多元回歸方法在芹山水庫流域年降雨量系列插補的應用

陳信花，呂澤浩，潘志浩

(1.華電寧德電力開發有限公司，福建 寧德 352100；2.太原理工大學水利科學與工程學院，太原 030024；3.武漢大學水利水電學院，武漢 430072)

0 引 言

穆陽溪流域屬交溪水系，是福建省五大河流之一交溪的一級支流，位于福建省東北部，穆陽溪流域面積1 389 km2，主河道長132 km，河道平均坡降7.49‰，天然落差為820 m，芹山水庫位于福建省周寧縣，于1999年底建成并蓄水，至今已安全運行21年，為保證今后安全運行, 有必要對水庫的流量指標進行復核。但是流域內雨量站資料不夠完整，無法進行產匯流計算，得到流量等一系列水文要素。針對這一問題，目前插補缺失的降雨數據的方法有相似性插補法，空間插補法，氣象要素混合插補法,地形影響因子插補法等[1]，這些方法對其他相關資料的要求更高，而一些區域由于氣象站運行方式為無人值守數據采集以及傳輸受到電力通信條件的限制，相關資料更加難以獲取[2]。而在水文問題中數值相關通常按照數理統計中的回歸相關進行特別是當相關點群相當散漫時，利用回歸分析模型，只需將建庫前的完整降雨資料加入已知的降雨資料系列中, 計算建立回歸方程，便可獲得其缺測漏測年份的降雨資料，進一步用于水庫流量校核[3]。其中求解回歸模型的參數仍比較難求解，本文采用最小二乘法，通過不同站點的均方誤差比較，采用最優的回歸模型進行水文資料的插補和，從而使插補結果更精確。因此，此方法對穆陽溪流域各站水文資料進行插補，為流域內水利規劃、水資源調查評價、水資源合理配置等工作提供基礎依據，具有非常重要的現實意義[4]。

1 流域及水庫概況

芹山、周寧水電站位于福建省穆陽溪流域，位于福建省東北部，發源于福建省鷲峰山脈北端東南側政和縣的鎮前和澄源之間的南山崗。流經周寧縣泗橋、純池、浦源，吸納周寧城關和七步等地來水后在文潭村流入福安市穆陽和康厝諸地，在賽歧鎮上游約2 km處匯入交溪。芹山、周寧水電站的徑流資料包括芹山壩址及附近流域內所有雨量站60 a年降雨量資料(1958-2017年)和七步站60 a(1959-2017年)逐月降雨徑流資料。芹山壩址上游流域內共有純池、澄源、鎮前、前溪和泗橋等5個雨量站，其中純池雨量站資料完整，澄源、鎮前和泗橋3個雨量站資料在1958-1991年、2007-2017年間資料完整，1992-2006年間降雨量資料有不同程度的缺失，其中七步、際頭雨量站資料完整，由于雨量站降雨量資料不齊全，需對雨量站的降雨系列進行插補。

2 年降雨量插補方法

2.1 回歸分析

雨量站在地區中的時空分布不連續，需要將相鄰、相似流域或地區的站點，且具有相同系列的參證站資料通過回歸分析后，將具有長系列的參證站點資料插補至缺測雨量站中。所以當流域中缺少長期測站時，可利用自然地理條件相似的鄰近流域的雨量站作為參證站，通過對已有完整的水文數據與缺測站點的部分水文數據建立進行回歸分析，便可以達到展延水文資料的目的。

降雨資料插補時，參證變量和設計變量應遵循如下原則：①有密切的成因關系;②具有同步系列的參證站資料[5];③參證站需有足夠長的時間系列資料。

具體數學方法如下：多元線性回歸方程的形式為:

y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+ε

(1)

如果我們獲得n組觀測數據,其中每一組觀測

yi=β0+β1x1i+β2x2i+…+βkxki+εi

(2)

式中:i=1，2，…,n;則上式可寫為矩陣形式Y=XB+ε，即:

(3)

由最小二乘法求得回歸系數β0,β1,…,βk，使得：

Qe=Q(β0,β1,…,βk)=

(4)

(5)

從而使因變量的觀察值與估計值之間的離差平方和達到最小來求得回歸系數，求解各回歸參數的標準方程如下,分別求Qe關于β0,β1,…,βk的偏導數，并令其為0。

(6)

利用SPSS或Excel分別對已知長系列降雨資料分別與需要插補降雨資料的雨量站進行一元、二元、三元回歸分析求出相應回歸方程，但是要注意在某些實際問題中，模型回歸系數不能任意取值，可能有一定的約束，應用到具體情況中應注意[6]。

2.2 顯著性檢驗

顯著性檢驗就是事先對總體(隨機變量)的參數做出一個假設，然后利用樣本信息來判斷這個假設是否合理。R檢驗是對每一個回歸方程相關程度的好壞進行檢驗，R表示所有自變量與因變量的相關程度，其值越接近于1，表示相關程度越高，回歸關系越顯著。

(7)

F檢驗中要檢驗自變量是否與因變量呈線性相關，即檢驗原假設是H0否成立。其中備擇假設為H:β1=β2=…,βk=0。當H0成立時，線性相關，否則相關性不顯著。統計學中應用統計量F檢驗H0。

(8)

式中：F服從自由度(m，n-m-1)為的F分布，即F～F(m，n-m-1)。給定置信度α，若P[F≤Fα(m,n-m-1)]=1-α成立，則假設H0成立，否則，拒絕原假設，接受備擇假設即線性認為相關。

均方誤差是反映估計量與被估計量之間差異程度的一種度量。常常作為一種衡量回歸程度好壞的指標。其公式為：

(9)

3 實例應用

為了保證插補準確度，選取合理的降水資料插補處理尤為重要[7]。在所有降雨資料中，純池站、七步站與際頭站為資料完整的雨量參證站。以澄源、泗橋、鎮前雨量站為待插補雨量站，分別與純池、七步、際頭雨量站建立一元回歸方程，與純池和七步，七步和際頭，際頭和純池雨量站建立二元回歸方程，與純池站、七步站、際頭站建立三元回歸方程。經過R檢驗與F檢驗，上述所有回歸方程均通過置信度α=0.05的顯著性檢驗，自變量與因變量有一定的相關關系。為了選擇最優的回歸模型，計算所有回歸方程的均方誤差，取回歸方程中均方誤最小的擬合方程作為其實際的回歸方程。選取最近五年作為檢驗期，其余年份作為率定期(如表1所示)以純池、七步、際頭雨量站為參證站，澄源、泗橋、鎮前雨量站為待插補雨量站，分別應用以上方法推求一元、二元及三元回歸關系，并以均方誤差最小作為評判回歸關系優劣的依據，且以相對誤差小于等于20%作為合格標準、計算其率定期合格率，如表2所示。將各待插補站的最優回歸方程應用于檢驗期各年份降雨量計算，其計算成果如表3所示。

表1 率定期與檢驗期Tab.1 Rate of periodic and inspection period

表2 各插補站最優回歸方程計算結果表Tab.2 Results of optimal regression equation of each interpolation station

表3 檢驗期實測年降雨量與插補降雨量對比表Tab.3 Comparison of measured annual rainfall and interpolation rainfall during the test period

按照表2所示回歸方程對各個站點缺測年份的降雨量進行插補，并繪制插補后歷年降雨量如圖2所示，其中實線為實測降雨量系列，虛線為插補后的降雨系列。經分析可知，流域降雨資料的結果相關度較高，均方誤差較小，精度較高，達到實際使用要求。對于具有短系列實測降雨、徑流資料的一些流域，在進行水資源分析計算之前必須要對現有水文資料進行必要的插補，所選用的方法最好避免單一化，應盡可能實現多樣化分析計算，以便達到對比分析辯證取舍的目的[8]。

4 結 論

根據繪制的多年降雨量過程，可知穆陽溪流域內各雨量站年降雨量相差不大，降水有周期性及年際變化大的特點。對于其他地區，在保證地理相關性的情況下，可使用此方法進行插補，以解決部分雨量站缺測漏測的問題。從而為水利規劃、水資源調查評價、水資源合理配置等工作提供基礎依據。

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