混凝土石膏盒空心樓（屋）蓋有限元差分法計算

魯思濛

1 工程設計概況

鋼筋混凝土空心蓋板是指混凝土板在澆筑前放置空心芯筒（盒），形成單（或雙）向（x，y）正交密肋（小梁）傳承板面荷載的板。板面的內力（彎矩、剪力、軸力、扭矩）和位移（轉角、垂直線位移、水平線位移）求解之后采用口字型、工字型或T字型截面計算板的配筋（主筋、腰筋、箍筋等）。

板的內力計算眾所周知有:（1）雙單向平板法；（2）密肋（梁）法；（3）井字梁法；（4）擬夾層板法板板；（5）交叉梁系差分法；（6）有限元差分變分法；（7）電算法（多種軟件）等。

2 有限元差分法理念

將預制空心樓（屋）蓋的結構內力基本方程和邊界約束條件（微分方程）采用有限元差分方程計算，把求解微分方程的問題改換成求解代數方程的問題。

設f=f（x，y，z）為彈性體內的某一個連續函數，在區間具有一階直到n+1階的導數，在區間上取一點x0，并取x0的一個增量Δx，則微分dy=f’（Xo）Δx，ΔY=f’（Xo+Δx）-f’（Xo），一個函數增量Δy，表示位移或彎矩、剪力，也可以取它代表某一個應力分量或位移分量、應力函數、溫度、濕度等等。

運用泰勒級數:f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2!+…+fn（x0）（x-x0）n/n!+Rn（x）

當x0=0

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）x2/2!+f?（0）x3/3!+…+fn（0）xn/n!

即馬克勞林級數，當x值很小時，冪級數收斂域很容易確定，當x＜1.0時，很快收斂，級數之和較準確，滿足設計規范要求。

2.1 計算模型

圖1

其平方值也愈小，立方值更小，即連續函數收斂，而且一般采用規則平面，如矩形、正方形平面，圖形周邊為簡支（鉸接）或固定（剛接），在平面圖中找形心點，任何冪級數εanxn的收斂域都是以原點為中心的一個區間，在x0、y0坐標軸的左右上上相隔等間距h而平行于坐標軸的若干組平行線織成方格網，如圖1，增量h≤1時，其平方值愈小，立方值更小，即連續函數收斂，而且一般采用規則平面，如矩形、正方形平面，圖形周邊為簡支（鉸接）或固定（剛接），在平面圖中找形心點，任何冪級數εanxn的收斂域都是以原點為中心的一個區間，在x0、y0坐標軸的左右上上相隔等間距h而平行于坐標軸的若干組平行線織成方格網，增量h值愈小，矩剪力收斂很快，數值準確。一般先計算坐標原點的左（-1，0），右（0，1），前（-1，0），后（0，1），共4點的內力（彎矩、剪力），位移（撓度、轉角），然后逐步分級擴展坐標原點的相鄰的左、右、前、后各兩點，共8、12、16個點的內力、位移。

h取值:當跨度8＜L≤10米時，h=L/10～12；

當跨度10＜L≤12米時，h=L/12～14；

當跨度12＜L≤15米，h=L/15～16；可以收斂快些。

2.2 有限元差分法數學表達式:

撓度系數ω為:

撓度系數如圖2所示。字為節點編號。

圖2 節點差分法位移系數

其中:D-板的剛度；q-計算荷載。

2.3 雙向正交正放梁（肋）的位移與均布荷重、梁剛度的關系:

2.4 梁的位移與轉角Θ、剛度D的關系:

2.5 梁的位移與彎矩M、剛度D的關系:

其中:m-彎矩系數。

圖3 差分法彎矩系數分布圖

2.6 梁的位移與剪力V、剛度D的關系:

其中:ν-剪力系數。

圖4 差分法剪切力系數分布圖

ω為未知數，由代數聯立方程中求得，ω的影響區域，一般為上上左右各三跨，越出的可以不考慮；但要考慮邊界約束條件。

3 確保質量技術措施

（1）石膏空心盒平面布置橫平豎直，X與Y（橫與列）方向要垂直，橫與橫平行，列與列平行。

（2）芯盒不能占越框架梁的面積和空間，盒與梁邊的間距應大于50mm，使框架梁截面為T型，同時滿足板抗剪強度要求。

（3）板應預先起拱，L/250～L/300，避免變形過大而產生裂縫。

（4）按簡支計算的板，實際支座都有不同程度的約束，故要求配置適量的負彎矩鋼筋，應不少于跨中正彎矩鋼筋的1/2；負彎矩值=（1/8－實配正彎矩系數），按負彎矩值計算負鋼筋量。

（5）肋（小梁）的肢箍鋼筋要滿足抗剪需要。

（6）石膏空心盒邊角應為圓角，避免應力集中而產生裂縫。

（7）早強水泥會導致混凝土早期強度較高而產生裂縫，要有措施應對。

（8）在混凝土中摻入15～20%的Ⅰ～Ⅱ級粉煤灰，可減少混凝土收縮和混凝土水化熱，可改善混凝土的抗裂性能。

（9）工程實踐證明，在混凝土中加入適量的防腐阻銹防水抗裂劑，可以提高混凝土應有性能。

（10）混凝土在初凝前進行二次振搗，在終凝前對混凝土表面進行二次抹壓，并及時覆蓋保濕養護，防止早裂，確保混凝土質量。

（11）澆注混凝土前，必須在樓板上鋪設架空馬道，嚴禁施工人員踩踏芯模和鋼筋，混凝土振搗設備應多種，應有小直徑（一般ф30）或片式插入式振搗器，與平板振搗器協同操作，確保混凝土均勻密實。

（12）芯模吊運與堆放一是要輕掀輕放，二是要按規定控制疊放高度，以防芯模損壞。

（13）模板支撐系統，要等空心樓（屋）蓋混凝土強度、剛度滿足設計要求時，才許拆模。

（14）嚴格遵照芯模生產制作、安裝檢驗、澆注混凝土、養護、檢驗、驗收全過程質量要求進行施工。

4 結論

鋼筋混凝土空心蓋板，用有限元差分法計算，實際是冪級數f（x）泰勒級數收斂性在蓋板的內力（彎矩、切力）和變形（位移）的計算應用，顯得更精確、經濟（降低用鋼量），數學概念清晰，計算方便（微分方程采用代數方程解），結果可信，正確。