波利亞的解題思想在初中幾何命題教學中的實踐

[摘要]文章對三個版本教材進行了對比分析，并結合從波利亞的解題思想得到的啟示，創造性地使用教材，對圓周角定理及推論的教材內容進行大膽地整合、重組，探索與圓周角有關的三個命題的產生和證明更加自然、順暢的教學設計

[關鍵詞]圓周角定理;波利亞解題思想;命題教學

基金項目：本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2018年度普教重點自籌課題“關注每一個的初中‘差異化遞進教學”的實踐研究”（批準號：B-b/2018/02/48）、江蘇省南京市教育科學研究“十三五”規劃2018年度課題“波利亞解題思想在初中幾何命題教學中的實踐與延伸”（批準號L/2018/251）和“基本圖形在初中幾何教學中的滲透策略研究”（批準號：L/2018/250）的階段性成果之一.

作者簡介：陳靜（193-），碩士研究生，中學一級教師，從事初中數學教學工作，曾獲南京市第二屆鼓樓區優秀青年教師稱號

“數學教學不僅要使學生掌握知識，而且要使學生掌握思想方法，發展思維品質”“教學要關注過程”，這些幾乎已經被所有數學教師所接受，但在教學實踐中很難讓認同的理念自覺地影響自己的教學.在初中幾何命題教學中存在這樣兩種現象：第一，課堂中，新知探究和講例題、練習的比例不合理，有時放手讓學生思考、討論、探究，卻導致課堂頭重腳輕;第二，教學時費盡心思引導學生自主發現定理、證明定理，以為學生理解了，可是學生做題時依然不能靈活地運用定理.與其抱怨學生不會解題，不如執果索因，反思我們的教學是否出了問題：學生的探究體驗是否真實？我們提出的問題是否給予了學生足夠的探究空間，抑或是一種假探索？我們是否為了趕進度、做練習而出現了學生圓囧吞棗的教學？每節課的結論固然重要，但如何得到這個結論更重要;方法很重要，但如何掌握這個方法更重要.也就是獲取知識的知識、提煉方法的方法更有價值.

圓周角定理是初中數學“圖形與幾何”領域的核心定理，它是初中定理中史無前例、獨一無二的“位置不定，但數量確定”的例子，是第一次采用完全歸納法證明的定理.圓周角定理有兩層意思，一層是“同弧所對的圓周角相等另一層是“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”.圓周角定理的教學實質就是自然、合理地挖掘和揭示這兩層意思的思維過程.在定理的發現和證明過程中，蘊含了分類討論、從特殊到一般、轉化等重要的數學思想方法

三個版本教材的對比及思考

人教版、蘇科版和北師大版教材都是直接給出圓周角的定義，但細節略有不同

顯然，北師大版教材的定義更加嚴謹，考慮到了交點恰好在頂點的情況.接著，三個版本的教材依次得到了3個命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等;推論1，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑;推論2，圓內接四邊形的對角互補

1.人教版教材

人教版教材直接拋出研究問題：同弧所對的圓心角與圓周角存在什么關系？先引導學生測量一種情況，換一條弧，再測量，從而發現規律并證明.證明時以直線AO與圓周角的位置關系作為分類標準

2.蘇科版教材

蘇科版教材從一個包含了同弧所對的圓心角和三種不同位置的圓周角的圖中，給出圓周角的定義;接下來的操作與思考環節，從特殊的90°圓心角出發，通過度量得到三種位置的圓周角均為45°，同時發現特殊位置下的等腰直角三角形;接著給出60°的圓心角，又發現特殊位置下的等腰三角形，得到圓周角為30°;進而猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.那如何證明呢？由前面的特殊化經驗，先研究特殊情形，即圓心在圓周角的一條邊上，由等腰三角形與外角的知識易證對于圓心分別在圓周角內部和外部的情形，只要作出直徑，就可以轉化成兩種特殊情形的組合了.

3.北師大版教材

化比師大版教材以實際問題一射門游戲為問題情境，圓上一點對著球門形成三個張角，由此給出圓周角的定義，接著提出問題：這三個角的大小有什么關系？先引導學生操作，給出一個80°的圓心角，畫出它所對的弧所對的圓周角，然后提出問題：它們有什么關系呢？這些圓周角與這個圓心角的大小有什么關系？你是怎樣發現的？改變圓心角的度數，你得到的結論還成立嗎？證明時以圓心角與圓周角的位置關系為分類標準，從特殊到一般，對三種情況分別進行了討論.

4.三個版本教材的對比

在推論部分，三個版本的教材大同小異.推論1，當圓心角為180°時，圓周角為90°，即直徑所對的圓周角是直角反之，90°的圓周角所對的弦是直徑.這樣的圓心角具備數量和位置雙重特殊性.推論2，當四邊形的四個頂點在同一個圓上時，得到圓內接四邊形的對角互補.對于推論2，蘇科版和北師大版都是先給出特殊情形，即一條對角線是直徑時，結合四邊形的內角和為360°，得到兩組對角分別互補，再推廣至一般情形;人教版則直接由一組對角所對的弧度數和為360°，得到圓內接四邊形的對角互補.

這三個版本的教材，幾乎都是直接拋出研究問題：同弧所對的圓周角與圓心角之間有什么關系或同弧所對的圓周角有什么關系？為什么要討論這個問題？在教學時，如何引導學生自己關注到圓周角與圓心角之間的關系？如果這個問題不能引起學生的共鳴，學生便無法理解研究它的必要性，這部分的教學將會很生硬、很別扭.另外，證明時為什么要分類？教材中的三種情況是怎么想出來

的？人教版中的折痕AO在證明過程中起到了輔助線的作用，但學生會想到嗎？另外兩個版本，如何想到以圓心與圓周角的位置關系作為分類標準的？如何發現圓心在圓周角的一條邊上可作為特殊情形先行研究？這些是本節課教學的難點，如何突破它們成為教學成敗的關鍵.

從波利亞的解題思想中得到的啟示

從解題的角度看，本節課要解決的問題是如何探索與證明圓周角定理.波利亞的解題理論告訴我們，解決一個問題通常有如下四個步驟：理解題目、擬訂方案、執行方案和回顧反思

第一步，理解題目.我們要研究的是什么？這其實是命題教學最大的難點，即如何提出問題，我們為什么要關注圓周角和圓心角的關系？北師大版教材的實際背景直接指向圓周角，實際上圓中的角不止這兩種，我們還可以關注同弧所對的圓內角、圓外角和圓周角之間的關系.那如何讓研究對象出現得自然合理呢？學生首先要理解研究它們的必要性.另外，為什么是同弧？圓周角和圓心角也可以對同弦，這值得研究嗎？我們可以從哪些方面研究圓周角和圓心角的關系？你可以用什么方式把要研究的對象梳理清楚？先證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半還是先證明同弧所對的圓周角相等？第二步，擬訂方案，這是問題解決的關鍵步驟.明確了研究對象是圓周角后，如何猜想出圓周角與圓心角的大小關系呢？這個問題最大的難點在于研究的對象有無數個.那如何探究這無數個圓周角與唯一的圓心角之間的數量關系呢？人教版教材引導學生先畫出同弧所對的圓周角和圓心角，再借助量角器度量，猜想出規律，最后證明.為了化解這一難點，教材中還設計了操作：沿著直線AO折疊，直線AO是這個定理證明

時很重要的輔助線，但怎么想到的呢？教學時總覺得這里不夠自然.蘇科版教材在這個環節的設計更加用心，從兩個特殊的圓心角（即90°和60°）出發，找到了特殊的位置，即圓心在圓周角的邊上為后面的一般情況的證明先發現特殊位置提供可能.實際上，在度量和疊合的過程中，結果的指向性是比較明確的，這樣的活動其實學生的思維參與度是很低的.作為初三的學生，那除了這兩種方法而外，還有其他更加嚴謹的方法嗎？波利亞在《怎樣解題》一書中指出，如果你不能解決所提出的問題，可先去解決一個更特殊的問題，或者解決這個問題的一部分.第一個特殊位置下的研究成為整個證明的突破口（如圖1）;后兩種情況，只需要作出直徑就可以一分為二，轉化成兩種特殊情形的組合了（如圖2和圖3）

第三步，執行方案.理清了證明思路，下面就用科學準確的語言表達出來.在表達的過程中，要體會研究過程中蘊含的數學思想方法，加強思維的嚴謹性.

第四步，回顧反思.從過程來看，這定理的證明是我們初中第一次使用完全歸納法，即把要研究的某類事物的所有情況先逐一加以討論，或分成幾類，對每類加以討論，再概括得出一般結論，體現了從無限向有限的轉化思想.如何找到分類標準是這個環節最大的難點明確了研究對象后，是先證明同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半呢還是先證明同弧所對的圓周角相等呢？實際上，這兩種思路都是可以的.如果先研究圓周角和圓心角之間的關系，需要先找到最特殊的情況，即圓心在圓周角的一條邊上，再實施轉化，這是本環節的另一個難點.如果想直接研究同弧所對的圓周角相等，那應如何設計問題串，使結論出來得自然而合理呢？

從結論來看，這與“兩直線垂直、平行”的本質一樣，都揭示了“位置關系與數量關系”的辯證統一，體現了“形內外”與“正負性”的辯證思想在研究“圓與圓的位置關系”時，當兩個圓分別外切與內切時，其圓心的距離等于兩圓的半徑之和與半徑之差，也體現了這一思想探索更自然、順暢的教學設計

基于以上對三個版本教材的對比分析和從波利亞解題理論中得到的啟示，筆者大膽突破教材的“權威”影響，對教材進行重新整合、重組，建立新的邏輯體系，探索與圓周角有關的三個命題的產生和證明更加自然、順暢的教學設計.

1.引入

在八年級下冊中，我們研究過平行

四邊形.它是什么特殊？（形狀特殊）若添加一個條件，即其中一個內角為90°，則平行四邊形成了矩形;若添加一組鄰邊相等，則平行四邊形成了菱形.我們研究了這些特殊的平行四邊形的性質及判定方法.那是不是所有的四邊形都有外接圓呢？如果一個四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這種特殊的位置，又會給四邊形帶來什么特殊的性質呢？今天我們先來研究圓內接四邊形的性質，如圖4.

設計意圖在“2.3確定圓的條件”中，學生知道了“不在同一條直線上的三點確定一個圓”，也了解了三角形的外接圓、圓的內接三角形的概念，本節課順勢提出兩個研究問題：是不是所有的四邊形都有外接圓？圓的內接四邊形作為一種特殊位置的四邊形，有什么特殊性質？從三角形過渡到四邊形，自然、合理、不突元，既與前一節內容關系緊密，又與平行四邊形的內容聯系緊密體現了知識的整體性和研究方法的前后一致性

2.活動一：圓的內接四邊形有什么特殊的性質四邊形的內角和為360°，當四個頂點在同一個圓上時，如圖5，點O在四邊形內部，連接四條半徑就可以得到四個等腰三角形，于是四對底角分別相等.通過觀察可以發現，一組對角處的四個底角之和正好占了四邊形ABCD的內角和的一半，即180。

當然，還應該考慮一種情形，即點O在四邊形外部的情形，如圖6此時∠DAB+∠BCD=∠DAO-∠BAO+∠BCO+∠OCD=∠ODAー∠OBA+∠OBC+∠ODC=∠OBC-∠OBA+∠ODA+∠ODC=∠ABC+∠CDA.所以∠DAB+∠BCD=∠ABC+∠CDA=180°.于是圓內接四邊形的對角互補

設計意圖圓內接四邊形的對角互補，可以直接通過連接半徑，轉化為四個等腰三角形來解決，這回歸到了本源性的知識解決問題上.同時，這一發現中的180°為接下來關注圓周角與孤的關系提供了可能

在這里，類比圓心角的定義，給出圓周角的定義.在剛才的基礎上，引導學生觀察和思考：180°是什么？360除了是四邊形的內角和而外，還可以是什么？這一組對角在圓上的位置又有何特殊？不難發現，這組對角所對的圓弧正好組成完整的圓周，而周角正好也是360°，于是猜想：圓周角與其所對的弧之間是否存在某種關系？

3.活動二：同弧所對的圓周角有什么關系引導學生觀察圖7，保持∠A所對的弧不變，改變∠A的位置，可以發現∠A和∠E同為∠C的補角，所以∠A=∠E，即在同弧或等弧的條件下，角的頂點在圓周上的位置發生變化，但其度數不變，體現了“變中不變”的數學思想.

由此，我們可以得到圓周角定理的一部分：同弧所對的圓周角有無數個它們都相等.

設計意圖同孤所對的圓周角有無數個，它們都相等，這就意味著它們都等于一個確定的值.這里蘊含著“變中不變”的圖形規律，必然存在某種特定的數量規律，那這個值是什么呢？一定跟這個唯一的孤有關系在2.2節我們已經知道，弧有確定的度數，并且弧的度數就等于它所對的圓心角的度數.我們不便于研究圓周角與弧的關系，可以將問題轉化為研究角與角之間的關系，于是我們把問題轉化成研究同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系.

4.活動三：同弧所對的圓周角與圓心角之間有什么關系

研究的對象——圓周角有無數個，而圓心角只有一個.分類可以將“無限型”問題轉化成“有限型”問題.那如何分類呢？一般的思考方法是化一般為特殊，化復雜為簡單.我們可以從特殊的數量著手，如畫出90°或60°的圓心角，量出它們所對的弧所對的圓周角的度數，猜想規律.那如何證明呢？我們可以再從特殊的位置著手，多畫一些，如圖8～圖10，可以發現圓心正好在圓周角的一條邊上的情形很特殊（圖8），于是先行研究觀察圖8，連接OC和BC，得到圖11

發現兩對同弧所對的圓心角和圓周角，∠BOC和∠BAC，∠AOC和∠ABC.利用等腰三角形和外角的性質，易得∠BOC=2∠BAC.∠AOC=2∠ABC.

設計意圖這個問題解決的是圓周角定理的核心問題，即如何分類，這是難點，突破的方法是尋找特殊情況.這里有兩個思考方向：數量和位置.特殊的數量只能提供猜想，但不能解決一般情形.如何從特殊到一般，需要動手操作，多畫一些圖，才能發現共三種不同的位置，研究角與角之間的關系時，我們容易想到的是利用三角形解決，而圓中又蘊含著很多等腰三角形，所以將問題聚焦到三角形是明智的選擇.

5.活動四：再觀察圖11，你還可以發現什么如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，可以推出這個三角形是直角三角形，因此，圖中∠BCA=90.于是可推出直徑所對的圓周角是直角.反之，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.在圖11中，當以AB為直徑作圓時，由于OC=OA=OB，所以點C在OO上，這就得到90°的圓周角所對的弦是直徑.

設計意圖在特殊位置下，必然蘊含著特殊的數量.

這個圖可以說是一圖三用，既解決了特殊情形，又是圓周角定理的突破口，還能得到推論1.實際上，這個直角三角形仍然可以看成是兩個等腰三角形，所以等腰三角形才是“本源”

最后，回到一般情形，當A4，O，B點不共線時，還有點O在圓周角內部和外部兩種情形.利用剛才的經驗，連接AO并延長，就會出現兩種特殊情形的組合圖（如圖12和圖13）

本節課結束時，學生可以繼續探究同弧所對的圓周角、圓內角和圓外角之間的大小關系”，這有利于構建與圓有關的角的整體結構，進而再研究“四點共圓的條件”雖然《數學課程標準》對“圓內角、圓外角、四點共圓”等內容的教學已不作要求，但這樣的探究活動是很有價值的，能夠有效地培養學生的探究能力和探究素養.

命題學習是培養學生思維能力的優質素材，教師要在專業的引領下，挖掘思維因素，為學生創設思維空間，將思維能力的培養自然融合到教師的教學行為中.在概念教學中，概念的引出要解決必要性的問題，在命題教學中也要解決如何讓學生關注到命題的“探索與證明”的問題，而不是學生直接解決教師拋出的問題.這對培養學生發現問題和提出問題的能力起著至關重要的作用.波利亞在《怎樣解題》一書中有這樣一段話，數學的趣味性就在于它需要我們推理和創造能力的充分發揮.但如果最為引人注目的步驟，其動機和目的仍不可理解，那么我們在推理和創造方面就學不到任何東西.

教學是否真正為學生創設了思維參與的空間，取決于教師對數學教育教學內容本質的認識和教育視野的寬度、高度.新課程倡導教師要創造性地使用教材，要在使用教材的過程中融入自己的科學精神和智慧，對教材進行深加工.本節課的教學設計，緊扣等腰三角形和直角三角形，實現了三角形向四邊形的自然過渡，回歸本源，也體現了問題研究的前后一致、邏輯連貫.數學知識本身就有很強的系統性，我們的教學要站在系統的高度，注重數學知識的整體性，幫助學生理解和領會數學知識之間的聯系，這樣才能真正把握數學知識的本質.