基于靶試的空空導彈自主飛可靠性置信度分析*

李根成，郭威威，李沛萱

（1.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471000；2.華中科技大學，武漢 430074）

0 引言

空空導彈是由飛機攜帶，并從飛機上發射，主要用于攻擊飛機、巡航導彈等空中目標的導彈。自1958 年首次投入實戰以來，空空導彈在空戰中的作用越來越重要。如1973 年爆發的阿以贖罪日戰爭中，以色列共擊落阿拉伯國家飛機336 架，除60 架被航炮擊落外，其余276 架全部是被空空導彈擊落；1982 年英阿馬島戰爭中，阿根廷被擊落的32 架飛機中有24 架是被空空導彈擊落；1991 年1 月17日至2 月28 日的海灣戰爭中，伊拉克共有38 架飛機被多國部隊擊落，其中被空空導彈擊落36 架，被航炮擊落2 架［1］。

自主飛可靠性是空空導彈極為重要的戰術技術指標，描述的是自導彈離開載機后到命中目標前這一階段工作的可靠性，其概率度量即為自主飛可靠度［2-3］。該指標倍受生產方和使用方的關注，常常在設計定型時結合靶場飛行試驗對其最低可接受值進行考核，靶試結果是產品能否設計定型的重要依據［2-4］。在某空空導彈研制總要求中明確了如下自主飛可靠度指標：

1）最低可接受值：不低于0.70（置信度0.5）；

2）目標值：不低于0.89（置信度0.82）。

有人提出，0.5 的置信度是否可理解為對評估出的結果可以相信也可以不相信？可靠性評估技術的研究國內外開展較多，如金碧輝對可靠性評估方法進行了全面論述，周育才對空空導彈任務可靠性、性能可靠性、單元可靠性、系統可靠性評估進行了應用研究［5-8］。但對評估置信度的研究很少，更多的是原則性的描述。以下通過分析置信度高低對評估結果的影響等疑問進行論述，首先介紹點估計與區間估計，通過區間估計引入置信度。

1 點估計與區間估計

眾所周知，可靠度是統計概念，它不像產品的性能指標那樣可以通過儀器儀表直接測量出來，即可靠度需要借助試驗并運用統計方法加以評估［9-10］?？煽啃栽u估是指根據樣本的試驗數據對總體的可靠性參數值進行估計。理論上講，總體的可靠性參數存在真值，但常常是未知的，需根據樣本提供的信息對真值進行估計，故會產生誤差。估計誤差的大小與樣本多少有關，同樣條件下，樣本量越大，獲取的信息越多，估計值與真值越接近［10-11］。

點估計是通過樣本觀測值對總體未知參數給出接近真值的一個估計值，用于估計總體參數的統計量是樣本的函數，稱為點估計量。用樣本觀測值對點估計量計算出的結果為點估計。不同估計方法給出的點估計量不同，由此得出的點估計值常常不同；即使是同一點估計量，用不同樣本的觀測值得到的點估計值也會不同［12-14］。

設某空空導彈自主飛可靠度真值為R，不可靠度為p=1-R，某次靶試中進行n 次獨立的重復試驗，用隨機變量x 表示失敗次數，其發生概率可用參數為n、p 的二項分布表示：

失敗次數小于等于r 的累積分布函數為：

若靶試n 發中失敗r 發，則產品的不可靠度點估計為：p＾=r/n，可靠度點估計為R＾=（n-r）/n。

如上所述，點估計有一定隨機變動范圍，應該加以考慮，常用方法是給出一個區間估計，這個區間以一定概率包含所估計的真值。該區間是在一定置信度下的區間，稱為置信區間，區間的上、下限分別稱為置信上限和置信下限。如式P（RL≤R≤RU）=γ，表示可靠度真值R 落在雙側置信區間［RL，RU］的概率為γ，RL為置信下限，RU為置信上限，γ 為置信度。式P（RL≤R≤RU）=γ 隱含有兩個公式：P（R＜RL）=（1-γ）/2、P（R＞RU）=（1-γ）/2［15］。

2 置信度選取對置信區間的影響

顯然，置信區間越窄，估計的精確性越高；置信度越高，估計的把握性越大。要同時提高估計的準確性和把握性，須增加樣本量。在樣本量不變時，提高置信度，置信區間就會變寬；反之，降低置信度，置信區間就會變窄。對具體的參數，我們有時并不關注雙側置信區間，而是關注單側置信下限，如對可靠度關注其置信下限而不是置信上限，P（R≥RL）=γ；對平均修復時間關注其置信上限而不是置信下限，P（MTTR≤MTTRU）=γ。下面就以空空導彈自主飛可靠度評估為例，分析不同樣本量和不同置信度下的置信下限。

如式（1）所示，自主飛可靠度真值為R 的空空導彈在n 次靶試中失敗次數的概率可用二項分布描述［4，16］。真值R 雖存在，但需通過樣本的觀測值來評估，即通過靶試來檢驗導彈自主飛可靠度是否達到最低可接受值。通常是參考由最低可接受值及其置信度計算出所需靶試產品數量，并考慮需考核的戰術技術性能等，最終確定設計定型靶試方案（n，r），即靶試的n 發導彈中若失敗數不大于r，則判定可靠度能達到最低可接受值要求［4］。

我們要通過靶試方案（n，r）評估自主飛可靠度置信下限RL，使得P（R≥RL）=γ，也即P（R＜RL）=1-γ，由式（3）確定［17-18］：

設計定型時不可能投入大量空空導彈用于靶試，所以在最低可接受值不降低時，常常不能取大的置信度。實際上，γ 小并不意味著導彈可靠性的降低，而是受試驗費用等限制不能投入大量樣本進行試驗，不得不適當降低置信度，這從表1、表2 可看出。

表1 點估計不低于且接近0.70 時的幾組數據

由表1 可知：

1）同樣的試驗結果，γ 越大得出的RL越小。從物理意義上可解釋為：要保證可靠度真值落入置信區間的概率較大，在可靠度置信上限不變時（上限的極值為1），可靠度置信下限須降低。如靶試結果為（4∶1）即靶試4 發導彈有1 發失敗的評估結果是：γ 為0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 時的RL分別為0.614、0.556、0.492、0.418、0.320。

2）γ=0.5 時的RL仍小于R＾，只是隨著靶試導彈數量的增加，信息量的增大，RL與R＾之差逐漸減小。如靶試結果為（4∶1）、（7∶2）、（10∶3）、（14∶4）、（17∶5）、（20∶6）時，相應的R＾與RL之差分別是：0.136、0.078、0.055、0.040、0.033、0.028。

3）在產品昂貴、試驗經費等資源有限不可能投入較多樣本進行試驗時，不能僅依據置信下限來評價產品質量，還應參考點估計。如靶試結果為（4∶1）、（7∶2）、（10∶3） 時的R＾分 別為0.750、0.714、0.700，即可靠度點估計逐漸減小。但其可靠度置信下限卻相反，如γ=0.5 時，靶試結果為（4∶1）、（7∶2）、（10∶3）時的RL分別為0.614、0.636、0.645。這種現象在靶試結果分別為（14∶4）、（17∶5）、（20∶6）時依然存在，并且γ 取0.6、0.7、0.8、0.9 時情況依然如此。

4）不論γ 取較小值0.5 或是較大值0.9，隨著投入試驗的樣本量增加，同一γ 下R＾與RL之差逐漸減小，即隨著樣本量的增大，RL逐漸接近R＾。理論上，當樣本量無限大或全數檢驗時，置信下限與點估計相等，即都等于理論上的真值。從表1 衍生出的表2也可看出，隨著樣本量增加，不同γ 下可靠度置信下限的差值逐漸縮小，即樣本量較大時，置信度對置信下限的影響較小。

綜上所述，在樣本量不可能較大時，為保證用傳統方法驗證空空導彈自主飛可靠度最低可接受值，不應取大的置信度。

表2 不同置信度下可靠度下限的差值

表3 列出了γ=0.7 時可靠度置信下限不低于0.70 時的幾組數據。（15∶3）和（26∶6）兩種靶試結果得出的可靠度置信下限都是0.701，后者出現的失敗數6 比前者出現的失敗數3 增加了1 倍，但后者靶試的樣本量26 并不是前者樣本量15 的2 倍。從另一個角度看，（15∶3）得出置信度0.7 時的可靠度置信下限為0.701，若從樣本量等比例增加的角度，允許失敗數為4 時所需樣本量為4/3*15=20。實際上，靶試結果（19∶4）中的樣本量為19，小于等比例計算出的20，而實際的評估結果如何呢？由（19∶4）的靶試結果評估出RL=0.705，即樣本量雖小于等比例計算出的值，但其評估的可靠度置信下限卻比0.701 大。因此，不能僅依據置信下限評估產品質量，還應深究該置信下限是由什么樣的靶試結果得出的，投入靶試的樣本量是多少。尤其在靶試的導彈數較小時，應參考點估計值等信息綜合評價其質量。

表3 可靠度置信下限RL 達到0.70（置信度0.7）時的幾組數據

表4 為可靠度置信下限不低于0.70（置信度0.5）時的幾組計算數據。經過與使用方就置信度對可靠度置信下限影響的專題溝通協調，考慮到需要驗證的主要彈道數，設計定型時采用了方案（9，2），即靶試9 發導彈，允許的失敗次數不超過2。

表4 可靠度置信下限RL 達到0.70（置信度0.5）時的幾組數據

3 結論

按慣例導彈自主飛可靠度最低可接受值的驗證，是通過設計定型時在靶場進行的導彈自主飛行試驗。在允許失敗次數不變的情況下，需要靶試導彈數量會隨著置信度要求的提高而增加。本文重點論述了不同靶試樣本量下置信度對置信下限的影響，指出隨著樣本量的增加，置信度的大小對置信下限的影響逐漸減小。進而說明，在限于經費等原因不能投入大量導彈進行靶試的條件下，不應取大的置信度來驗證最低可接受值。取較小置信度并不是對產品可靠性要求的降低，只是受靶試導彈數量有限導致。在靶試導彈數量較小時，應考慮可靠度置信下限、點估計等信息對導彈質量進行綜合評價。