基于滑模算法的激光測(cè)量平臺(tái)動(dòng)靜態(tài)誤差補(bǔ)償仿真

孫 瑜，賈 峰，曹 巖，趙炳巍，劉一鴻

（西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021）

0 引言

自主搭建激光測(cè)量平臺(tái)，以點(diǎn)激光位移傳感器作為測(cè)量手段，下位機(jī)通過(guò)CAD設(shè)計(jì)基礎(chǔ)框架，以4個(gè)二項(xiàng)混合步進(jìn)電機(jī)作為X、Y、Z、C軸運(yùn)動(dòng)手段。整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。二項(xiàng)混合電機(jī)因其具有精度高、價(jià)格低廉、效率高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于制造、娛樂(lè)、測(cè)量、航天等各個(gè)行業(yè)，對(duì)于一些精度要求不是很高的廠家來(lái)說(shuō)，因?yàn)槎?xiàng)混合電機(jī)具有“讓走多少就走多少”的特點(diǎn)，所以節(jié)省了很多閉環(huán)所需元器件的成本的控制難度，只進(jìn)行開環(huán)控制。但是隨著現(xiàn)在眾多行業(yè)對(duì)于精度要求的要求越來(lái)越高，且訂單量大、工作時(shí)長(zhǎng)的增加以及一些工作中產(chǎn)生的不確定性因素，開環(huán)的控制方法已滿足不了部分行業(yè)的需求（比如精密測(cè)量）。以自主搭建的點(diǎn)激光位移測(cè)量裝置為背景，提出對(duì)二項(xiàng)混合電機(jī)進(jìn)行靜態(tài)綜合誤差建模，動(dòng)態(tài)滑膜閉環(huán)控制的方法以達(dá)到對(duì)二項(xiàng)混合步進(jìn)電機(jī)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償?shù)哪康模M(jìn)一步提高控制精度，確保電機(jī)系統(tǒng)可以精確穩(wěn)定的運(yùn)行。

圖1 點(diǎn)激光位移測(cè)量裝置

1 靜態(tài)誤差綜合數(shù)學(xué)建模

靜態(tài)誤差一般與結(jié)構(gòu)的剛度、安裝制造加工精度、結(jié)構(gòu)變形等有關(guān)[1]。在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，步進(jìn)電機(jī)不可能單獨(dú)使用，往往和其他裝置進(jìn)行裝配后使用（比如滾珠絲杠）因此不可避免的就會(huì)產(chǎn)生靜態(tài)誤差。在電機(jī)的閉環(huán)控制系統(tǒng)當(dāng)中，本文以滾珠絲杠裝載單步進(jìn)電機(jī)為例如圖2所示，對(duì)靜態(tài)誤差進(jìn)行分析建模。

圖2 滾珠絲杠結(jié)構(gòu)

1.1 靜態(tài)誤差分析

在制造和加工行業(yè)，任何零部件的加工和生產(chǎn)都不可能沒有誤差的存在，因此在滾珠絲杠也會(huì)存在螺距誤差和反向間隙。步進(jìn)電機(jī)是依靠PC機(jī)傳輸給驅(qū)動(dòng)器的脈沖數(shù)再翻譯成角位移進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的，這種靜態(tài)誤差的存在會(huì)影響其定位精度。如圖2所示，設(shè)電機(jī)初始位置為A，經(jīng)過(guò)時(shí)間s之后達(dá)到B，但由于其中靜態(tài)誤差的存在可能會(huì)使電機(jī)達(dá)到B1，此時(shí)若再給電機(jī)一個(gè)回程的指令，使電機(jī)達(dá)到C點(diǎn)，則由于誤差的存在只能回到C1點(diǎn)。忽視長(zhǎng)時(shí)間使用因重力產(chǎn)生的直線度誤差，忽視滾珠絲杠的熱變形誤差，將其余誤差綜合考慮。

圖3 定位誤差

1.2 靜態(tài)誤差綜合模型

由于各個(gè)誤差之間沒有線性關(guān)系，互不影響，對(duì)于綜合誤差的建立可以通過(guò)采用某些外部測(cè)量設(shè)備對(duì)不同位置的誤差進(jìn)行有限次的測(cè)量，分析和擬合誤差的變化趨勢(shì)，對(duì)不同目標(biāo)位置實(shí)現(xiàn)不同的補(bǔ)償量[1]。

多項(xiàng)式回歸方程有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，任何的曲線都可以根據(jù)階次的不同進(jìn)行擬合處理。當(dāng)測(cè)量樣本為n時(shí)，在理論上可以通過(guò)n-1階多項(xiàng)式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合[1]。

設(shè)e為因變量，x為自變量，將e與x之間的關(guān)系通過(guò)多元線性回歸方程進(jìn)行表達(dá)，即為：

設(shè)對(duì)絲杠電機(jī)模塊進(jìn)行N次測(cè)量，將所測(cè)得的數(shù)據(jù)代入到式(1)中，即將代入，可得ej為：

式中：

ai為多元線性回歸方程常數(shù)項(xiàng)；（i=0，1，2，…，n）；

xj為N次樣本測(cè)量的誤差數(shù)據(jù)；（j=0，1，2，…，n）；

ej為綜合誤差的擬合數(shù)學(xué)模型；

ε為均值誤差；

通過(guò)對(duì)測(cè)量樣本的數(shù)據(jù)值可以使用最小二乘法對(duì)ai（i=0，1，2，…，n）進(jìn)行求解：

對(duì)函數(shù)求一階偏導(dǎo)，并令一階偏導(dǎo)等于0：

將上述方程進(jìn)行整理：

將上述表達(dá)式通過(guò)矩陣方式進(jìn)行表達(dá)求解：

根據(jù)矩陣的性質(zhì)，當(dāng)滿秩時(shí)即可求得A中的方程常數(shù)項(xiàng)，即：

2 滑模控制的原理

對(duì)于目前的大多數(shù)步進(jìn)電機(jī)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，往往采用的是PID控制算法，PID控制算法對(duì)于電機(jī)有較好的控制效果，且隨著PID算法的改進(jìn)衍生出的模糊PID、遺傳PID、B-P PID等控制算法都表現(xiàn)出了很好的控制效果，雖然名字不同但目的都是為了求得PID參數(shù)的最優(yōu)解。

PID方法控制步進(jìn)電機(jī)在復(fù)雜的工作狀態(tài)下，仍會(huì)有一些不足，比如工作時(shí)時(shí)擾動(dòng)突然的增加，當(dāng)使用時(shí)間過(guò)長(zhǎng)溫度升高時(shí)，電機(jī)的固定參數(shù)發(fā)生變化，PID對(duì)于這種情況的出現(xiàn)并沒有較好的效果。

滑模控制是中多非線性控制的一種，在動(dòng)態(tài)的進(jìn)程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)（如偏差）有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動(dòng)模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)，其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并不固定，因此又稱變結(jié)構(gòu)控制[7]。原理圖如圖3所示。其最主要的優(yōu)點(diǎn)有兩點(diǎn)：1）調(diào)節(jié)的參數(shù)少且響應(yīng)速度較快；2）對(duì)運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的擾動(dòng)不靈敏，有較好的擾動(dòng)抑制效果。

圖4 滑模面原理圖

2.1 基于趨近率的滑模控制器的設(shè)計(jì)

在滑模控制中的趨近率有很多種，比如等速、指數(shù)、冪次、一般趨近率等。不同的趨近率有不同的趨近速度，但是目的都是為了讓狀態(tài)量穩(wěn)定在滑模面，過(guò)高的趨近率會(huì)有較好的響應(yīng)時(shí)間，但狀態(tài)量在滑模面附近會(huì)有較大的抖振現(xiàn)象產(chǎn)生[17]，加速步進(jìn)電機(jī)的損耗，影響定位精度，縮短步進(jìn)電機(jī)的使用壽命；速度較慢的趨近率響應(yīng)時(shí)間會(huì)降低，但對(duì)于抖振的現(xiàn)象會(huì)有明顯的改善。

其中c>0，滿足Hurwitz條件。

跟蹤誤差為：

電機(jī)為被控對(duì)象，設(shè)跟蹤誤差為控制量，控制對(duì)象的二階微分可作為微量干擾進(jìn)行忽略不計(jì)，則：

ω(t)為控制器輸入，則基于指數(shù)趨近率的滑膜控制器為：

2.2 仿真對(duì)比

利用Simulink對(duì)滑模指數(shù)趨近率進(jìn)行仿真，輸入信號(hào)為sin，驗(yàn)證指數(shù)趨近率滑模控制的位置跟蹤效果，搭建的Simulink滑模控制器如圖5所示。

圖5 指數(shù)趨近率Simulink結(jié)構(gòu)圖

仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 指數(shù)趨近率位置跟蹤

為產(chǎn)生對(duì)比，利用Simulink進(jìn)行搭載傳統(tǒng)PID的仿真，生成位置跟蹤曲線，與滑模指數(shù)趨近率進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明方法之間的優(yōu)劣性，同樣輸入sin信號(hào)，傳統(tǒng)PID的仿真結(jié)構(gòu)圖如圖7所示。

圖7 傳統(tǒng)PID的Simulink結(jié)構(gòu)圖

仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 傳統(tǒng)PID位置跟蹤曲線

通過(guò)圖5與圖7的對(duì)比可以得出基于指數(shù)趨近率的滑模控制效果比傳統(tǒng)的PID效果要好，滑模指數(shù)趨近率控制在開始波動(dòng)之后跟蹤效果較好，后續(xù)誤差很小，而傳統(tǒng)的PID對(duì)位置跟蹤每一階段都會(huì)有一次波動(dòng)，嚴(yán)重影響后續(xù)控制精度。

3 仿真模型的搭建與結(jié)果分析

3.1 仿真模型搭建

設(shè)按照第1節(jié)中的方法，利用激光干涉器對(duì)本結(jié)構(gòu)步進(jìn)絲杠結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限次的測(cè)量得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 Z軸部分測(cè)量定位誤差

利用7次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合得到的誤差數(shù)學(xué)模型如式所示：

利用MATLAB中的Simulink模塊搭建搭建仿真模型，實(shí)現(xiàn)二項(xiàng)混合步進(jìn)電機(jī)的速度位置雙閉環(huán)，在輸入時(shí)為了驗(yàn)證將在第2小節(jié)得到的靜態(tài)誤差滑模控制器，在輸入端添加一定的靜態(tài)誤差進(jìn)行驗(yàn)證。輸入端如圖9所示。

圖9 靜態(tài)補(bǔ)償輸入模塊

本文步進(jìn)電機(jī)為57系二相混合步進(jìn)電機(jī)，其具體參數(shù)通過(guò)查閱相關(guān)手冊(cè)可知，如表2所示。

表2 57系步進(jìn)電機(jī)的參數(shù)

表2 （續(xù)）

二項(xiàng)混合步進(jìn)電機(jī)的仿真模塊由機(jī)械模塊和電氣模塊組成，但是在Simulink的發(fā)展過(guò)程中，為了便于用戶的仿真和觀看，在現(xiàn)代的Simulink中提供了步進(jìn)電機(jī)和驅(qū)動(dòng)器的封裝模塊，如圖10所示。

圖10 二項(xiàng)混合電機(jī)和驅(qū)動(dòng)模塊

3.2 仿真結(jié)果分析

選用的KK6005C-200A1-F0滾珠絲杠模組通過(guò)查詢手冊(cè)，精度等級(jí)為P5，任意300mm行程內(nèi)變動(dòng)量為0.023mm。將其作為最大靜態(tài)誤差進(jìn)行代入。為驗(yàn)證靜態(tài)誤差模型的補(bǔ)償效果，有無(wú)靜態(tài)誤差模型各仿真一次，進(jìn)行比較。

Simulink搭建如圖11所示，輸入步進(jìn)電機(jī)的各項(xiàng)參數(shù)，設(shè)仿真時(shí)間為0.5秒，電機(jī)最終位置為30，所得到的位移和誤差變化曲線如圖12所示。仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 仿真結(jié)構(gòu)圖

圖12 位移變化曲線

從圖12可以看出，在添加靜態(tài)誤差補(bǔ)償之后，上方的曲線明顯比下方無(wú)靜態(tài)誤差補(bǔ)償?shù)那€更貼近最終位置，達(dá)到了提高定位精度的目的，同時(shí)也驗(yàn)證了該方法的可行性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)自主搭建的點(diǎn)激光位移傳感器的電機(jī)絲杠運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生靜態(tài)誤差的可能進(jìn)行分析，經(jīng)過(guò)有限次的測(cè)量進(jìn)行靜態(tài)誤差的數(shù)學(xué)建模，在輸入端進(jìn)行補(bǔ)償，已達(dá)到消除靜態(tài)誤差的目的，利用滑膜的特性去抵抗動(dòng)態(tài)誤差；用MATLAB搭建數(shù)學(xué)模型和利用Simulink的封裝功能進(jìn)行封裝，將兩者結(jié)合進(jìn)行二項(xiàng)混合步進(jìn)電機(jī)的仿真，同時(shí)對(duì)仿真的結(jié)果進(jìn)行分析，去驗(yàn)證方法的正確性，和理論的可行性，對(duì)后人進(jìn)行激光測(cè)量平臺(tái)的搭建中二項(xiàng)混合步進(jìn)電機(jī)的控制或靜態(tài)誤差補(bǔ)償?shù)难芯烤哂幸欢ǖ慕梃b意義。