依托課堂評價，培養學生的推理能力

[摘要]課堂評價是課堂教學中的重要組成部分，是促進高質量教學的手段，對學生推理能力的培養具有診斷和促進作用.文章以教學評價為依據，結合多個例題，談談在數學教學中怎樣利用課堂評價來促進學生推理能力的發展

[關鍵詞]課堂評價;直覺推理;抽象推理;聯想推理

作者簡介：何建霞（1976-），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.

隨著基礎教育課程改革的不斷深人，帶來了諸多教學變革，其中較為顯著的就是變“講授式”教學為“對話式”教學，數學課堂教學再也不是教師一廂情愿的“表演”，而是以教師、學生和文本對話為載體的教學過程.長久以來這樣的對話中課堂評價不僅可見可聞，而且易于操作，同時對學生思維能力和推理能力有著巨大的推動作用.現代教學論認為，有效的課堂教學離不開或明或暗的教學評價，它是促進學生思維發展，提升學生推理能力的有效措施.這就啟發我們可以依靠課堂評價的內在力量，借助各種教學策略來促進學生的幾何推理能力.

通過對思維過程的評價，助カ直覺推理能力的形成

學生的思維過程是通過表征的方式進行外顯的，當學生完成某個數學思維后，則會形成語言成分和非語言成分的表征，二者對于思維過程同樣重要通過對學生思維過程的評價，即評價學生的數學表征能力，則可對其思維過程有一個準確的認識.在幾何教學中，教師可以適當的題目為載體，讓學生去積極領悟和直接洞察，直觀揭示數學本質.而此時需要教師的細致而個性的適時評價，來激起學生數學思維的積極性，使其獲得數學的體驗和對話，并逐步升華為直覺推理能力的提升.例1如圖1，已知數軸上有a和め兩點，試判斷一，-b，a，b，a-b，a+b的大小關系.

此題主要用來測試學生的直觀推理能力，需要直觀思維的支撐.在完成本道題的過程中，不少學生由于對概念的理解不夠充分，無法將與之對應的點在數軸上一表示，從而導致了解題錯誤.在解題教學中，面對學生的錯誤解答，自然需要教師通過數軸將“描點”的技術傳授給學生，并將“如何會想到描點”滲透給學生，促進學生真正意義上的理解和領悟.進一步地，教師可以拋出問題“誰能一找尋到以上所有的坐標點”，從而為學生提供動手操作的機會，讓學生充分經歷觀察、思考、判斷和猜想，具體形象地表示出所有的數，并表達自身認識的過程，同時使其直觀感受到“相反數在數軸上的具體位置關系”而此時教師需要對于學生的表征進行評價，正確的予以充分肯定，錯誤的予以及時糾正，進而使得其中蘊含的本質規律便會在這一個個的課堂評價中慢慢顯露出來，解決本題就不困難了，也促進了數學思維及直覺推理能力的發展

通過對問題解決的評價，助カ抽象推理能力的形成

對數學問題進行推理分析是尋求到解決問題的策略的重要環節，在幾何教學中教師需要努力培養和提升學生的抽象推理能力.教師需要對學生的問題解決有準確的預估，并對學生的問題解決過程進行評價，通過課堂評價為學生搭建適宜的“思維腳手架”，幫助學生及時洞察問題的內涵，助力學生逐步形成“抽象推理”的能力

例2如圖2，已知AB=CD，BC=DA，且AC上有E，F兩點，問：當BF，DE滿足什么條件時，AE=CF

這是從課本習題中改編而來的，這樣開放性的問題，可以引發學生的深度思考和自主探究.學生經過一番思考后得出以下結論

生1：當DE=BF時，AE=CF.具體證明過程如下：因為AB=CD，BC=DA，所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以∠1=∠2，因為△DAE≌△BCF，所以AE=CF.（事實上，這樣的錯誤是學生易犯的錯誤，已在教師的預設范圍之內）師：生1的解題過程是否正確？下面以小組合作討論的形式進行分析.（學生討論熱情很高，課堂氣氛火熱）

生2：剛才生1是通過“SSA"”的方式進行證明的，證明理由不夠充分.（其余學生頓時領悟）

生3：我認為當DE⊥AC，BF⊥AC時，AE=CF.具體證明過程如下：因為DE⊥AC，BF⊥AC、所以∠DEA=∠BFC=90°，∠1=∠2.又因為BC=DA4，所以△DAE≌△BCF，所以AE=CF（AAS

生4：生3所說的垂直這一情況是特例，事實上只需要當DE∥BF時，則有∠DEC=∠BFA，∠DEA=∠BFC，則△DAE≌△BCF，所以AE=CF得證.

師：大家的解法都非常棒，不僅思路清晰，而且結論也很正確.

生5：那么當BF，DE共線時，AE=CF是否成立？（生5的提問顯然已經在教師的預設范圍之外）

生6：當點E，F在邊AC兩個端點的延長線上，結論又會如何呢？

師：非常好，生5和生6的思維顯然已經延展開去了，提出的問題也十分具有探究性，讓我們一起來研究

以上教學過程中，教師試圖從問題解決過程中讓學生體驗數學的魅力，以激起學生的學習動機.本質上，本題旨在為學生提供開放的空間，創造出抽象推理的過程，學生的回答讓教師甚是欣慰.這里，學生一次又一次的思維延伸，有助于學生養成創新思維的習慣，并提升系統思維的水平.特別地，教師以別致的課堂評價方式，為學生的自主學習和獨立思考提供了契機，讓學生真正進人思考狀態，使其有了展示成果的迫切欲望，增強了教學的有效性，培養了學生抽象推理能力

通過對知識技能的評價，助カ聯想推理能力的形成

聯想推理能力是創新思維的一種，培養聯想推理是教師培養幾何推理能力的著力點，是培養創新思維能力的有效載體，是張揚學生個性的重要途徑.知識技能是對數學知識的認知，具有般性.因此，教師在幾何教學中不僅需關注到問題解決和思維過程的評價，還需關注到知識和技能的評價，讓學生及時聯想推理，培養學生的聯想推理能力

例3如圖3，已知△ABC中，有AB=AC，∠A=90°，點D平分邊BC，且點E在AB上，點F在AC上，BE=AF，證明△DEF為等腰直角三角形

師：本題若證明DE=DF，則如何關聯已知條件和已學知識呢？

生1：我覺得可以聯想證明三角形全等的方法進行證明.連接AD，易證△AED≌△CFD或△BED≌△AFD，再借助∠BDE=∠ADF，即可得出∠EDF-90

師：這里“連接AD”的作用是什呢？

生1：圖3中并未展現兩個三角形全等，需要通過聯想去構造.通過AB=AC點D平分邊BC，聯想等腰三角形的“三線合一”，即可實現構造全等.

師：以聯系的觀點來解決問題，并快速找尋到線段之間的關系，非常棒的想法，想象力也十分豐富，希望其他同學也能得到啟示.（學生通過以上思路，進一步得出∠BAD=∠CAD=45°，又因為∠B=∠C=45°，可得∠B=∠DAC，再

由AD=BD即可得證.）

生2：我還有其他方法

師：來和大家具體說一說呢.

生2：可以作DH⊥AB，DG⊥AC，可得DH=DG.由于BH=AG=AB，BE=AF，得出EH=CF，所以△HED≌△CDF再由∠EDH=∠FDG，∠HDC=90°，可得∠EDF=90°，從而得證.（具體作圖和證明過程略）

師：非常棒的證法！那么，以上證法有什么共同之處？

生3：都作了輔助線AD

師：很好，那是否必須作輔助線AD

生4：也可以不作.可以在AC上取CH=BE，并作DG⊥AC，得出△BED≌△CHD，△DGF≌△DCGH，可得ED=DH=DF，∠DFG=∠DHG=∠DEA，可得∠AED+∠AFD=180°，進一步得出∠EDF=∠A=90°.（作圖和具體證明過程略）

師：很不錯.那這里，倘若點E在AB的延長線上，點F在CA的延長線上，且BE=AF，其余條件均不改變，那么以上結論是否還成立呢？若成立，請予以證明.若不成立，請說明理由

數學解題，尤其是中考試題對學生推理能力的要求高，而幾何推理能力不可能經過一節課或幾節課形成.教師心中轉載著推理和抽象的辯證關系，通過引申和推廣的方式，借助適當的課堂評價，為學生提供探究的機會，讓學生畫圖探究解題過程，切實體會到數形結合的形象性和推理的必要性，從而得出多種多樣的解題策略，讓幾何推理過程越發鮮活起來，并使學生形成聯想推理的刁慣，學生推理能力的培養便落地生根了.

總之，不管課程改革如何深化，也都是萬變不離其宗的.數學推理能力的培養，不僅需要教學方法對頭，還需要從推理能力的幾個層面入手，一以貫之地加以培養，自然可以瓜熟蒂落.教師應該把培養學生的推理能力當作數學教學的“行動指南”之一，并與課堂評價有機結合，在師生對話和生生對話中愉快地解題，使其慢慢養成幾何推理的習慣，慢慢形成數學推理的本領，水到渠成地培養幾何推理能力