彈藥協(xié)調(diào)器非線性連續(xù)時變反饋控制

王 茜,侯保林

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,南京 210094)

彈藥協(xié)調(diào)器作為大口徑自行火炮彈藥自動裝填系統(tǒng)中的重要組成部分，安裝在火炮車體內(nèi)彈藥倉與炮尾之間，負(fù)責(zé)將彈藥傳輸?shù)脚谖泊b填位置，是一類特殊的機械臂[1].實現(xiàn)彈藥協(xié)調(diào)器的快速精確定位控制對于提高火炮武器系統(tǒng)的射速從而提升其性能具有重要意義.

現(xiàn)有的火炮武器裝備中，彈藥自動裝填系統(tǒng)包括彈藥協(xié)調(diào)器大多仍采用傳統(tǒng)的PD/PID控制方法.然而，彈藥協(xié)調(diào)器是一種復(fù)雜的機電一體化系統(tǒng)，在其運動過程中存在負(fù)載變化、摩擦、環(huán)境外干擾等非線性因素的影響，這些都給協(xié)調(diào)器的精確穩(wěn)定控制帶來了困難，使得傳統(tǒng)的PD/PID控制方法很難達(dá)到控制要求，為解決這一問題，實際系統(tǒng)中只能采用機械抱閘的方式進行輔助定位.這種控制和定位方式雖然保證了運動精度要求，但同時也對彈藥協(xié)調(diào)器的機械結(jié)構(gòu)造成了較大的沖擊磨損，縮短了其使用壽命，更嚴(yán)重降低了整個自動裝填系統(tǒng)的可靠性.因此，實現(xiàn)各部件的精確魯棒控制成為彈藥自動裝填系統(tǒng)研究中的重點和難點問題之一.

類似于彈藥協(xié)調(diào)器這類的機械臂系統(tǒng)在其他領(lǐng)域也有很廣泛的應(yīng)用，例如航天上的自由漂浮空間機械手[2]、工業(yè)機器人[3]、醫(yī)療機器人[4]等等.對于包含彈藥協(xié)調(diào)器在內(nèi)的這類機器人來說，運動精度要求都是非常高的，為提高這類機器人的控制性能及可實現(xiàn)性，基于模型的運動控制方法是一種很好的選擇，這種方法可以同時將摩擦、擾動等非線性因素納入考慮，得到真實的控制結(jié)果，具有重要的實際意義[5].

常用的剛性機械系統(tǒng)動力學(xué)模型通常由Newton-Euler方法、Lagrange方程法、Kane方法等來建立.本文基于Lagrange方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，經(jīng)建模發(fā)現(xiàn)影響系統(tǒng)性能的主要非線性因素有兩種：系統(tǒng)摩擦和用于平衡彈藥協(xié)調(diào)器重力矩的小平衡機的支反力矩.

摩擦是一個復(fù)雜的力學(xué)現(xiàn)象，且普遍存在于機械系統(tǒng)中，對機械系統(tǒng)動力學(xué)有重要影響，具有非線性、時變性等特點，會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差、極限環(huán)振蕩、滯滑運動、低速爬行等問題，嚴(yán)重影響著系統(tǒng)的性能，因此，對系統(tǒng)的摩擦進行建模和補償成為機器人控制領(lǐng)域的熱點研究問題之一[6-9].實現(xiàn)摩擦補償?shù)年P(guān)鍵問題和核心步驟是建立合適的摩擦模型.迄今為止，廣泛應(yīng)用的摩擦模型多達(dá)數(shù)十種，這些模型主要可以分為兩大類[10-11]:靜態(tài)摩擦模型和動態(tài)摩擦模型.前者將摩擦力描述為速度的相對函數(shù)，如Coulomb模型、Stribeck模型等；后者將摩擦力描述為相對速度和位移的函數(shù)，如LuGre模型、Dahl模型等.相對于靜態(tài)摩擦模型而言，動態(tài)摩擦模型不僅包含了摩擦的靜態(tài)特性，同時還描述了摩擦的動態(tài)特性，能夠更為真實地反應(yīng)摩擦狀態(tài).

區(qū)別于一般機器人動力學(xué)以及運動控制問題，本文研究的彈藥協(xié)調(diào)器系統(tǒng)中存在的另一項特殊的而且具有重要影響的非線性因素是小平衡機的支反力矩.文獻(xiàn)[12]用ADAMS軟件建立了協(xié)調(diào)器的多體動力學(xué)仿真模型，將協(xié)調(diào)過程中小平衡機的氣體變化考慮為絕熱過程，將其平衡力簡化為一個等效力函數(shù)來分析小平衡機氣壓變化對模型的影響.文獻(xiàn)[13]在RecurDyn中建立了協(xié)調(diào)器的仿真模型，并以小平衡機的支反力和減速器的齒輪齒面磨損作為故障因素研究了其對協(xié)調(diào)器協(xié)調(diào)性能的影響.文獻(xiàn)[14]在Simulink中建立了協(xié)調(diào)器的動力學(xué)和仿真模型，根據(jù)協(xié)調(diào)器協(xié)調(diào)過程的測試數(shù)據(jù)，采用區(qū)間辨識的方法辨識了包含小平衡機的氣體初壓和多變指數(shù)在內(nèi)的多個不確定參數(shù).

針對類似彈藥協(xié)調(diào)器這種存在強非線性因素干擾的機器人系統(tǒng)，滑模變結(jié)構(gòu)方法利用控制作用的不連續(xù)特性，設(shè)計與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的滑動模態(tài)，并迫使系統(tǒng)按照所設(shè)計滑動模態(tài)的狀態(tài)軌跡運動[15].這種方法中，滑動模態(tài)與系統(tǒng)無直接關(guān)聯(lián)，則不受對象參數(shù)及擾動變化影響，從理論上來講是一類有效的控制方法[16-19]. 除了滑模控制方法，現(xiàn)代魯棒控制[20]、自適應(yīng)控制[21]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[22]、模糊控制[23]等方法也被廣泛關(guān)注.為更好地處理非線性和不確定性問題，這些方法通常會被結(jié)合使用[24-26]以取得更好的控制效果. 本文采用一種基于系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的非線性控制策略[27-29]對彈藥協(xié)調(diào)器的定位控制進行研究，這種方法與系統(tǒng)模型及動力學(xué)過程密切相關(guān)，其從形式上表現(xiàn)為一種連續(xù)時變的PD控制，其中的比列和微分系數(shù)決定于系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，是系統(tǒng)誤差變量的可微函數(shù)，隨著系統(tǒng)趨向于控制目標(biāo)，即誤差變量趨近于零，控制增益會趨向于無窮大，但控制力可以始終保持給定的有界約束，可以有效解決系統(tǒng)的不確定性和非線性問題.

本文對某彈藥協(xié)調(diào)器動力學(xué)過程進行了深入的分析，并采用Lagrange方法詳細(xì)地建立了其動力學(xué)方程.結(jié)合實驗和理論模型，對于協(xié)調(diào)器運動過程中對系統(tǒng)性能產(chǎn)生重要影響的摩擦和小平衡機支反力矩這兩個非線性項進行了辨識.基于辨識后的摩擦模型和小平衡機支反力矩模型，在控制中引入前饋補償項.實驗結(jié)果表明，本文的控制方案在保證了定位精度的前提下，顯著縮短了協(xié)調(diào)器的運動定位時間，驗證了算法的有效性和正確性.

1 彈藥協(xié)調(diào)器建模

1.1 協(xié)調(diào)器動力學(xué)模型

彈藥協(xié)調(diào)器用于接收彈倉內(nèi)被推彈器推送出來的彈丸，在控制器的作用下進行彈藥協(xié)調(diào)，使得彈丸軸線與待發(fā)射狀態(tài)下的炮管軸線相平行，再將該彈丸傳輸?shù)捷攺椌€上，由輸彈機輸彈入膛，其結(jié)構(gòu)圖如圖1(a)所示.協(xié)調(diào)器的工作原理圖如圖1(b)所示，它由兩個串勵式直流電機并聯(lián)驅(qū)動，減速箱由兩級直齒輪傳動和一級蝸輪蝸桿傳動組成，其中蝸輪與耳軸固聯(lián)；小平衡機的作用是平衡協(xié)調(diào)器在協(xié)調(diào)過程中的重力矩，以實現(xiàn)減小電機負(fù)載和支撐平穩(wěn)運動的目的，其結(jié)構(gòu)上主要由平衡油缸和蓄能器組成.

圖1 彈藥協(xié)調(diào)器

通過第2類Lagrange方法，建立協(xié)調(diào)器的動力學(xué)方程為

(1)

為方便實驗研究，根據(jù)協(xié)調(diào)器的工作原理，實驗室搭建了協(xié)調(diào)器的原理樣機，如圖2所示.

在原理樣機中，支臂通過兩個減速器由自帶編碼器的直流電機驅(qū)動，選用的電機型號為Maxon-RE50，減速器1選用Maxon公司的GP52C行星齒輪減速器，減速比為230，減速器2選用上海寅通減速器廠生產(chǎn)的PF90-3行星齒輪減速器，減速比為3，編碼器選用Maxon公司的HEDL5540光電編碼器.另外，原理樣機中采用氣彈簧代替協(xié)調(diào)器的小平衡機給支臂提供支反力矩，采用在支臂末端加負(fù)載的方式代替協(xié)調(diào)器中的彈丸.

圖2 協(xié)調(diào)器原理樣機結(jié)構(gòu)

1.2 協(xié)調(diào)器摩擦建模及參數(shù)辨識

本文采用LuGre模型對彈藥協(xié)調(diào)器進行摩擦建模，該模型從微觀的角度研究摩擦產(chǎn)生的機理，在建模中不僅考慮了粘性摩擦和庫倫摩擦，同時還考慮了靜態(tài)摩擦和Stribeck負(fù)斜率效應(yīng)，是目前較為完善的一種模型.具體表達(dá)式如下：

(2)

g(ω)=Mfc+(Mfs-Mfc)e-|ω/ωs|ns，

(3)

(4)

式中：z為鬃毛的平均變形；Mf為系統(tǒng)所受摩擦力矩；σ0為鬃毛的剛度；σ1為微觀阻尼系數(shù)；σ2為粘性摩擦系數(shù)；ω為支臂角速度；g(ω)為描述Stribeck效應(yīng)；Mfc為庫倫摩擦力矩；Mfs為靜摩擦力矩；ωs為Stribeck特征速度；ns為形狀修正系數(shù).

選取模型中待辨識參數(shù)為χ=(Mfc,Mfs,vs,σ0,σ1,σ2,ns)，采用遺傳算法對這些參數(shù)進行辨識.

辨識時，先斷開協(xié)調(diào)器原理樣機中減速輸出軸和支臂之間的連接，則協(xié)調(diào)器的動力學(xué)方程(1)轉(zhuǎn)化為

(5)

s.t.χ∈χI=[χL,χR],

ω∈ωI=[ωL,ωR].

選擇個體適應(yīng)度函數(shù)f(χ,ω)=1/g(χ,ω),取種群大小M=100，最大迭代步數(shù)Genmax=5 000，設(shè)定交叉概率pc=0.9，變異概率pm=0.01，進行辨識計算.

圖3給出了摩擦力矩實驗結(jié)果和辨識結(jié)果的對比圖，圖4為目標(biāo)函數(shù)在辨識時的收斂過程，表1為參數(shù)的具體辨識結(jié)果.由圖3可以看出辨識結(jié)果和實驗結(jié)果是高度吻合的，辨識結(jié)果合理.

圖3 摩擦力矩辨識和實驗結(jié)果對比

圖4 目標(biāo)函數(shù)收斂過程

表1 LuGre摩擦模型參數(shù)辨識結(jié)果

1.3 小平衡機模型參數(shù)辨識

在彈藥協(xié)調(diào)器的工作過程中，存在帶彈和不帶彈兩種工況，且同樣在帶彈這種工況下還存在彈丸種類不同的情形.由圖1可知，這些不同的工作狀態(tài)和工作模式下，協(xié)調(diào)器支臂和彈丸相對回轉(zhuǎn)中心的重力矩區(qū)別很大.為使驅(qū)動電機的負(fù)載在各工況下能夠保持相對恒定，從而提高協(xié)調(diào)器工作的平穩(wěn)性，采用小平衡機在協(xié)調(diào)器的協(xié)調(diào)過程中對協(xié)調(diào)器支臂產(chǎn)生合適的平衡力矩顯得尤為重要.

分別對帶彈和不帶彈兩種工況下，對協(xié)調(diào)器繞耳軸的重力矩進行建模，即

MG1=m1gL1cos(θ+θ1)+m2gL2cos(θ+θ2),

(6)

MG2=m1gL1cos(θ+θ1).

(7)

式中：m1為協(xié)調(diào)器支臂質(zhì)量；m2為彈丸質(zhì)量；L1為協(xié)調(diào)器支臂質(zhì)心到耳軸中心的距離；L2為位于協(xié)調(diào)器上的彈丸質(zhì)心到耳軸中心的距離；θ1、θ2分別為協(xié)調(diào)器協(xié)調(diào)角度在0°時支臂質(zhì)心和彈丸質(zhì)心與耳軸中心連線和水平線之間的夾角.

由式(6)、(7)可知，在帶彈和不帶彈兩種情況下的重力矩差異較大，若沒有小平衡機提供一定的平衡力矩，則會導(dǎo)致電機負(fù)載的較大差異，這就會提高電機的負(fù)載性能要求.基于平衡性考慮，小平衡機提供的平衡力矩應(yīng)介于式(6)、(7)兩種工況下的重力矩之間.

小平衡機由差動液壓活塞缸和氣囊式蓄能器組成，在原理樣機中，使用氣彈簧代替真實協(xié)調(diào)器中的小平衡機給支臂提供平衡力矩，采用在支臂末端加負(fù)載的方式模擬協(xié)調(diào)器帶彈和不帶彈兩種工況.小平衡機的支反力矩取決于平衡油缸的壓力以及協(xié)調(diào)器的協(xié)調(diào)角度，具體表達(dá)式為

MR=LRp0S[V0/(V0-ΔLS)]n.

(8)

式中：LR為小平衡機支反力矩的力臂，即耳軸中心到小平衡機的距離；p0為蓄能器的初始壓強；S為平衡油缸活塞的面積；V0為氣體的初始容積；ΔL為活塞移動距離；n為氣體多變指數(shù). 其中，S、V0為已知量，LR,ΔL與支臂的角位移相關(guān)，可以根據(jù)協(xié)調(diào)器的基本幾何尺寸以及支臂在運動過程中的位置角度關(guān)系求得.

MR=Mdiη+MG-Mf,

則，在勻速狀態(tài)下，根據(jù)電機電流，式(6)、(7)重力矩MG，再帶入?yún)f(xié)調(diào)器摩擦模型及參數(shù)辨識中辨識出的摩擦力矩Mf，就可以求出小平衡機的支反力矩.

s.t.χ∈χI=[χL,χR],

ω∈ωI=[ωL,ωR],θ∈θI=[θL,θR].

設(shè)定種群大小為M=50，最大迭代步數(shù)為Genmax=100進行辨識計算.

氣彈簧初壓辨識結(jié)果為p0=1.800 7×106Pa，氣體多變指數(shù)辨識結(jié)果為n=1.008 1，圖5給出了小平衡機支反力矩實驗結(jié)果和辨識結(jié)果的對比圖，圖6為目標(biāo)函數(shù)在辨識時的收斂過程.由圖5、6可以看出，辨識結(jié)果和實驗結(jié)果高度吻合，說明辨識后的小平衡機支反力矩項可以有效反映小平衡機在協(xié)調(diào)過程中的真實情況.

圖5 小平衡機支反力矩辨識和實驗結(jié)果對比

圖6 目標(biāo)函數(shù)收斂過程

2 控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

為方便控制器設(shè)計以及穩(wěn)定性證明，記U=Mdiη，S=MG-MR-Mf，記廣義坐標(biāo)q=θ，則動力學(xué)方程(1)重新整理成如下形式:

(9)

方程(9)存在如下性質(zhì):

1)等效轉(zhuǎn)動慣量Je有界，即:

λ1≤Je≤λ2， 0<λ1≤λ2.

(10)

2)重力矩、平衡力矩、摩擦力矩組成的復(fù)合項大小有界，即

|S|≤S0,

(11)

其中，S0>0.

此外，基于實際工程應(yīng)用的考慮，本文假設(shè)式(9)中的控制力矩也是大小有界的，即：|U|≤U0，其中，U0>0.

(12)

其中:

(13)

(14)

(15)

證明過程如下.

首先，引入如下變量：

(16)

ξ2+γ2>0.

(17)

此外，根據(jù)柯西不等式，有

(18)

即

|η|≤ξγ.

(19)

將式(13)、(14)和式(16)代入式(15)，可以得到方程：

16x4-ξ2x2-ηx-γ2=0.

(20)

對于一元四次方程式(20)，有如下定理：

定理1滿足式(17)和式(19)的方程f(x)=16x4-ξ2x2-ηx-γ2總存在一個重數(shù)為一的正實根.

(21)

聯(lián)立式(15)和式(21)，可得：

(22)

(23)

其中：

(24)

(25)

(26)

將式(12)、式(24)～(26)代入式(23)，可得：

(27)

進一步化解式(27)，可得：

(28)

其中

(29)

根據(jù)柯西不等式與式(10)，可得：

(30)

根據(jù)式(11)與式(30)，可得：

(31)

將式(31)代入式(28)，可得：

(32)

(33)

3 實驗驗證

為驗證上述控制算法的有效性以及摩擦和平衡力矩補償對控制算法性能的提升和改善，采用實驗室協(xié)調(diào)器原理樣機進行實驗研究，如圖7所示.控制器選用與Maxon電機配套的EPOS2數(shù)字位置控制器，該控制器通過USB連接到上位機(PC)，以此傳輸通訊數(shù)據(jù)并執(zhí)行控制指令.

圖7 協(xié)調(diào)器原理樣機實驗平臺

采用上文辨識出的基于模型的摩擦和氣彈簧支反力矩設(shè)計補償環(huán)節(jié)，補償后的控制系統(tǒng)描述為

控制流程圖如圖8所示，采用的Maxon電機自身帶有位置控制模式、速度控制模式、電流控制模式等一系列模塊化控制策略，其基本原理為三環(huán)控制.其中，電流環(huán)采用PI控制，可以單獨使用.本實驗采用電機的電流控制模式，即采用系統(tǒng)內(nèi)嵌的PI控制作為電流環(huán)，同時采用本文的控制方法作為位置控制環(huán).

圖8 基于模型的摩擦和支反力矩前饋補償控制流程

實驗分為兩組，第1組考慮基于模型的摩擦力矩和氣彈簧支反力矩補償對控制性能的影響，即做無補償和加補償情況下的對比實驗；第2組在加補償?shù)那闆r下，考慮負(fù)載變化對控制性能的影響，施加負(fù)載情況為：1)無負(fù)載;2)支臂端加一個負(fù)載質(zhì)量塊，質(zhì)量為0.44 kg;3)支臂末端加兩個負(fù)載質(zhì)量塊，質(zhì)量為0.88 kg.

其他系統(tǒng)參數(shù)以及控制參數(shù)取值見表2.

表2 系統(tǒng)參數(shù)及控制參數(shù)

第1組實驗以機械臂末端施加一個配重塊為例，給出對比結(jié)果圖，如圖9～12所示.

圖9～12分別給出了支臂角位移、角速度、系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)、控制電流的有無補償對比曲線，其中，紅色曲線是加摩擦和支反力矩補償情況下的響應(yīng)曲線，藍(lán)色曲線是未加補償情況下的響應(yīng)曲線.從圖中可以看出，在有補償情況下，系統(tǒng)在1.55 s的時間內(nèi)收斂到目標(biāo)狀態(tài)，而相應(yīng)的未補償狀態(tài)下則需要2.07 s才能收斂到目標(biāo)狀態(tài)，說明補償有效提高了控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度，縮短了協(xié)調(diào)器的定位時間，這對于提升協(xié)調(diào)器的協(xié)調(diào)效率以至于提升整個彈藥裝填系統(tǒng)的裝填效率具有工程實踐意義.

圖9 支臂角位移

圖10 支臂角速度

圖11 系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)值

圖12 控制電流

第2組實驗結(jié)果如圖13～17所示.

圖13 支臂角位移

圖14 支臂角速度

圖15 系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)值

圖16 期望電流

圖17 實際電流

圖13～17給出的是不同負(fù)載情況下機械臂的運動響應(yīng)，分別為支臂角位移曲線、支臂角速度曲線、系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)曲線、期望電流曲線和實際電流曲線.可以看出，在負(fù)載發(fā)生變化的情況下，系統(tǒng)收斂到目標(biāo)狀態(tài)所需要的時間基本沒有差別，由此說明了本文中的控制方法對系統(tǒng)慣量變化的魯棒性.此外，圖中，唯一有明顯差別的是控制電流，負(fù)載質(zhì)量越大，控制過程中所需要的控制電流反而越小，這是因為在系統(tǒng)的運動過程中，重力做正功，這一點在系統(tǒng)的動力學(xué)方程式(1)中體現(xiàn)為重力矩項和電機驅(qū)動力矩項符號相同，也即力矩方向相同.

以上兩組實驗分別說明了本文中基于模型和辨識的摩擦和支反力矩的補償可以有效提高控制系統(tǒng)的性能以及控制系統(tǒng)對系統(tǒng)負(fù)載變化的魯棒性.相應(yīng)的，對于實際彈藥協(xié)調(diào)器系統(tǒng)來說，這就意味著本文的方法可以有效解決協(xié)調(diào)器提高協(xié)調(diào)速度的問題以及不同帶彈情況下的精確定位控制問題，具有工程上的現(xiàn)實指導(dǎo)意義.

4 結(jié) 論

1)針對復(fù)雜非線性彈藥協(xié)調(diào)器的快速精確位置控制問題，采用一種基于隱式Lyapunov函數(shù)的連續(xù)時變反饋控制算法設(shè)計了位置控制器，實現(xiàn)了其協(xié)調(diào)定位.

2)過第2類Lagrange方法建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，考慮到系統(tǒng)摩擦力矩以及小平衡機支反力矩會對協(xié)調(diào)器的運動過程產(chǎn)生影響，對這兩項進行了精細(xì)建模，其中，摩擦力矩項采用的是LuGre模型.

3)根據(jù)動力學(xué)方程結(jié)構(gòu)設(shè)計實驗，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)采用遺傳算法對摩擦模型和小平衡機支反力矩模型中的關(guān)鍵參數(shù)進行了辨識，基于辨識后的模型在控制中引入了前饋補償項.

4)控制方案從控制律的形式上來看類似于PD控制方法，但其中的比例和微分系數(shù)取決于系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，是時變連續(xù)的.

5)實驗結(jié)果表明，設(shè)計的控制方案可以保證系統(tǒng)在不同負(fù)載條件下幾乎以同樣的時間和運動性能達(dá)到控制目標(biāo)，具有良好的魯棒性.此外，基于模型的摩擦和支反力矩補償顯著縮短了系統(tǒng)的定位時間，提高了協(xié)調(diào)器系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性能.