“[2]”引發的數學危機

徐志強

在古埃及，尼羅河年年洪水泛濫，洪水退后，便會出現不規則的新田。在當時，如何分地才能使得每塊田都有合適的尺寸和形狀呢？古埃及人用12個等距離的繩結，就能構造出邊長為3、4、5的直角三角形，然后又通過拼湊三角形，得到許多其他圖形。

3、4、5是滿足勾股定理的3個整數，被稱為勾股三元數。在西方，勾股定理又叫作畢達哥拉斯定理，相傳是由畢達哥拉斯發現的。畢達哥拉斯青年時期遠赴埃及，甚至到印度，學到了很多知識，尤其是數學。對他而言，數字是神圣的，他相信整個宇宙都是以整數建立的。畢達哥拉斯認為，小數不屬于自然界，任何事物都可以用整數解釋。

但是，這個想法有個大問題，恰恰來自勾股定理本身。

例如，我們設正方形的邊長是1，從一個角畫一條對角線，就得到兩個直角三角形，那么它的弦有多長呢？勾和股都是1，弦長就是[2]。什么數自乘等于2呢？這可沒有整數解，只有一串復雜的小數。因此，這個簡單的勾股定理例子表明了畢達哥拉斯的理念并不成立。

希帕索斯是畢達哥拉斯的門徒，相傳他最先發現了[2]的問題并把這個大秘密泄露了出去。當時，這一“悖論”直接觸犯了畢達哥拉斯學派的根本信條，導致人們在數學認識上出現了“危機”。這次危機也被稱為第一次數學危機。

同學們現在知道[2]是無理數，但是你們能證明嗎？讓我們一起來試試。

同學們現在大致能理解這個危機中的矛盾，但是數學史上卻有很多問題讓數學家花了大量的時間進行研究。

公元前370年，這個矛盾被畢達哥拉斯學派的歐多克索斯通過給比例下新定義的方法解決了。按照“萬物皆數”的理論，這個對角線是數，但是人們無法用數將它表示出來，也無法從幾何角度解釋“邊長為1的正方形的對角線”是什么。歐多克索斯的比例新定義出現后，人們知道了：正方形對角線的長度和邊長成比例，它是比例當中的一個變量。人們能從幾何角度解釋“邊長為1的正方形對角線”了，也就消除了幾何上的危機。關于歐多克索斯的比例論，感興趣的同學可以閱讀歐幾里得的《幾何原本》第二卷“比例論”的相關內容。

雖然如此，但是代數上的危機一直沒有被消除，由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。

1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了數學史上持續2000多年的第一次大危機。

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比值來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。

這次由“[2]”引發的數學危機表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的。從此希臘人開始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系，這不得不說是數學思想史上的一次革命。

（作者單位：江蘇省常州市第二十四中學天寧分校）