低信噪比環(huán)境下聲場重建的正則化方法改進

肖友洪， 陳藝凡， 班海波， 姜來旭， 段宇華

(1.哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.中車大連機車研究所有限公司，遼寧 大連 116021)

近場聲全息技術(near-field acoustic holography, NAH)是一種重要的噪聲源識別方法，基于空間聲場變換[1](spatial transform of sound field, STSF)、邊界元[2](boundary element method, BEM)、統(tǒng)計最優(yōu)[3](statistically optimized near-field acoustical holography, SONAH)、Helmholtz方程最小二乘法[4](Helmholtz equation least squares, HELS)的NAH算法已經在聲場重建中得到了廣泛應用。基于HELS的NAH將聲場近似展開為正交基函數的組合，對重建位置無要求，所需測點數量少，計算效率高，易于實現。利用Tikhonov法[5]或截斷奇異值(truncated singular value decomposition, TSVD)法[6]等正則化方法對HELS法聲場重建過程中的傳遞矩陣進行處理，可以改善傳遞矩陣病態(tài)性問題。正則化參數的選取在正則化過程中至關重要，通常采用L-curve法[7]，廣義交叉驗證[8](generalized cross validation, GCV)等。根據不同的研究對象選擇不同的正則化參數選取方法，并且信噪比和測量距離等因素對正則化參數的選取均有影響[9]。在實際應用中，Tikhonov法是最常用的正則化方法，但是在低信噪比下，Tikhonov正則化會因正則化參數選取不準確而導致重建失效[10]。

基于固定參數法(manually fixed regularization parameter, Manual)選取正則化參數已在射流噪聲的研究中獲得了滿意的結果[11]，本文將其與Tikhonov法結合，建立了正則化參數表達式，在不同信噪比下對雙聲源輻射聲場進行了重建，結合數據外推技術，以數值方法增大測量面[12]，并與GCV正則化參數選取方法的聲壓重建結果進行了對比分析。通過仿真分析和實驗研究，驗證了Manual法在NAH中應用的準確性和有效性。

1 聲場重建基本理論

1.1 HELS法聲場重建原理

從振動體輻射到無界流體介質中的聲壓可以通過獨立函數的線性組合來表示[13]：

(1)

式中：ρ和c分別表示介質密度和介質中的聲速；Cj為系數向量；Ψj為基函數矩陣。球坐標系下基函數為球面波函數，求解波動方程可得到基函數：

(2)

p(x)=ρcΨC

(3)

解得系數向量C后即可重建任意位置的聲壓。

1.2 Manual準則

在求解式(3)中的系數向量時，采用Tikhonov正則化并結合奇異值分解可以得到：

(4)

式中：UH、V為單位正交矩陣；Σ為對角矩陣，Σ=diag(σ1,σ2,…,σj)，σj為奇異值；J為基函數項數；M為測點數；Fα為正則化矩陣，奇異值按從大到小的順序排列。Manual法計算正則化參數的原理如下：在計算Σ-1時，設置參考值σref=10-nσ1(-n為最小奇異值的數量級)，σ1為最大奇異值，當σj≥σref時，σj=σj；當σj<σref時，σj=σref。

為了在HELS算法中應用Manual法選擇正則化參數，提高聲場重建精度，本文將Manual法與Tikhonov法進行結合，建立了一種新的正則化參數選取表達式：

(5)

此時正則化矩陣元素為：

(6)

由Manual法選取正則化參數得到的濾波因子不是一個固定不變的值，而是根據奇異值的大小進行判斷，若奇異值大于參考值，則不需要進行正則化，正則化參數為0，濾波因子為1；若奇異值小于參考值，則需要進行正則化。相比GCV法對所有的奇異值進行了抑制處理，這種方法的優(yōu)點是對一些相對較大的奇異值，不進行抑制。小奇異值在逆運算中會對誤差進行放大，所以通過設置參考值，將其替換掉，可以獲得較高的重建精度；一些相對較大的奇異值，包含了聲場傳遞中的重要特征，不對其進行抑制，可以使重建結果更接近真實值。

另一方面Ψ矩陣的條件數是解對輸入數據擾動敏感性的一種量度，矩陣條件數和奇異值有關，通過對一些小的奇異值進行替換，可以降低傳遞矩陣的條件數。矩陣的條件數定義為：

(7)

式中：σ1是最大奇異值；σn是最小奇異值，Manual法不僅能最大限度地保留有效聲場信息，還使傳遞矩陣的條件數保持在一個較小的數值。

1.3 數據外推

在進行聲場重建時，測量點越多，獲得的倏逝波信息越豐富，精度越高[14]。但是在實際測試中，只能在有限的孔徑上進行測量，為了提高重建精度，需對獲得的測量數據進行外推。聲源、測量面、外推面和重建面的位置如圖1所示。

獲得測量聲壓后由式(4)計算系數向量，代入式(3)中計算外推面聲壓，把外推面上覆蓋測量面部分聲壓用測量值代替，其余聲壓不變，繼續(xù)計算系數向量C進入下一次迭代，迭代過程可示為：

(8)

當2次迭代獲得的外推聲壓變化不大時，終止迭代，將最后一次的外推聲壓作為式(4)的輸入，即可重建復雜聲源任意區(qū)域的聲場。

由于該數據擴展方法通過多次聲場重建估計出擴展全息面上的聲壓，不僅保留了全息面上的原始數據，擴展出的聲壓仍然滿足正交球面波的聲輻射模型，且全息孔徑邊緣處的聲壓數據連續(xù)，重建精度大大提高。避免了傳統(tǒng)數據擴展技術，將外圍區(qū)域聲壓置為零，使全息面孔徑邊緣處的聲壓驟然突變，導致數據不連續(xù)，重建精度不高的缺點。

圖1 數據外推布局Fig.1 Data extrapolation layout

2 數值仿真

2.1 不同噪聲水平下的重建

為了驗證本文建立的正則化參數表達式在HELS法聲全息中的正確性和有效性，對雙聲源輻射聲場開展了仿真研究。仿真參數如下：2個脈動球源半徑為0.1 m，表面振速為2.5×10-3m/s，中心位置分別為(-0.3,0,0)和(0.1,0,0)，網格間距均為0.06 m，測量面大小為0.3 m×0.3 m，距聲源0.15 m，含有6×6個測點，外推面為0.9 m×0.9 m，含有16×16個測點，重建面大小與外推面相同，測點數相同，距聲源0.1 m，相干聲場頻率為1 000 Hz。

為了研究不同噪聲下2種正則化參數選取方法的重建性能，在測量聲壓中加入信噪比40、20、10 dB的隨機噪聲，信噪比計算公式為：

(9)

式中Ps和Pm分別是無噪聲時的聲壓矩陣和加入噪聲后的聲壓矩陣。

定義聲場重建均方根誤差E和重建點相對誤差e：

(10)

(11)

圖2是無噪聲和信噪比為40、20、10 dB下的測量聲壓，2種參數選取方法在重建面重建的聲壓云圖如圖3、4所示。

圖2 不同信噪比下的測量值Fig.2 Measurements at different SNR

圖3 基于Manual法聲壓重建結果Fig.3 Sound pressure reconstruction results based on Manual method

圖4 基于GCV法聲壓重建結果Fig.4 Sound pressure reconstruction results based on GCV method

2.2 結果與討論

4種情況下2種方法的重建誤差如表1所示。

表1 不同信噪比下的重建誤差Table 1 Reconstruction errors at different SNR

在無噪聲環(huán)境下，從圖3(a)和圖4(a)可以看出，基于Manual法和GCV法都能準確識別出位于(-0.3,0,0)和(0.1,0,0)處的聲源，重建點的平均重建誤差分別為7×10-14%和1.2%。

在信噪比為40 dB時，從圖3(b)和圖4(b)可以看出，基于GCV法的重建結果雖然能識別出2個聲源，但是在重建面邊緣點處的重建聲壓與理論值出現了偏差，而基于Manual法的重建誤差僅為0.8%，聲場重建效果較好。

在信噪比為20 dB時，從圖3(c)和圖4(c)可以看出基于Manual法的重建效果和信噪比為40 dB時基本一致，準確地識別出2個聲源。圖4(c)中基于GCV法的聲場重建結果僅能識別出右側聲源，重建誤差已經達到了59.2%。

在信噪比為10 dB時，基于GCV法不能識別出聲源，在一些邊緣處的重建點的重建誤差超過200%，嚴重偏離真實值。采用Manual法的識別精度雖然有所下降，但是在重建點處的最大重建誤差不超過45%，平均重建誤差在10%以下。從圖3(d)的聲場重建結果可以看出2個聲源的位置，在邊緣點處的重建效果較好，克服了在邊界處的不連續(xù)問題，Manual法重建性能穩(wěn)定，重建結果與信噪比為40、20 dB時保持一致，表明Manual法抗噪能力較GCV法強。

在信噪比10～60 dB的范圍內，基于Manual法和GCV法的聲場重建誤差如圖5所示。從圖5中可以看出，隨著信噪比的降低，基于GCV法的重建誤差從10%以下上升到90%，而基于Manual法的重建誤差波動范圍小，一直在10%以下，這表明Manual法在低信噪比時仍然可以達到滿意的重建效果，能有效抑制噪聲。

圖5 不同信噪比下的重建誤差Fig.5 Reconstruction errors under different SNR

出現上述現象的原因是在噪聲影響不大時，GCV函數尋找最小值時不會出現波動，如圖6(a)所示，而當噪聲影響較大時，GCV法在獲取GCV函數最小值時如圖6(b)所示，函數值在最小值附近波動較大，得到的最小值容易出現偏差。

而Manual法對奇異值進行處理前先通過預設的參考值進行判斷，大于該參考值的不進行抑制，小于該參考值再進行處理，這樣不僅能有效去除噪聲，也能最大限度保留聲場有效信息。

GCV法在選取正則化參數時出現的不穩(wěn)定性，使傳遞矩陣Ψ的條件數急劇增大。如信噪比為10 dB時，由式(7)計算得到基于GCV法的Ψ矩陣的條件數為1 584，而Manual法的Ψ矩陣條件數為1.1，因此Manual法能獲得與實際聲場接近的重建結果。

3 實驗驗證

為了驗證Manual法選擇正則化參數在HELS法聲全息中的正確性，在消聲室中對間距0.4 m的雙聲源開展實驗研究，實驗布置如圖7所示。

2個音響中心位置分別為(-0.3,0,0)，(0.1,0,0)，產生頻率為1 000 Hz的相干聲場，36個麥克風以0.06 m的間距均勻分布，全息距離為0.15 m，外推面大小為0.9 m×0.9 m，網格間距和位置與全息面相同，重建面位置0.1 m，大小與外推面相同。

圖6 GCV函數曲線Fig.6 GCV function curves

圖7 雙音箱實驗布置Fig.7 Experimental setup of the two loudspeakers

重建結果如圖8和圖9所示,從圖8(a)中可以看出，GCV法只能識別出一個聲源，圖9(a)顯示Manual法不僅可以識別出全息面覆蓋的聲源，對處于全息面之外的聲源也能準確識別。

進一步比較2種方法的數值誤差，由測量得到的數據重建全息面位置的聲場，取測量位置處的重建聲壓與測量值比較，GCV法重建誤差如圖8(b)所示，最大誤差為20.3%，平均誤差為4.3%，Manual法重建誤差如圖9(b)所示， 最大誤差11.0%，平均重建誤差為1.2%。

圖8 基于GCV法聲壓重建結果Fig.8 Reconstruction results based on GCV method

圖9 基于Manual法重建結果Fig.9 reconstruction results based on Manual method

實驗結果表明Manual法在HELS法聲全息中能提高重建精度。

4 結論

1)低信噪比環(huán)境下，利用Manual法選取的正則化參數在HELS法聲全息中能準確識別雙聲源的位置，重建精度高。

2)數據外推技術能在少測點的情況下，等效擴大全息面，增加測量數據，實現了更大區(qū)域的重建，提高了聲場重建精度，能有效的克服測量邊界處聲壓的不連續(xù)問題。

3)Manual法根據傳遞矩陣的最小奇異值預設參考值確定正則化參數，可以避免GCV法在正則化參數選取過程中的波動問題。