赤道式望遠鏡的變結構PI控制

王雪峰，張 斌，王鳴浩，楊曉霞，李玉霞，吳慶林

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

根據跟蹤架結構形式的不同，光電望遠鏡可以分為赤道式、地平式、水平式等［1］。赤道式望遠鏡的最大優點是在視場上觀測目標位置沒有相對轉動，同時在觀測條件最好的天頂位置沒有盲區。由于具有上述優點，赤道式跟蹤架是光電望遠鏡設計中常采用的一種結構形式。然而，赤道式望遠鏡的缺點是赤經軸的摩擦力大且不均勻，這是因為赤經軸在鏡筒和叉臂的重力作用下產生了變形，且望遠鏡底座與赤經軸之間可能產生溫差膨脹變形。上述兩種變形都會導致赤經軸摩擦力變大［2］。

赤道式望遠鏡是一種精密觀測設備，對伺服系統的定位精度、響應速度和動態跟蹤精度等指標的要求非常高，但赤經軸上較大且不均勻的摩擦力導致上述性能指標很難實現。主要體現在動態跟蹤誤差大，速度換向時出現位置誤差尖峰，低速運行和精確定位時產生滯滑、爬行及極限環等有害特性［3-6］。要提高伺服系統的性能，必須減小或消除摩擦力的影響，為此，提出了多種摩擦力補償方法。如神經網絡補償、自適應補償、模糊補償等，但這些算法較復雜，并不適合工程應用。

光電望遠鏡伺服系統通常采用由速度環和位置環組成的雙閉環控制結構。速度環為內環，位置環為外環，控制算法主要以PID為主。PID控制是通用的控制方法，其結構簡單，易于程序實現，同時具有很好的魯棒性，可靠性高，在運動控制系統有非常廣泛的應用。但是，PID控制器的參數在控制過程中是不變的，這嚴重制約了控制性能。為此，研究人員提出了多種新型PID控制器［7-25］。按照控制理論，PID控制的微分環節對外界擾動非常敏感，因而對于光電望遠鏡而言，采用省去微分環節的PI控制器更加合適［26］。

針對赤道式望遠鏡存在的問題，結合PI控制器和變結構思想，利用雙閉環控制結構的特點，本文中設計了一種變結構PI控制器（VSPI），構造了以速度誤差為自變量的比例增益函數和以位置誤差為自變量的積分增益函數，可根據誤差的變化實時調整比例積分。VSPI控制器結構簡單，參數調節方便，經過仿真分析和實驗發現，VSPI控制器能夠減小望遠鏡赤經軸摩擦力的影響，提高伺服系統的定位精度、響應速度和動態跟蹤精度。

1 變結構PI控制器

1.1 經典PI控制器的特點

經典PI控制器的時域表達式為：

式中：u（t）是控制器的輸出；e（t）為誤差；Kp為比例增益；KI為積分增益。根據式（1），PI控制器的特點可總結為：① 誤差e（t）和誤差的積分∫e（t）dt是產生控制量u（t）的兩個基本要素；② 控制量u（t）是e（t）和的線性組合，在控制過程中，比例增益Kp和積分增益KI保持不變。大量研究成果和實際應用結果表明，PI控制器的這種線性特性制約了控制性能［25］。

分析PI控制器的特點，可以發現比例作用Kp和積分作用KI在控制過程中的作用：①KP的作用是使控制器的輸出和輸入成正比關系，是有差調節，增大KP可以減小誤差，也能夠提高響應速度，但KP不能無限增大，否則會導致系統不穩定；②KI的作用是消除穩態誤差，但會降低快速性和穩定性，在大誤差階段，積分作用很容易使系統達到積分飽和，導致出現很大的超調量，調節時間也會變長［12］。

綜合上述分析，考慮將PI控制器的參數改為實時性和非線性，以獲得更好的控制性能。

1.2 位置、速度雙閉環控制結構分析

赤道式望遠鏡伺服系統采用位置、速度雙閉環的控制結構，如圖1所示。位置回路為外環，速度回路為內環，位置回路的輸出是速度回路的輸入。

速度回路的作用是克服摩擦力矩等非線性干擾。速度回路的性能直接影響伺服系統性能。如果速度回路能夠快速、穩定地跟蹤位置回路的輸出，則伺服系統能夠達到很高的跟蹤精度。

為了提高速度回路的性能，改進經典PI控制器，通過實時調整比例和積分作用來提高控制器的性能。比例作用的調整依據是速度誤差的變化，當速度誤差較大時，增大比例增益以加快響應速度、縮短調節時間，而隨著速度誤差的減小則逐漸減小比例增益。積分的作用是減小穩態誤差，但是增強積分作用容易導致系統不穩定，因此需要限制積分作用的強度。對于雙閉環伺服系統，調整速度回路積分作用時需要考慮位置誤差的變化。速度回路要跟蹤位置輸出，必須克服摩擦力矩等干擾因素，而由文獻［12］可知，加強速度回路的積分作用能夠減小摩擦力矩的影響。依據控制原理，伺服系統對位置輸入的響應過程可分為動態過程和穩態過程。在動態過程中，位置誤差大，速度也較大，摩擦力對速度回路的影響相對小一些，速度回路需要快速響應以盡快減小位置誤差，此時速度控制應以比例控制為主，而積分作用不宜太強，這樣既能快速響應，又能避免控制器飽和，可獲得良好的動態性能。當位置響應進入穩態過程后，由于受到摩擦力矩的影響，速度回路對位置回路輸出信號的跟蹤能力減弱，速度回路的響應變慢，這會使穩態位置誤差變大，并可能導致極限環振蕩。此時，應加強速度回路的積分作用，減小摩擦力矩的干擾，從而提高位置跟蹤精度。

1.3 基于誤差函數的變結構PI控制器

設計一種變結構PI控制器（VSPI）并用于赤道式望遠鏡的速度回路，VSPI的結構如圖2所示。

VSPI的比例增益KP是速度誤差的函數，而積分增益KI是位置誤差ep的函數。ep、ev是伺服系統的實時速度誤差和位置誤差，KP、KI的變化規則如式（2）（3）所示。

式中：KP、KP0、KP1、c0、KI、KI0、c1、KI1、ep0均為正實常數。

比例增益KP的調整依據是ev的變化。當ev＝0時，KP取最小值為KP0；當ev→ ±∞時，KP取最大值為KP0+KP1。KP的變化趨勢與誤差的變化趨勢相同。調整c0的大小可調整KP變化的速率，圖3為KP隨ev的變化曲線。變化的比例增益既能提高響應速度、減小超調量，也能保證穩定性。

積分增益KI的調整依據是ep的變化，通過函數f（ep）動態地調整KI。式（2）為f（ep）的變化規則，圖4所示為f（ep）的變化曲線。ep0用于界定動態過程和穩態過程。當時，伺服系統的響應處于動態過程，f（ep）的值恒為1，KI取最小值KI0，積分作用保持不變；當時，響應進入穩態過程，f（ep）＞1，通過f（ep）對KI進行動態放大，從而動態地加強積分作用，減小摩擦力矩的影響，進而提高速度回路對位置回路輸出的跟蹤能力。f（ep）的值隨著ep的減小而逐漸變大，當ep＝0時f（ep）取最大值，此時積分作用最強。

2 仿真研究

為了驗證VSPI算法的有效性，仿真分析等效正弦跟蹤過程。仿真時采用某赤道式望遠鏡赤經軸的實測模型作為控制對象，模型的傳遞函數為：

仿真模型的結構如圖5所示，在位置回路采用雙超前-滯后校正，速度回路分別采用PI、VSPI控制器。

位置回路控制器傳遞函數為

PI控制器的參數根據文獻［27］確定，望遠鏡模型的機械時間常數Tm＝1.12 s，電氣時間常數Te＝0.006 s，增益K＝0.85。根據內模PID原理，比例增益KP＝Tm／Kλ，積分增益KI＝1／Kλ，其中λ值越小越有利于動態性能，λ值越大則越有利于增強魯棒性。取 λ＝0.05附近，再對KP、KI適當調整，最后得到KP＝28、KI＝20.21。

VSPI控制器的參數與PI控制器的參數有一定關聯，VSPI參數的確定原則為：KP0值約為KP的0.5～0.6倍，KP0與KP1二者之和同KP相當；KI0約為KI的0.5～0.6倍，KI1取值范圍是20～40，c0、c1的取值范圍是15～30，ep0、ev0的取值要盡量小一些。根據以上原則，最后選取KP0＝15.02，KP1＝12，c0＝18，KI0＝10.43，KI1＝30，c1＝25，ep0＝0.02°，ev0＝0.1（°）／s。

圖6、7所示為仿真得到的等效正弦跟蹤位置誤差曲線，圖7是圖6的局部放大圖。圖6、7中位置誤差曲線的尖峰產生在速度換向階段，此時摩擦力對動態跟蹤精度的影響最大。表1表示PI、VSPI仿真結果，仿真結果表明：采用VSPI算法的誤差明顯小于采用PI算法的誤差，VSPI算法能夠提高伺服系統的動態跟蹤精度。

表1 兩種控制算法的仿真結果

3 實驗與結果

為了進一步驗證VSPI算法性能，在某赤道式望遠鏡赤經軸上進行實驗，該赤經軸由直流力矩電機驅動。赤道式望遠鏡結構如圖8所示，轉動慣量約為1 050 kg·m2，控制系統選用文獻［28］所設計的通用集成伺服控制系統。如圖9所示，該伺服控制器系統由1個配電模塊、2個大功率開關電源、1個雙軸電機驅動器、1個伺服控制器組成。配電模塊的作用是為開關電源、雙軸功率驅動器、伺服控制器供電。2個開關電源作為雙軸電機驅動器的功率電源，每個開關電源的功率可達2 800 W。雙軸功率驅動器可獨立驅動2臺直流力矩電機。伺服控制器由PC／104 CPU模塊（SCM／LX-3072，主頻500 MHz）和接口電路板組成，伺服控制器的功能是接收編碼器數據和主控計算機的控制命令，進行位置閉環、速度閉環校正運算，輸出PWM給電機驅動器，最終實現對電機的精確控制。赤經軸的位置反饋由圓光柵提供，圓光柵的角分辨率為0.032 4″，速度反饋由位置反饋數據差分獲得，系統的閉環校正頻率為500 Hz。位置環采用超前-滯后校正，速度環分別采用PI和VSPI算法，PI、VSPI算法的參數與仿真設置相同。

3.1 位置定位實驗

圖10、11是采用PI算法得到的1°位置階躍響應誤差曲線，圖12、13是采用VSPI算法得到的1°位置階躍響應誤差曲線。表2是1°位置階躍實驗數據。計算表2中的穩態誤差（RMS）時，選取的數據源是進入穩態后25 s內的穩態誤差數據。從實驗結果可以看出：采用PI算法時，過渡時間為0.68 s，位置階躍穩態階段存在穩態極限環振蕩，穩態誤差為0.62″，并且經過60 s仍無法達到穩定狀態；而采用VSPI算法后，過渡時間為0.59 s，消除了極限環，系統可以快速穩定，穩態誤差僅為0.13″。

表2 1°位置階躍實驗結果

3.2 等效正弦響應實驗

為了測試赤經軸的動態跟蹤精度，通過等效正弦信號r（t）＝64sin（0.125t）°對系統進行測試。該信號的最大等效速度為8（°）／s，最大等效加速度為1（°）／s2。圖14、15分別給出了采用PI、VSPI算法時的等效正弦響應曲線，表3是等效正弦實驗數據。

表3 等效正弦實驗結果

等效正弦實驗數據表明：采用VSPI算法后，最大正向誤差減小了37.2%，最大負向誤差減小了44.9%，穩態誤差減小了37.7%，VSPI算法能夠顯著提高動態跟蹤精度。

4 結論

針對赤道式望遠鏡伺服系統跟蹤精度高、定位響應快的要求，結合經典PI控制器原理和變結構思想，提出了VSPI控制器。基于雙閉環控制結構將經典PI、VSPI兩種算法分別運用在速度回路進行仿真，最后在某赤道式望遠鏡赤經軸上進行位置定位和等效正弦跟蹤實驗。實驗數據表明：采用VSPI算法后，赤道式望遠鏡的1°位置階躍過渡時間由0.68 s縮短至0.59 s，位置階躍穩態誤差由0.62″減小到0.13″，等效正弦跟蹤誤差由3″減小到1.87″，各項控制指標滿足赤道式望遠鏡的要求。VSPI算法可成功應用到赤道式望遠鏡伺服系統中。