人字槽狹縫節(jié)流動靜壓混合氣體軸承的設(shè)計研究

于賀春，張國慶，王文博，王仁宗，王東強

（中原工學(xué)院 機電學(xué)院，鄭州 450007）

氣體軸承因具有高精度，低摩擦和高轉(zhuǎn)速等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于高精度和高轉(zhuǎn)速設(shè)備中，如高速機床和渦輪機械［1-4］。其中，動靜壓混合氣體軸承結(jié)合了靜態(tài)軸承和動態(tài)軸承的優(yōu)點，可以在較寬的溫度范圍內(nèi)工作并具有較大的載荷和高速能力，同時可避免轉(zhuǎn)子與軸承在起動和停止過程中的摩擦，使其在高速工作條件下具有較好的動態(tài)特性［5-9］。

Dee C W等［10］首先提出了狹縫節(jié)流氣體軸承，并利用有限元法對其進行了研究。Yoshimoto S等［11-12］提出了一種圓周狹縫氣體軸承，利用數(shù)值分析和實驗兩種方法研究了該軸承的靜態(tài)特性。Sharma SC等［13］研究了一種適用于不可壓縮流體的徑向滑動軸承，并得出與帶有毛細管節(jié)流孔和定流量節(jié)流器的非對稱孔入口的徑向滑動軸承相比，非對稱槽布置可以提供較好的速度穩(wěn)定性閾值裕度的結(jié)論。Tomohiko I等［14］提出并研究了一種軸向設(shè)置限位槽的氣體靜壓軸頸軸承，并提高了該軸承的剛度。Pankaj K等［15］在考慮熱效應(yīng)和微極潤滑油共同影響的情況下，對孔入口和槽入口混合軸頸軸承的性能進行了比較研究，結(jié)果表明：在給定的潤滑油微極參數(shù)范圍內(nèi)，在最大流體壓力和動力系數(shù)方面，恒流量閥補償孔入口混合軸頸軸承的性能最高。Chandra B K等［16］分別對用不同節(jié)流器補償?shù)碾p葉形／圓形非凹入式混合軸頸軸承進行了ER流體潤滑和表面變形對其性能的綜合影響的對比研究。研究表明：ER流體潤滑的CFV補償雙葉形（δ＝1.1）非凹入式徑向滑動軸承相對于其他補償元件（如毛細管，節(jié)流孔和槽口）具有卓越的性能。Wan Jun Mei等［17］提出了一種描述流體潤滑非對稱人字槽徑向軸承中槌形流體流動現(xiàn)象的數(shù)值模型，并采用“隨槽”網(wǎng)格變換方法來捕獲所有的槽邊界。Chen S K等［18］研究了帶人字槽套筒的液體動壓徑向微軸承的穩(wěn)定性，得到了各種設(shè)計參數(shù)的最優(yōu)值，以最大限度地提高承載能力和穩(wěn)定性。Miyanaga N等［19］采用線性攝動分析和非線性瞬態(tài)分析方法，研究了黏彈性支承剛度和阻尼對人字槽氣體軸承穩(wěn)定性特性的影響。研究表明，在黏彈性支承下，槽形結(jié)構(gòu)的變化可以提高渦動失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速。為了解決空穴區(qū)域的自由邊界問題，Chen C Y等［19］在雷諾方程中引入了一個附加項來穩(wěn)定求解。結(jié)果表明：增加附加項可以得到準確的壓力分布，有利于槽形和尺寸的選擇。Xiang Guo等［20］提出了一種研究微槽徑向軸承潤滑性能的瞬態(tài)流體動力潤滑模型。結(jié)果表明：人字槽軸承在正軸向運動時表現(xiàn)出最大的承載能力，其次是直槽軸承，最后是螺旋槽軸承。

基于上述研究，本文提出了一種人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承。采用以有限差分法為基礎(chǔ)的Matlab程序研究了軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作參數(shù)對動態(tài)特性的影響，并根據(jù)正交實驗設(shè)計法和灰色理論對軸承參數(shù)進行了優(yōu)化，得到軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作參數(shù)對軸承動態(tài)特性影響的順序以及軸承特性最佳時的軸承參數(shù)組合。

1 軸承結(jié)構(gòu)和工作原理

動靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。壓縮氣體通過狹縫節(jié)流器進入氣膜間隙，支承轉(zhuǎn)子運動。在軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的啟動和停止過程中，動靜壓軸承的靜壓效應(yīng)支撐轉(zhuǎn)子運動，在穩(wěn)定工作過程中，轉(zhuǎn)子受人字槽動壓效應(yīng)的支持，可降低供給壓力，從而保證轉(zhuǎn)子在整個運動過程中的穩(wěn)定。

2 數(shù)學(xué)模型

人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承的理論計算分析包括2個部分：狹縫節(jié)流器的流場計算和氣膜間隙的流場計算。

2.1 狹縫節(jié)流器的流場計算

當氣體流經(jīng)狹縫節(jié)流器時，熱交換非常小，并且節(jié)流器的寬度是微米級。根據(jù)節(jié)流器的這兩種特性，可以將氣體在狹縫節(jié)流器的流動簡化為氣體在2個平板中的一維流動［11-12］。假設(shè)氣體沿x方向以速度u流動，2個平板之間的垂直距離可以認為是人字槽寬度Z，平行板的長度與人字槽深度H相同，平板的寬度等于狹縫的弧長。氣體在平板間的流動的模型如圖2所示。

當氣體流場為一維穩(wěn)定流場時，Naiver-Stokes方程和狀態(tài)方程可以分別簡化為式（1）和式（2）。

根據(jù)相應(yīng)的邊界條件和積分方程方法，式（1）可以轉(zhuǎn)化為

平板間氣體的質(zhì)量流量為

由式（2）和式（3）可以得到

人字槽的總氣體質(zhì)量流量可利用式（6）計算。

2.2 氣膜間隙的流場計算

由于氣膜厚度比軸承半徑小3～4個數(shù)量級，因此可以忽略圓柱面曲率的影響，將圓柱軸承的氣膜展開成平面。根據(jù)狹縫的數(shù)量，將氣膜間隙平均分成N等份，每等份的寬度為b2。為了簡化計算，引入假設(shè)條件：①氣膜厚度在每等份是恒定的；②兩狹縫之間沒有氣體流動，氣體從節(jié)流器流出后，立即填充每等份；③不考慮圓周方向的氣體流動；④氣膜間隙中每等份壓力相等并等于氣體從節(jié)流器流出時的壓力。圖3為氣膜間隙的展開圖，并通過式（7）計算每等份的質(zhì)量流量M。

根據(jù)相應(yīng)的邊界條件和積分方法，得到

根據(jù)式（2）和式（8）得到

通過式（10）獲得氣膜間隙的氣體總質(zhì)量流量。

忽略氣體狹縫之間和氣膜間隙的擴散流和周向流動，狹縫節(jié)流器的氣體質(zhì)量流量與氣體間隙中的氣體質(zhì)量流量滿足

節(jié)流器出氣口的壓力可以根據(jù)式（12）計算。

2.3 有限差分法求解雷諾方程

氣膜間隙中的壓力分布可以利用雷諾方程（13）計算。

量綱為一化雷諾方程可以離散為

根據(jù)人字槽的特殊形狀，采用平行四邊形網(wǎng)格并人字槽方向網(wǎng)格劃分。平行四邊形網(wǎng)格如圖4所示，其中Δx和Δy滿足

具有人字槽的區(qū)域的氣膜厚度可以通過式（16）計算。

其他區(qū)域的氣膜厚度可以通過式（17）計算。

通過有限差分法和五點差分法對雷諾方程進行離散，圖5所示為五點差分法原理圖，式（18）為雷諾方程的差分表達式。

其中，系數(shù)A1、A2、A3和A4均與氣膜厚度和氣膜壓力有關(guān)。

2.4 基于旋轉(zhuǎn)坐標系的動態(tài)特性計算

當轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子有旋轉(zhuǎn)和渦動現(xiàn)象。轉(zhuǎn)子渦動導(dǎo)致壓力場和速度場沿圓周方向變化，從而產(chǎn)生氣膜力F，氣膜力F受轉(zhuǎn)子位移和速度的影響。因此，采用旋轉(zhuǎn)坐標系計算軸承的動態(tài)特性，圖6所示為旋轉(zhuǎn)坐標系。

假設(shè)轉(zhuǎn)子的偏心量為e，其渦動軌跡為圓，假設(shè)坐標系以與轉(zhuǎn)子同樣的渦動角速度Ω，并且轉(zhuǎn)子渦動角速度為0，計算域幾何形狀將不會變化，故網(wǎng)格也不會發(fā)生變化。由此消除了控制方程中的時間相關(guān)項，將非定常問題轉(zhuǎn)化為定常問題來求解，那么此時轉(zhuǎn)子的速度擾動大小為eΩ。

氣膜力Fr0和Ft0由式（19）計算

氣膜力Fr0和Ft0，偏心量e和速度擾動之間的關(guān)系是非線性的。在計算氣膜力Fr1和Ft1時，擾動分為兩部分。其中，一部分是沒有速度擾動的氣膜力Fr1和Ft1；另一部分則為該狀態(tài)附近的小擾動Δe和ΔΩ帶來的氣膜力Fr1和Ft1。如果將此時的氣膜力Fr1和Ft1在該狀態(tài)附近用泰勒級數(shù)展開，如式（20）所示

根據(jù)氣膜力F的結(jié)果，可以求解阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)，具體步驟如下：

1）阻尼系數(shù)的計算

當轉(zhuǎn)子速度n一定，轉(zhuǎn)子的偏心度為e1，旋轉(zhuǎn)角速度為Ω，可以獲得氣膜力Fr0和Ft0。給定微小的速度擾動ΔΩ，此時偏心率e1不變，根據(jù)Fr0和Ft0以及Fr1和Ft1計算出新的氣膜力Fr1和Ft1，軸承的阻尼系數(shù)可以通過式（21）求解。

2）剛度系數(shù)的解

給定微小的偏心擾動Δe，轉(zhuǎn)子速度和旋轉(zhuǎn)角速度保持不變，根據(jù)氣膜力Fr0和Ft0以及Fr2和Ft2可以計算出新的氣體膜力Fr2和Ft2。軸承的剛度系數(shù)可以通過式（22）求解。

2.5 計算過程和計算參數(shù)

利用Matlab軟件編程進行計算。計算流程如圖7所示，軸承的計算參數(shù)見表1。

表1 人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承的計算參數(shù)

3 計算結(jié)果

3.1 人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承和普通軸承的動態(tài)特性比較

為了對比研究人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承和普通軸承的動態(tài)特性，按照表1中的參數(shù)，在0.1～0.7范圍內(nèi)改變軸承偏心率，其他參數(shù)保持不變，計算分析后的動態(tài)特性曲線如圖8所示。其中，圖8（a）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承和普通軸承的主阻尼，從曲線可以看出：2種軸承主阻尼均隨偏心率ε的增大而增加，但人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承的主阻尼大于普通軸承的主阻尼。圖8（b）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承和普通軸承的交叉阻尼，兩種軸承的交叉阻尼隨偏心比的增大而減小，人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承的交叉阻尼小于于普通軸承的交叉阻尼。圖8（c）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承和普通軸承的主剛度，當偏心率ε＜0.4時，兩種軸承的差值較小；當偏心率ε＞0.4時，差值隨偏心率ε增加而增大。圖8（d）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承和普通軸承的交叉剛度，交叉剛度隨偏心率ε增加而增加，并且人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承的交叉剛度增加明顯高于普通軸承。

3.2 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對動態(tài)特性的影響

為了研究不同轉(zhuǎn)速對軸承動態(tài)特性的影響，按照表1中的參數(shù)，在6 000～120 000 r／min范圍內(nèi)改變轉(zhuǎn)子速度，在0.1～0.7范圍內(nèi)改變軸承偏心率，其他參數(shù)保持不變，計算分析后的動態(tài)特性曲線如圖9所示。其中：圖9（a）顯示了主阻尼的變化曲線，隨著轉(zhuǎn)子速度n的增大，在相同的偏心率ε下，主阻尼增大，但隨著速度的增大，偏心率ε對主阻尼的影響變小。圖9（b）顯示了交叉阻尼的變化曲線，隨著速度的增加，在相同的偏心率ε下，交叉阻尼減小，隨著速度的增加，偏心率ε對主阻尼的影響減小。圖9（c）顯示了主剛度的變化曲線，當偏心率ε≤0.5時，隨著速度的增加，主剛度增加，但增加量減小，然而，當偏心比率ε＞0.5時，主剛度的變化趨勢相反，減小量變大。圖9（d）顯示了交叉剛度的變化曲線，轉(zhuǎn)子速度越小，交叉剛度在相同的偏心率ε越大，隨著轉(zhuǎn)子速度的增加，偏心率ε對軸承交叉剛度的影響變小。

3.3 軸承長徑比對動態(tài)特性的影響

為了研究不同軸承長徑比對軸承動態(tài)特性的影響，按照表1中的參數(shù)，在0.8～1.6范圍內(nèi)改變軸承長徑比，在0.1～0.7范圍內(nèi)改變軸承偏心率，其他參數(shù)保持不變，計算分析后的動態(tài)特性曲線如圖10所示。其中：圖10（a）顯示了長直徑比L／D對主阻尼的影響，隨著長直徑比L／D的增加，在相同偏心比下主阻尼增加。圖10（b）顯示軸承長徑比L／D對交叉阻尼的影響：當L／D＝1時，軸承的交叉阻尼值基本不變；當L／D＜1時，交叉阻尼隨著偏心度的增加而增加；當L／D＞1時，交叉阻尼的變化趨勢相反。圖10（c）和（d）顯示了軸承長徑比L／D對主剛度和交叉剛度的影響，隨著軸承長徑比L／D的增加，在相同的偏心比下，主剛度和交叉剛度均增加。

3.4 人字槽寬長比對動態(tài)特性的影響

為了研究不同人字槽寬長比對軸承動態(tài)特性的影響，按照表1中的參數(shù)，在0.15～0.3范圍內(nèi)改變?nèi)俗植蹖掗L比，在0.1～0.7范圍內(nèi)改變軸承偏心率，其他參數(shù)保持不變，計算分析后的動態(tài)特性曲線如圖11所示。其中，圖11（a）顯示了人字槽的寬長比b／l對主阻尼的影響，在相同的偏心率下，主阻尼隨著人字槽的寬長比b／l的增大而增大。圖11（b）人字槽的寬長比b／l對交叉阻尼的影響，相同的偏心率下，主阻尼隨著人字槽的寬長比b／l的增大而減小，然而，當偏心率 ε＞0.4，人字槽的寬長比b／l＝0.3時的交叉阻尼要大于人字槽的寬長比b／l＝0.25時的交叉阻尼。圖11（c）顯示了人字槽的寬長比b／l比對主剛度的影響，相同的偏心率下，主剛度隨著人字槽的寬長比b／l的增大而減小，當偏心率ε＞0.5時，人字槽的寬長比b／l＝0.3時的主剛度要大于人字槽的寬長比b／l＝0.25時的主剛度。圖11（d）顯示了人字槽的寬長比b／l對交叉剛度的影響，當偏心率ε＜0.5時，相同偏心率下，交叉剛度隨著人字槽的寬長比b／l的增大而增大；當偏心率ε＞0.5時，交叉剛度的變化趨勢是相反的。

3.5 人字槽深度對動態(tài)特性的影響

為了研究不同人字槽深度對軸承動態(tài)特性的影響，按照表1中的參數(shù)，在0.55～1范圍內(nèi)改變量綱為一化人字槽深度，在0.1～0.7范圍內(nèi)改變軸承偏心率，轉(zhuǎn)子速度為120 000 r／min，軸承長徑比為0.8，人字槽的寬長比為0.3，其他參數(shù)保持不變，計算分析后的動態(tài)特性曲線如圖12所示。其中：圖12（a）顯示了人字槽深度對主阻尼的影響，當偏心率ε＞0.2時，主阻尼幾乎隨人字槽深度的增加而線性增加。圖12（b）和（c）分別顯示了人字深度對交叉阻尼和主剛度的影響，當偏心率ε≤0.4時，交叉阻尼和主剛度均隨人字槽深度的增加而增加；當偏心率ε＞0.4時，交叉阻尼和主剛度的變化趨勢相反。圖12（d）顯示了人字槽深度對交叉剛度的影響，在相同的偏心率下，交叉剛度隨著人字槽深度的增加而增加。

3.6 狹縫寬度對動態(tài)特性的影響

為了研究不同狹縫寬度對軸承動態(tài)特性的影響，按照表1中的參數(shù)，在0.012～0.024范圍內(nèi)改變量綱為一化狹縫寬度，在0.1～0.7范圍內(nèi)改變軸承偏心率，轉(zhuǎn)子速度為120 000 r／min，軸承長徑比為0.8，人字槽的寬長比為0.3，量綱為一化人字槽深度為1，其他參數(shù)保持不變，計算分析后的動態(tài)特性曲線如圖13所示。其中：圖13（a）顯示了狹縫寬度對主阻尼的影響，在相同的偏心率下，主阻尼隨著狹縫寬度的增大，幾乎呈線性增長；圖13（b）顯示了狹縫寬度對交叉阻尼的影響，在相同的偏心比下，交叉阻尼隨著狹縫寬度的增加而減小；圖13（c）顯示了狹縫寬度對主剛度的影響，在相同偏心率下，主剛度隨著狹縫寬度的增加而增加；圖13（d）顯示狹縫寬度對交叉剛度的影響，在相同的偏心率下，交叉剛度隨著狹縫寬度的增加而增加。

4 軸承結(jié)構(gòu)優(yōu)化

根據(jù)上述計算結(jié)果，采用5因素4水平的正交實驗法和灰色理論對軸承進行優(yōu)化設(shè)計。通過優(yōu)化得到了使軸承主阻尼和主剛度最大時的軸承參數(shù)組合以及軸承參數(shù)對軸承動態(tài)特性的影響順序。

4.1 正交實驗設(shè)計

設(shè)定轉(zhuǎn)子速度n，軸承長徑比L／D，量綱為一化人字槽深度 ˉhg，人字槽寬長比b／l，量綱為一化狹縫寬度ˉZ為正交實驗的5個因素，這些參數(shù)的4個不同取值表示因素的不同4水平。正交實驗設(shè)計表L16（45）和仿真結(jié)果分別如表2、3所示。

表2 正交實驗設(shè)計表L16（45）

表3 仿真結(jié)果

4.2 灰色理論分析

利用灰色理論對正交實驗表中的數(shù)據(jù)進行了分析和計算。從分析結(jié)果可以得到軸承參數(shù)對軸承動態(tài)特性的影響順序和軸承特性最佳時的軸承參數(shù)組合。

根據(jù)主阻尼越大，主剛度越大，軸承動態(tài)特性越好的原理。表3中的數(shù)據(jù)由式（23）進行預(yù)處理，預(yù)處理結(jié)果如表4所示。

其中，φ＝0，1，…，n；n為試驗的次數(shù)；ξ＝1，2，…，m；m為數(shù)據(jù)序列參數(shù)的個數(shù)。

利用式（24）計算比較序列相對于參考序列在第φ點絕對差，計算結(jié)果如表5所示

表4 預(yù)處理結(jié)果

表5 絕對差計算結(jié)果

在正交試驗中，假設(shè)評價各因素參數(shù)水平相同，則權(quán)重因子ζ＝0.5，將該因子代入灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度計算式（25）和式（26），計算結(jié)果如表6所示。

表6 灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度值

如表6所示，序列號16的灰色關(guān)系系數(shù)最小，換言之，當轉(zhuǎn)子速度n＝10 000 r／min，軸承直徑比L／D＝0.8，量綱為一化人字槽深度＝0.85，人字槽寬長比b／l＝0.3，量綱為一化狹縫寬度＝0.016時主阻尼和主剛度最大。

根據(jù)灰色關(guān)系系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度值的計算結(jié)果，計算了不同水平各參數(shù)的平均灰色關(guān)聯(lián)度，計算結(jié)果如表7所示。最大值與最小值的差值越大代表該參數(shù)對軸承靜承載力和靜剛度的影響越顯著，通過不同參數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度差值比較得到軸承的不同因素對軸承動態(tài)特性的影響的大小順序為：軸承長徑比L／D，狹縫寬度Z，軸承轉(zhuǎn)速n，人字槽寬長比b／l和人字槽深度hg。

表7 各參數(shù)因素各水平的平均灰色關(guān)聯(lián)度

5 結(jié)論

1）在相同偏心率ε下，人字槽狹縫節(jié)流動靜壓氣體軸承的阻尼要大于普通軸承。軸承長徑比L／D，狹縫寬度Z，軸承轉(zhuǎn)速n，人字槽寬長比b／l，和人字槽深度hg等軸承參數(shù)取適當值時，可以得到軸承的最佳動態(tài)特性。

2）當轉(zhuǎn)子速度n＝10 000 r／min，軸承直徑比L／D＝0.8，量綱為一化人字槽深度＝0.85，人字槽寬長比b／l＝0.3，量綱為一化狹縫寬度＝0.016時，軸承的主阻尼和主剛度最大。軸承參數(shù)對軸承動態(tài)特性的影響順序是軸承長徑比L／D，狹縫寬度Z，軸承轉(zhuǎn)速n，人字槽寬長比b／l和人字槽深度hg。