一類帶阻尼項非線性分數階微分方程的振動性

曾文君，李德生

（沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧沈陽110034）

非線性微分方程解的振動性廣泛應用于自然科學和工程技術等領域，大量學者致力于此方面的研究。楊甲山［1-2］研究了二階非線性中立型泛函微分方程的振動性、二階Emden-Fowler型非線性變時滯微分方程的振動性，張曉建［3］研究了二階Emden-Fowler型變時滯中立型微分方程的振動性，曾云輝等［4］研究了偶數階半線性泛函微分方程解的振動準則，還有很多關于非線性微分方程解的振動性研究［5-9］，但對非線性分數階微分方程解的振動性研究較少。

CHEN［10］考慮非線性分數階微分方程

其中，Dα-y是關于y的階為α的劉維爾右分數階導數，α∈(0，1)，η＞ 0是正整奇數的商，對t0＞ 0，r和q為 [t0，∞)上的連續函數，k，其中，u≠ 0，k為正常數，利用 Riccati變換和不等式技巧，可得到關于微分方程（1）的一些振動性準則。

文獻［11］研究非線性分數階微分方程

本文主要研究微分方程

其 中 ，t∈[t0，∞ )，t0≥ 0，r(t)∈Cα([t0，+ ∞ )，R)，p(t)，q(t)∈ C([t0，∞ )，R)，f，ψ，g ∈C(R，R)，Q 為[t0，∞ )× R2上 的 連 續 函 數 ，(·) 為 修 正 的Riemann-Liouville分數階導數，α∈(0，1)。

同時，假設下列條件成立：

(A1)r(t)＞ 0，t∈[t0，+ ∞ )；

(A2)對任意的x(t)∈R，有0＜ ψ(x(t))≤ k1；

(A3)對 任 意 的 y∈R，有 f2(y)≤lyf(y)，其中，l＞ 0；

(A4)對任意的x≠ 0，有0＜ k≤ g"(x)；

(A5)存在函數v(t)，對任意的x≠0以及任意的y∈R，有Q

(A6)對任意的x≠ 0，有

(A7)存在函數φ(t)，對任意的x≠0以及任意的y∈R，有

1 預備知識

定義1 關于t的α階修正的黎曼劉維爾分數階導數的定義以及重要性質［12］：

定義2［6］方程的解是振動的，是指方程的非平凡解有任意大的零點，否則是非振動的。若方程的所有解都是振動的，則稱該方程是振動的。

定 義 3［6］假 設 D={(t，s)：t≥ s≥ t0}，D0={(t，s)：t＞ s≥ t0}，存 在 函 數 H ∈C(D，R)，如 果滿足：

（i）H(t，s)＞ 0 在 D0上成立，對任意的 t≥ t0，有 H(t，t)=0；

（iii） 若 存 在 函 數 h(t，s)∈C(D，R)，有=-h(t，s) H(t，s)，則認為函數 H 屬于Ω類，記作H∈Ω。

為方便，在下文中，定義：

2 主要結果

定理1 假設(A1)～(A5)成立，如果存在H∈Ω和 ρ∈ Cα([t0，+ ∞ )，R+)，滿足：

與式（11）矛盾，假設不成立。

證畢。

3 例 子