兩點(diǎn)拋物線插值提高雷達(dá)測(cè)距精度的研究

馬 蘭 井 偉 扈月松 李照照 路焜鵬

(1.西安電子工程研究所 西安 710100； 2.陸軍駐西安地區(qū)第六軍代室 西安 710100)

0 引言

雷達(dá)的最基本任務(wù)是探測(cè)目標(biāo)并測(cè)量目標(biāo)的距離，而測(cè)距精度是雷達(dá)的重要性能參數(shù)之一。一般情況下，雷達(dá)測(cè)量目標(biāo)距離的方法是對(duì)目標(biāo)回波作脈壓處理后，根據(jù)得到的功率譜曲線，找到最大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的距離單元號(hào)來(lái)確定目標(biāo)距離。但受到采樣率的約束，雷達(dá)處理分辨率有限從而造成不可避免的測(cè)距誤差，降低測(cè)距精度，所以研究減小距離量化誤差的方法是研究雷達(dá)測(cè)距技術(shù)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

文獻(xiàn)[1]主要介紹了一種對(duì)回波主瓣面積作梯形近似來(lái)插值估計(jì)出真實(shí)峰值的方法。首先從回波波形的特點(diǎn)入手，對(duì)回波信號(hào)中的目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行細(xì)化，在固定的采樣間隔之間僅做一次插值處理，等效于降低目標(biāo)回波區(qū)域內(nèi)的采樣間隔，在雷達(dá)各參數(shù)都固定的情況下有效提高測(cè)量精度。但采用這種方法時(shí)測(cè)距精度會(huì)明顯受到噪聲的影響，在有噪聲時(shí)測(cè)量誤差會(huì)急劇增加[1]。文獻(xiàn)[2]介紹的方法是先用FFT得到差頻信號(hào)極大值和次大值的譜線位置，再根據(jù)譜峰極大值估計(jì)方法計(jì)算出真實(shí)極大值的譜線位置，從而實(shí)現(xiàn)測(cè)距系統(tǒng)的高精度估計(jì)，但是該方法計(jì)算量較大[2]。

在雷達(dá)工作的過(guò)程中，結(jié)合先驗(yàn)信息，當(dāng)時(shí)寬、帶寬確定且窗函數(shù)選定的情況下，發(fā)射信號(hào)波形和回波脈沖壓縮波形均是確定的。基于此，本文提出了一種兩點(diǎn)式拋物線插值算法，利用目標(biāo)回波脈壓結(jié)果主瓣內(nèi)信噪比較高的最大值和次大值采樣點(diǎn)作拋物線擬合，通過(guò)插值計(jì)算，可以對(duì)真實(shí)回波峰值出現(xiàn)的采樣時(shí)間位置進(jìn)行預(yù)估，大大減小了距離量化誤差，提高了雷達(dá)測(cè)距精度。

1 雷達(dá)測(cè)距量化誤差的產(chǎn)生

雷達(dá)一般采用脈沖法測(cè)距，測(cè)距公式為

(1)

其中，c為電磁波傳播速度(在自由空間傳播時(shí)約等于光速)；tR為回波相對(duì)于發(fā)射信號(hào)的延遲。

在雷達(dá)測(cè)距過(guò)程中，影響跟蹤距離精度的因素主要涉及以下幾個(gè)方面：熱噪聲[3]、多路徑、大氣傳播誤差、距離量化誤差、目標(biāo)閃爍以及定時(shí)脈沖抖動(dòng)[4]。本次研究主要針對(duì)距離量化誤差來(lái)提高跟蹤距離精度[3-4]。

圖1 雷達(dá)測(cè)距量化誤差的產(chǎn)生原理

2 拋物線插值算法的基本原理

2.1 傳統(tǒng)拋物線插值算法

如圖2所示，假設(shè)已知三個(gè)采樣點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，擬合二次函數(shù)y=ax2+bx+c，將已知的三個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)歸一化為-1，0，1，得到方程組

圖2 傳統(tǒng)拋物線插值算法原理分析

(2)

將雷達(dá)目標(biāo)回波脈壓結(jié)果主瓣內(nèi)的采樣最大值和兩個(gè)次大值分別用坐標(biāo)表示為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，根據(jù)以上原理擬合二次函數(shù)。假設(shè)x1、x2、x3為從左到右順序排列，則預(yù)估的回波峰值出現(xiàn)的位置和已知三個(gè)采樣點(diǎn)在橫坐標(biāo)的中心位置(即x2)之間的偏差為

(3)

(4)

則插值得到的預(yù)估峰值位置為

xforecast=x2+xdelta

(5)

預(yù)估峰值位置誤差為xmax-xforecast。

2.2 兩點(diǎn)式拋物線插值算法

在實(shí)際工作過(guò)程中，當(dāng)時(shí)寬、帶寬確定且窗函數(shù)選定的情況下，發(fā)射信號(hào)波形和回波脈沖壓縮結(jié)果均是確定的，所以只選擇3dB波束寬度的回波脈壓結(jié)果作拋物線擬合時(shí)，其形狀也是固定的，即參數(shù)a是確定的，此時(shí)拋物線函數(shù)只有兩個(gè)參數(shù)未知。基于此，對(duì)傳統(tǒng)拋物線插值算法進(jìn)行改進(jìn)，只取回波脈壓結(jié)果3dB波束寬度內(nèi)的最大值和次大值兩個(gè)采樣點(diǎn)就可以進(jìn)行拋物線擬合，對(duì)目標(biāo)回波真實(shí)峰值出現(xiàn)的位置進(jìn)行插值預(yù)估。同時(shí)，應(yīng)該考慮到的問(wèn)題是將回波脈壓結(jié)果擬合為拋物線函數(shù)時(shí)，本身就存在誤差，但可以采用數(shù)值統(tǒng)計(jì)的方法將誤差分析出來(lái)，對(duì)擬合拋物線的參數(shù)a作優(yōu)化處理，進(jìn)一步提高測(cè)距精度。

如圖3所示，回波脈壓結(jié)果的最大值和次大值分別為y1、y2，假設(shè)真實(shí)的回波峰值可以表示為ymax=y1+y2，用ymax對(duì)y1、y2進(jìn)行歸一化，得

(6)

圖3 兩點(diǎn)式拋物線插值算法原理分析

假設(shè)y1′、y2′對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為-1,1，均位于拋物線y=ax2+bx+c上，則有

(7)

則得到參數(shù)b的表達(dá)式為

(8)

(9)

其中，參數(shù)a近似為一常數(shù)。

則預(yù)估峰值出現(xiàn)的位置為xmiddle+xdelta，峰值位置誤差可以表示為

Δ=xmax-xmiddle-xdelta

(10)

3 算法驗(yàn)證及優(yōu)化

表1 仿真參數(shù)設(shè)計(jì)

第一步：對(duì)信號(hào)脈壓結(jié)果作歸一化處理后，選擇采樣時(shí)間-1/fs,1/fs內(nèi)的回波脈壓結(jié)果作拋物線擬合。如圖5所示，將采樣點(diǎn)在回波脈壓波形上進(jìn)行移動(dòng)，使各種情況下的采樣位置都被考慮到。

圖4 采樣最大值和次大值位置分布的一種情況

圖5 采樣點(diǎn)位置分析

第二步：如圖6所示，將信號(hào)脈壓結(jié)果左右兩部分移到同一采樣時(shí)間區(qū)域，用同一采樣時(shí)刻對(duì)應(yīng)的兩個(gè)采樣點(diǎn)幅值估計(jì)回波真實(shí)峰值并分析誤差。

圖6 同一時(shí)間區(qū)間內(nèi)采樣點(diǎn)分析

圖7 預(yù)估峰值誤差分析

第三步：用不同的預(yù)估峰值對(duì)回波脈壓結(jié)果作歸一化處理后，可以擬合出不同的拋物線，產(chǎn)生不同的a值，該值就是此時(shí)對(duì)應(yīng)的采樣位置下擬合拋物線的真實(shí)a值，而理想a值為一常數(shù)，二者之間的誤差分析如下：

從圖8可以看出，參數(shù)a的誤差最大值出現(xiàn)在兩個(gè)采樣點(diǎn)的幅值相等時(shí)的采樣位置，原因是此時(shí)兩個(gè)采樣點(diǎn)的幅值都較大，使預(yù)估峰值達(dá)到了最大值，同時(shí)預(yù)估峰值與真實(shí)峰值之間的誤差也達(dá)到最大值，此時(shí)用預(yù)估峰值對(duì)回波脈壓結(jié)果作歸一化與用真實(shí)的脈壓波形峰值作歸一化后擬合的拋物線相差較大，從而產(chǎn)生了參數(shù)a的誤差。

圖8 參數(shù)a誤差分析

第四步：用預(yù)估峰值對(duì)回波脈壓結(jié)果作歸一化處理后可以得到參數(shù)b的表達(dá)式，再結(jié)合理想a值可以插值計(jì)算出預(yù)估峰值位置與兩個(gè)采樣點(diǎn)的中心位置之間的偏差xdelta，同時(shí)兩個(gè)采樣點(diǎn)的中心位置已知，故可以得到預(yù)估峰值位置。

圖9 預(yù)估峰值位置分析

由圖10可以看出，真實(shí)的峰值位置誤差最大值為0.1694μs，對(duì)應(yīng)的距離量化誤差為25m，仿真驗(yàn)證了兩點(diǎn)式拋物線插值算法的有效性。

圖10 峰值位置誤差分析

關(guān)于參數(shù)a帶來(lái)的誤差，作了如下分析：

在實(shí)際的雷達(dá)測(cè)距過(guò)程中，若只取回波脈壓結(jié)果3dB波束寬度內(nèi)的兩個(gè)采樣點(diǎn)，則無(wú)法擬合拋物線函數(shù)，即真實(shí)的a值無(wú)法直接得到，而實(shí)驗(yàn)中理想的a值可以通過(guò)仿真擬合出來(lái)。結(jié)合第二節(jié)算法分析可知，在用選取的回波脈壓結(jié)果3dB波束寬度內(nèi)的兩個(gè)采樣點(diǎn)幅值之和對(duì)二者作歸一化時(shí)，拋物線函數(shù)的參數(shù)b也被作了歸一化，即此時(shí)的參數(shù)b是對(duì)應(yīng)于歸一化之后的拋物線而言的,故必須對(duì)理想的a值作優(yōu)化處理，使其更接近歸一化之后的回波脈壓波形對(duì)應(yīng)的擬合拋物線，目的是使算法與實(shí)際模型匹配度更高，進(jìn)一步減小測(cè)距誤差，提高測(cè)距精度。

第五步：理想?yún)?shù)a的優(yōu)化。由圖7可知，在[-1/fs,1/fs]內(nèi)回波脈壓波形中選擇的兩個(gè)采樣點(diǎn)分別從左端點(diǎn)和中心點(diǎn)向中心點(diǎn)和右端點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，預(yù)估峰值誤差從最小值變化至最大值，再由最大值變化至最小值，導(dǎo)致用預(yù)估峰值對(duì)回波脈壓結(jié)果作歸一化后擬合的拋物線函數(shù)的參數(shù)a的誤差由最小值增加至最大值，再由最大值減小至最小值，如圖8所示。在實(shí)際中，結(jié)合先驗(yàn)信息可以得到理想的a值，但真實(shí)的a值無(wú)法直接得到，只能通過(guò)對(duì)理想a值作優(yōu)化處理使其逼近真實(shí)的擬合拋物線。

(11)

其中，aideal表示理想a值，即用真實(shí)峰值對(duì)回波脈壓結(jié)果作歸一化后擬合的拋物線函數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

通過(guò)數(shù)值統(tǒng)計(jì)的方法得到，δ在0.21～0.25之間取值時(shí)，預(yù)估峰值位置與真實(shí)峰值位置的逼近程度最好，峰值位置誤差最小。仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 優(yōu)化a值后預(yù)估峰值位置誤差分析

仿真結(jié)果表明，優(yōu)化參數(shù)a之后預(yù)估峰值位置誤差大幅度減小，最大誤差僅為0.0156μs，即距離量化誤差約為2.3m，從而證明了該優(yōu)化方法的可行性。

第六步：加SNR后的距離量化誤差分析。結(jié)合雷達(dá)測(cè)距原理和圖3可知，真實(shí)的回波峰值和預(yù)估峰值所對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)間之間的誤差為Δ=|xmax-xmiddle-xdelta|，將該誤差轉(zhuǎn)化為距離量化誤差ΔR，則有公式(12)。

(12)

假設(shè)SNR的取值范圍為10～30dB，窗函數(shù)選擇Hamming窗，其他參數(shù)不變，距離量化誤差隨SNR的變化仿真如圖12所示。

圖12 兩種算法下距離量化誤差隨SNR變化對(duì)比分析

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)和分析可知，傳統(tǒng)三點(diǎn)式拋物線插值算法所選用的采樣點(diǎn)有可能存在一個(gè)非主瓣內(nèi)的采樣點(diǎn)，導(dǎo)致模型失配，而兩點(diǎn)法不存在這個(gè)問(wèn)題；另一方面，當(dāng)選取的三個(gè)采樣點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)的幅值幾乎一致時(shí)，三點(diǎn)法的誤差較大，而兩點(diǎn)法是直接用兩個(gè)點(diǎn)的中心位置作為插值結(jié)果，故精度更高。此外，兩點(diǎn)法所選用的采樣點(diǎn)SNR較高，產(chǎn)生的距離量化誤差更小，這種效果在SNR較小時(shí)更加明顯。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合雷達(dá)測(cè)距中距離量化誤差的存在提出了一種兩點(diǎn)式拋物線插值算法，該算法只需要回波脈壓結(jié)果主瓣內(nèi)最大值和次大值兩個(gè)采樣點(diǎn)就可以插值估計(jì)出回波真實(shí)峰值所在的位置。相比于傳統(tǒng)三點(diǎn)式拋物線插值算法，該算法計(jì)算量小，與實(shí)際模型匹配度高，且由于選用的兩個(gè)采樣點(diǎn)SNR較高，故誤差更小。仿真結(jié)果表明，兩點(diǎn)式拋物線插值算法可以更好地提高雷達(dá)測(cè)距精度。