般非常復雜，很難用數學模型進行完全、準確地描述，需要用復合知識模型來表達；布局的合理與否也直接影響生產及操作使用，決定設備的工作效率。

布局設計問題在機械工程、航空航天、交通運輸、模式識別、機器人手臂運動規劃、大規模集成電路的設計、出版印刷、造船、建筑設計和城市規劃等諸多行業的應用十分廣泛。對產品設備升級上的布局設計問題，國內外學者在復雜的內部部件布局方法上進行研究。文獻[1]采用遺傳算法對中的多目標和多約束的機械優化設計優化問題進行探討。文獻[2-4]提出了部件圖元化、矩形外包面積等，通過約束來解決布局問題。文獻[5]提出從上到下的設計思路，將按照屬性信息、行為信息和形位信息對產品設計中的布局約束進行分類。并且將布局約束分為部件級、零件級和特征級，應用分層表達來討論約束層次、整體到局部之間的相互聯系。文獻[6]提出了基于產品級的組件特征概念及其相應的面向產品布局設計的組件特征模型。文獻[7]從機械部件智能布局出發，通過對機械部件之間的約束關系進行知識整理、歸納，建立了一個面向機械部件智能布局且又基于知識的簡化約束模型，實現了一個基于約束關系的機械部件布置系統。文獻[8]提出一種定位法布局方案，運用遺傳算法來優化布局問題。文獻[9]研究了衛星艙布局優化問題，建立數學模型，求解了矩形布局問題和多邊形布局問題，并且通過算例驗證了所用方法的有效性。文獻[10]通過研究機械產品的運動方案設計與結構方案設計，并進行了精確的數學描述與表達，為結構與布局方案設計提供了一種理論設計方法。文獻[11]通過產品層次信息模型中的數據映射與約束映射，實現產品信息的層次間關聯。

以上研究對復雜產品及設備的內部部件布局提供了理論及方法，然而布局設計問題在工程領域方面的研究還比較薄弱。在產品及設備的內部部件的布局上，部件大多屬帶約束的布局問題，往往采用人工方式來解決布局問題，即由布局設計人員按照實際布局要求，通過布局模型或根據自身經驗進行試驗或擺放，經過多次反復找出可行的布局方案。同時受部件復雜性和布局求解時間的限制，在布局設計中會錯過或者未發現一些較好的方案。當布局規模比較精密、布局物體形狀較為復雜、約束條件較多時，人工方式布局效率就顯得很慢。

開槽機的布局設計顯得特別重要，設備內部布局可以布置得更加緊湊、高效。將開槽機升級中所用到的功能一一列舉出來，功能模塊聯想產品及部件，產品及部件可簡化成規則的幾何體在空間進行布局。開槽機設計所涉及的布局問題可以看作是具有空間性能約束的布局問題，將大小、體積不同的物體放入到某一個指定大小的空間。物體與物體、物體與空間外圍還存在著多重約束。將三維的升級開槽機的部件進行三視圖投影，其部件可以轉換成多個二維幾何圖，通過對開槽機部件的二維幾何圖元之間的相鄰和干涉關系、合理性布局進行判斷。然后在滿足約束關系的情況下，以這些二維幾何圖作為布局圖元對開槽機進行分層布局設計，該設計對開槽機部件考慮了分層布局與部件間多重約束關系兩方面因素，以一種從下到上、從內到外的設計思路展開設計。采用三維還原后的關鍵點對整體外形進行預測，滿足體積大小、部件的干涉、相鄰關系和合理性的要求，得到開槽機部件布局方案的優化結果。

2 開槽機分層布局模型

2.1 開槽機部件模型建立

首先要對三視圖中部件幾何圖元的重疊區域進行調整，采用三視圖相互轉化的方法，對重疊區域進行拆分。正視圖中，如液壓桿和導軌、電機和傳動裝置出現重疊關系，所以可以將液壓桿和導軌的位置關系轉化到側視圖中，這樣可以在不影響其投影幾何圖元大小的情況下，清晰的找到位置關系。電機和傳動裝置可以轉化到俯視圖中，亦可清晰找出其位置關系和約束。對橢圓、圓等幾何圖形近似成矩形，方便后期數據處理和計算。此外，在同一俯視圖上，重疊的部件會影響后期的布局，經過對開槽機內部部件的分析，提出分層式布局的方法，解決同一視圖中部件較多而引起重疊的布局問題。拆分的第一層部件，如圖1（a）所示。拆分的第二層部件，如圖1（b）所示。

圖1 二維布局示意圖Fig.1 Two-Dimensional Layout Schematic Diagram

2.1.1 第一層部件模型

將第一層（最底層）的部件進行俯視投影，底層的履帶輪、機體底盤、導軌、刀頭這五個重要部件可近似為二維圖形圖元，記作Bi，i∈｛1，2，…，5｝。如圖1（c）所示。型心可以為各個頂點即 Qi=Dik=（xi，yi），xi，yi∈R。Bi的各個頂點沿逆時針方向分別記為Dik，k∈｛1，2，3，4…，i｝。矩形的長邊 Di1Di2與 x 軸的夾角為 αi，記作αi∈［0，2π），i∈In｛1，2，…，n｝，取逆時針為正方向。平行于Di1Di2的向量記作 ai=（cosαi，sinαi），則與其正交的向量記作 bi=（-sinαi，cosαi）。Bi的長與寬分別為2ai1和2ai2（ai1，>ai2），記作ai=（ai1，ai2）。

根據以上定義，在平面上任意一個矩形的布局采用上述表達，記Bi=Bi（Qi，αi，ai）=｛Qi+μ1ai+μ2bi|，μk∈［-aik，aik］k=1，2｝[12]對于Bi邊界及內部的點都可以這樣表示。因此第n 個進行布局預測的部件可以記為 Bi，i∈｛1，2，…，n｝。

2.1.2 中間約束層模型

為了上下層間合理進行布局，需要一個預估矩形來滿足層與層、部件與部件之間的聯系和約束，所以在布局過程中既要注意單層部件間的關系，同時也要注意各層布局之間的要求。

通過對角線找到最底層部件俯視圖的重心位置Q1。找出一個預估矩形BD，根據重心位置Q1確定預估矩形的位置，然后依次輸入預估矩形BD四個頂點的固定坐標即Dik=（xi，yi），xi，yi∈R，k=1，2，3，4，得到預估矩形。滿足面積 S中=3S1/5，且預估矩形的重心與底層部件俯視圖重心基本重合。

圖2 部件分層式示意圖Fig.2 Component Stratified Schematic Diagram

2.1.3 第二層部件模型

每一個部件的布局記作Fi=（xi，yi，αi），i∈｛1，2，…，n｝。即F=（f1，f2，…，fn）為每一層布局方案。所以在第一層布局完成后，需要中間約束層（預估矩形）內開始第二層布局。由于第二層中有三個部件參與布局。對這三個部件Bi=Bi（Qi，αi，ai），i∈｛1，2，3｝，型心為四個頂點即Qi=Dik=（xi，yi），xi，yi∈R。i∈｛1，2，3｝。對其型心Qi的位置進行精確約束，使部件的布局范圍約束在預估矩形內。第二層的三個部件在預估矩形內會找到一個最優外矩形包絡，即完成第二層部件的布局。

2.2 布局中約束的建立

布局時主要存在的約束有形位約束、功能約束、運動約束、序列約束[13]。

2.2.1 形位約束

形位約束：包括形狀約束和位置約束。形狀約束指零部件和產品的形狀。通常簡化為幾何圖元來表示零部件。位置約束是指在布局的同時，對產品和零部件的位置和方向關系的描述。采用進行分層布局時，發現形位約束關系為干涉和相鄰。

（1）干涉

平面上任意一個矩形圖元都有確定的顏色，r 為紅、g 為綠、b為藍等。存在于矩形區域邊界以及內部的點可表述為Bi，每個點所在區域都有自己的像素值。像素值一樣的所有的點為intBi，記為：intBi=Bi（Ai，ai，ai）=｛Ai+μ1ai+μ2bi|μk∈［-aik，aik］k=1，2｝。若所組成的圖形存在交集，則各矩形間的重疊面積存在新的顏色區域，記點S（B）=［R G B］/255=s（Bi∩Bj），集合Ψ 所形成的面積S（Ψ）用于表示Bi與Bj兩者之間的干涉面積，隨著干涉程度變大，面積也跟著變大。S（Ψ）=S（［R G B］/255）=s（Bi∩Bj）若使intBi∩intBj=?（i≠j，i，j∈In+m）成立，滿足該條件則說明兩個矩形之間是不干涉的。

（2）相鄰

某個矩形內部的點為Bi，另一矩形內的點為Bj，兩矩形都有相應的顏色像素值。在RGB 顏色搭配中，兩個不同顏色重合就會出現一種新的顏色，即干涉區域為目標區域內點的像素值s（B）=［R G B］/255=s（Bi∩Bj），反之目標區域的顏色s（B）=［R G B］/255=s（Bi）∪s（Bj），即為相鄰。

圖3 RGB 像素值原理圖Fig.3 Schematic Diagram of RGB Pixel Value

矩形間的相鄰度計算步驟如下：（1）輸入點Bi為某矩形內的點，其像素值為s（Bi）=［R G B］/255；（2）判斷目標區域內所有顏色的RGB 像素值，如果是否滿足s（B）=［R G B］/255=s（Bi）∪s（Bj），如滿足即為相鄰。則終止。如果不滿足則執行以下步驟；（3）計算Bi的像素值是否等于s（B）=［RGB］/255=s（Bi∩Bj），如果滿足，即為干涉。

2.2.2 其他約束

（1）功能約束：產品最終要滿足的用戶對功能的要求，產品主要功能和附加功能的主次關系約束。開槽刀頭為主要功能，其他部件所提供的都是服務開槽的附加功能。

（2）運動約束：反映產品工作時的傳動方式、運動形式及驅動方式等信息。包括動力源供給各個部件提供動力，設備上運動部位（如導軌、履帶）的運動信息等。

（3）序列約束：是在布局設計中，對零部件的組合和優先放置的順序。

用樹狀圖來展示其功能、運動、序列的約束關系，如圖4 所示。

圖4 部件關系樹狀圖Fig.4 Component Relational Dendrims

表1 樹狀圖所示部件及約束關系Tab.1 Components and Constraints Shown in the Dendrogram

由上表可以看出，其中序列約束有：1-2、1-3、1-4、1-12、13-1、2-9、2-10。運動約束有：2-9、4-（5、6、7、8）、9-10。功能約束有：1-3、1-12、2-10、3-10、3-11、9-10。

通過對開槽機做改進設計，增添了部分其他部件。但部件個數可數，產品結構簡單，所以，可以用樹狀圖表達設計約束。同時，參與布局的部件之間需要考慮到功能約束、運動約束、形位約束、序列約束，滿足改進設計和布局優化的要求。因此，在布局設計中靈活配合使用約束要求中等復雜產品的升級改進具有指導意義。對往后較復雜設備的改進也提供了設計思路。

3 求解方法

3.1 分層布局求解過程

確定各個部件數學模型，完成每一層所屬部件在所在層的布局，同時滿足部件間和各層之間的約束關系。指導布局優化設計。具體操作流程，如圖5 所示。

圖5 開槽機改進設計流程圖Fig.5 Improved Design Flow Chart for Slotting Machine

本設計按照由下到上的順序，依次對產品或設備的內部部件進行分層，按照一定的約束條件和布局要求，對每一層的布局進行合理布局。又因為分層布局中，各層部件之間有一點的聯系和約束，所以在布局過程中既要注意單層部件間的關系，同時也要滿足各層布局之間的要求。

首先輸入第一層各個部件的頂點坐標值（型心坐標值）、長寬以及轉角αi。用遺傳算法得到輸出層為第一層的最小外包面積A（s）和理想的布局結果。

完成第一層部件布局后，為第二層部件布局找到預估矩形，通過預估矩形約束上下層間的關系。按照第一層的重心位置與預估矩形重心位置一致、外包矩形上小下大的方式求解得知預估矩形。此外考慮約束關系中的形位約束，應用RGB 三色法對部件間的相鄰和干涉進行判別，還有其他約束關系：功能約束、運動約束和序列約束輔助布局。

最后輸入第二層各個部件的頂點坐標值（型心坐標值）、長寬以及轉角αi。同樣采用遺傳算法得到輸出層為第二層的最小外包面積A（s）和理想的布局結果。得到第二層每個部件的位置坐標和合適的轉角。

3.2 遺傳算法求解

每一層布局過程即為進行多次采點，對滿足要求的接近預想效果的布局方案，進行第二次采點。通過對二次采點后得到每個二維圖元的頂點坐標值（型心坐標值）以及轉角αi。輸出層為總體的最小外包面積A（s）。然后應用遺傳算法在當前所取的方案中，找到局部最優解。所用遺傳算法，從舊群體中選擇一定較優個體組成新的群體，以便產生下一代個體，個體適應度值越高的被容易被選中，采用輪盤賭注法進行選擇，則個體i 被選擇的概率為所求的都是每一層的面積最小值，即采用的方法是minf（x）=maxg（x）=max｛-f（x）｝，其中函數g=-f。采用實數編碼，在個體的第 k（1≤k≤n）個分量的定義區間［lk，uk］中均勻隨機地取一個數v′k代替vk以得到z。也可以先確定一些較小的區間［-Ai，Ai］，i=1，2，…，n。對 vk變異時均勻隨機地在［-Ak，Ak］中取一個數 y 并令 v′k=vk+y。這里 Ak成為變異域，一般取區間［lk，uk］長度的某個百分比，這里取 Ak=0.1·（uk-lk）。

下一步完成兩層的部件布局后，根據層與層之間、部件之間的約束，對其進行三維重構，驗證其布局的合理性。

4 實例分析

開槽機是裝修行業和建筑行業的主要使用設備，對開槽機進行升級設計。升級后的開槽機在現有基礎上增加了（水箱、導軌、履帶輪、液壓桿、控制系統）等相關部件，使其成為中等難度產品，其各個部件在整機中的合理布局，就顯得很重要。首先，產品及部件可簡化成規則的幾何體，然后按照一定的約束對各個開槽機各個部件進行整合。本實例通過分層布局的方法，將空間中多部件布局問題轉化為層式二維布局問題。開槽機內部部件，如圖6 所示。

圖6 開槽機內部部件三視圖Fig.6 The Three View of the Inner Parts of the Slotting Machine

首先確定各個部件數學模型，輸入第一層各個部件的型心坐標值Qi以及轉角αi。用遺傳算法得到輸出層為底部部件的布局結果。得到車底布局圖后，可以初步得到整機的占地面積。同時，為下一步確定中間約束層提供了位置和面積的范圍要求，如圖7 所示。

圖7 開槽機車底布局圖Fig.7 Bottom Layout of Slotted Engine

經過對開槽機底部部件的布局，按照1：40 的比例，在軟件中經過計算。可以求解得知目前最大的外包矩形面積：S=1.188×107，S1=S-2S0。

由于考慮到布局原則，為了滿足穩定性和占地面積。因此，去掉上面兩個空白較大的區域S0得到S1，用剩余最大矩形面積的作為下一層的布局范圍，即為S預。

通過最底層部件俯視圖的重心位置，在底層部件俯視圖找出一個預估矩形，且滿足面積，且預估矩形的重心與底層部件俯視圖重心基本重合，如圖8 所示。

在開槽機車身俯視投影圖上，含有約束固定部件，如圖8 所示。最底下部件位置基本固定，通過俯視圖可以確定一個車身部件布局的范圍，然后對俯視圖固定部件進行合理估算。預先找的一個比較理想的預估矩形，脫離開槽機車底座往上到車身分層布局，滿足穩定性和占地面積的要求，用于布局車身上面的內部部件。內部部件可在預估矩形里頭進行布局，下圖外包矩形就是車身各個部件可布局的范圍。

圖8 開槽機車身部件預估矩形Fig.8 Slotting Machine Body Parts Estimate Rectangle

在完成第一層的部件布局后，開始對開槽機車身內部部件進行第二層布局。應用遺傳算法的具體參數為：迭代次數1000、交叉隨機數 b 取 0.7、變異概率 0.1、種群規模 10；變量就是部件圖元的型心坐標和轉角9 個變量，在MATLAB 中得到的第二層布局方案，如圖9 所示。迭代過程，如圖10 所示。

圖9 MATLAB 中第二層部件布局圖Fig.9 MATLAB Second Layer Component Layout

圖10 迭代過程Fig.10 Iterative Process

經過分層布局，布局結果局，如表2 所示。

表2 所有矩形圖元的型心坐標值及轉角Tab.2 Centroid Coordinates and Angles of all Rectangle Primitives

最終所得第一層（底層）最優占地面積為0.445m2，第二層最優面積為 0.356m2。

本設計將這些設計約束與部件布局結合起來，經過以上步驟，可得到若干個二維矩形布局區域和若干個二維矩形功能區域，在三視圖投影中，再對矩形模型進行數學描述。

在三維工程軟件中，將二維布局的方案進行還原。把三視圖中的一種視圖或者多個視圖導入三維建模軟件，用二維布局中的位置和約束進行三維的分步建模。應用已經布局完成的分層布局方案逐層進行部件的繪制，依次進行部件的布局。

由以上升級改進后的開槽機三視圖里，可以清晰的看出功能區對應的部件。部件的布局直接影響設備的體積、穩定性、工作效率。本實例是開槽機的改進設計。其改進結果，如圖11 所示。

圖11 部件布局三維展示圖Fig.11 Component Layout Three Dimensional Display

5 結語

通過對開槽機內部部件布局設計，提出了結合布局約束條件的分層式布局方法，該方法也可用于內部部件較多且部件處于空間布局的機械產品。該方法在視圖轉化、應用約束條件分層、遺傳算法求解等方面做了研究，并應用于開槽機內部部件間的布局中。以開槽機的改進設計為實例，對該設計方法進行了驗證，將三維的部件投影二維簡化，然后利用約束條件進行對部件分層，以每層外包矩形為優化目標，完成開槽機的內部各層布局方案。從而實現從內部結構到外部造型的設計連接，為后面開槽機的包裝外形設計提供內部參考基礎，可以實現產品內部結構和外部造型的銜接并行設計。該方法對提升產品內部結構設計有重要意義。