基于模型預(yù)測(cè)的無人車路徑跟蹤優(yōu)化控制

吳施鵬，劉冉冉，顏海彬，臧傳濤

（江蘇理工學(xué)院 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 常州 213000）

路徑跟隨是實(shí)現(xiàn)汽車自動(dòng)駕駛的關(guān)鍵技術(shù)，其目的是控制汽車準(zhǔn)確地跟隨目標(biāo)路徑［1］。目前已有多種路徑跟蹤算法用于智能車輛的轉(zhuǎn)向控制［2］。應(yīng)用較多的有純點(diǎn)追蹤算法［3］、線性二次型調(diào)節(jié)器跟蹤控制器［4］、嵌套式PID控制算法［5］以及預(yù)瞄跟蹤最優(yōu)控制等［6］。然而，在現(xiàn)實(shí)控制中這些算法存在忽略行駛時(shí)車輛動(dòng)力學(xué)約束的問題，而模型預(yù)測(cè)控制以準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型作為預(yù)測(cè)模型，在控制時(shí)加入約束條件，具有提高控制器對(duì)車輛未來行為的預(yù)測(cè)能力的優(yōu)勢(shì)［7］。所以，本文中選用模型預(yù)測(cè)控制方法。

模型預(yù)測(cè)控制在實(shí)現(xiàn)過程中有模型預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正3個(gè)關(guān)鍵步驟［8］。模型預(yù)測(cè)控制最明顯的優(yōu)點(diǎn)是能在控制過程中增加多種約束。無人車輛在低速時(shí)，車輛平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束影響較大，而隨著速度的增加，動(dòng)力學(xué)特性對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與控制的影響就越明顯，帶來多種模式的約束，這正是模型預(yù)測(cè)控制在無人車輛運(yùn)動(dòng)規(guī)劃控制方面的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)［9］。國(guó)外的Falcone等［10］在線性車輛模型基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了MPC控制器并將其用于路徑跟蹤系統(tǒng)，實(shí)車上對(duì)控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證。Abbas等［11］在非線性車輛模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)MPC控制器，綜合考慮了路徑跟蹤過程中輪胎的側(cè)偏角約束，但是存在實(shí)時(shí)性較差的問題，且對(duì)系統(tǒng)的硬件設(shè)備要求較高。Sara Mata等［12］提出了一種基于預(yù)測(cè)模型和保證穩(wěn)定性的MPC路徑跟蹤控制器。該方法優(yōu)化了橫向位移和偏航角，提供了更精確的路徑跟蹤。J Ji等［13］在MPC方法中，以約束條件下的成本最小化為優(yōu)化問題，輸入側(cè)向位置、橫擺角速度、側(cè)滑角和方向盤轉(zhuǎn)角等約束來提高高速下的車輛穩(wěn)定性。Garcia O等［14］提出了一種利用MPC設(shè)計(jì)和仿真路徑跟蹤控制的方法，控制器的設(shè)計(jì)模型基于車輛的單一跟蹤模型和由卡爾曼濾波器觀測(cè)狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)向模型。Arun等［15］提出了一種基于MPC的自動(dòng)駕駛控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用圖形處理單元，提高了計(jì)算速度和系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。武漢理工大學(xué)的張嚴(yán)等［16］建立了縱向、橫向和橫擺的3自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型，確定目標(biāo)函數(shù)并加入約束條件，利用遺傳算法對(duì)模型預(yù)測(cè)控制器的預(yù)測(cè)時(shí)域、控制時(shí)域進(jìn)行優(yōu)化。但在較高車速和較大道路彎曲曲率的路徑下仍然有較大的偏差量。北京工業(yè)大學(xué)的段建民等［17］通過改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)、增加輪胎側(cè)偏角動(dòng)力學(xué)約束，以車輛動(dòng)力學(xué)模型作為模型預(yù)測(cè)控制的預(yù)測(cè)模型，提出了一種改進(jìn)的智能汽車目標(biāo)路徑跟蹤方法，但其在高速情況下仍然會(huì)出現(xiàn)較大的側(cè)滑，導(dǎo)致跟蹤出現(xiàn)偏差。遼寧工業(yè)大學(xué)的李金良等［18］驗(yàn)證了線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制算法在低速下的路徑跟蹤效果，說明這個(gè)方法在低速下軌跡跟蹤有較好的實(shí)時(shí)性以及行駛穩(wěn)定性，但是沒有驗(yàn)證這種控制算法在高速下的路徑跟蹤效果。雖然現(xiàn)在模型預(yù)測(cè)控制有著比較成熟的理論，但是其在低路面附著系數(shù)和高速工況下的軌跡跟蹤效果并不理想。

為了解決上述問題，提高模型預(yù)測(cè)控制器在各種工況下的跟蹤性能和行駛穩(wěn)定性。通過建立2自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)置模型預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而對(duì)建立的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，利用遺傳算法優(yōu)化控制器參數(shù)來提高車輛的跟蹤精度，最后在控制器中加入前輪側(cè)偏角軟約束，既保證了車輛在高速工況下的跟蹤精度，又保證了車輛的行駛穩(wěn)定性。

1 車輛動(dòng)力學(xué)建模

1.1 車輛2自由度單軌模型

本文中建立整車動(dòng)力學(xué)模型，研究路徑跟蹤的魯棒性和實(shí)時(shí)性，重點(diǎn)考慮車輛縱向、橫向以及車輛橫擺動(dòng)力學(xué)特性［19］。為了簡(jiǎn)化模型的復(fù)雜程度，以減小計(jì)算量，假設(shè)汽車在平坦的路面上行駛，忽略車輛垂向運(yùn)動(dòng)和懸架運(yùn)動(dòng)，不考慮車輛載荷左右轉(zhuǎn)移［20］。據(jù)此建立的2自由度車輛動(dòng)力學(xué)單軌模型如圖1所示。

根據(jù)圖1可以得到以下的關(guān)系：

建立車輛的受力平衡方程：

式中：X、Y為質(zhì)心橫縱坐標(biāo)值；x、y為質(zhì)心縱橫向位移；a、b為前后軸至質(zhì)心的距離；m為整車質(zhì)量；Fyf、Fyr、Fxf、Fxr分別為前后輪所受的橫縱向力；φ為車輛航向角；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

車輛的輪胎在x、y方向所受到的力為：

式中：Fxf、Fxr為輪胎在x方向所受到的力；Fyf、Fyr為輪胎在y方向所受到的力；Flf、Flr為輪胎所受縱向力；Fcf、Fcr為輪胎所受橫向力；δf、δr分別為前后輪轉(zhuǎn)角。

1.2 輪胎模型

車輛在側(cè)偏角和側(cè)向滑移率較小的情況下輪胎力可以用線性函數(shù)來表示［21］。輪胎的縱側(cè)向力通過下式來計(jì)算：

式中：F1為輪胎縱向力；Fc為輪胎側(cè)向力；C1為輪胎縱向剛度；Cc為輪胎側(cè)偏剛度；s為輪胎滑移率；α為輪胎側(cè)偏角。

輪胎前后側(cè)偏角為：

可以得到車輛的前后側(cè)向力和縱向力：

式中：Ccf、Ccr為前、后輪側(cè)偏剛度；C1f、C1r為前后輪胎縱向剛度；Sf、Sr分別為前后輪胎縱向滑移率。

可以得到車輛在前輪偏角很小的狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)模型：

2 MPC控制算法設(shè)計(jì)

2.1 預(yù)測(cè)模型建立

式（7）為建立的非線性動(dòng)力學(xué)模型，但其不能直接用于線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制，因此需要對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。

參考系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)量與其在某一時(shí)刻的狀態(tài)量及控制量有關(guān)，在此將其表示為：

泰勒公式的形式為：

此處忽略泰勒公式的高階項(xiàng)，只保留其一階項(xiàng)，可以得到：

將式（10）和式（8）相減得到：

簡(jiǎn)化其線性時(shí)變方程為：

上述所建立的線性化模型為：

設(shè)模型預(yù)測(cè)控制中的2個(gè)時(shí)域參數(shù)為Np，Nc，則控制器能夠預(yù)測(cè)到系統(tǒng)的狀態(tài)量為：

2.2 預(yù)測(cè)模型求解

在車輛高速行駛時(shí)易產(chǎn)生控制量突變的情況，使跟蹤軌跡完全偏離目標(biāo)軌跡，因此，在目標(biāo)函數(shù)中加入松弛系數(shù)來解決此問題，故采用如下形式設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)控制器的目標(biāo)函數(shù)［22］：

式中：η（t+i｜t）為系統(tǒng)的實(shí)際輸出軌跡；ηr（t+i｜t）為系統(tǒng)的參考輸出軌跡；Δu（t+i｜t）為控制量的變化；Q、R為權(quán)重矩陣；Np為預(yù)測(cè)步長(zhǎng)；Nc為控制步長(zhǎng)；ρ為權(quán)重系數(shù)；ε為松弛因子，當(dāng)跟蹤誤差較小時(shí)取較大值，跟蹤誤差較大時(shí)取較小值。

式（16）中的第1項(xiàng)表明設(shè)置參考路徑后的車輛跟蹤效果，第2項(xiàng)表明控制量的變化平穩(wěn)性，第3項(xiàng)加入松弛系數(shù)，來對(duì)約束范圍進(jìn)行調(diào)節(jié)，防止該方程無法在硬性約束下求得最優(yōu)解。

因此，模型預(yù)測(cè)控制器需要求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，以得到最優(yōu)解，即：

在每個(gè)控制步長(zhǎng)中，需要對(duì)系統(tǒng)的控制量進(jìn)行約束。

控制量約束：

式中，k＝0，1，…，Nc-1。

控制增量約束：

式中，k＝0，1，…，Nc-1。

綜合考慮目標(biāo)函數(shù)和約束條件后，需要在每個(gè)周期內(nèi)解決以下優(yōu)化問題：

式中：ΔUmax、ΔUmin為控制增量最大值和最小值。αmax、αmin為軟約束輸出最大值和最小值。

2.3 反饋校正機(jī)制

對(duì)上述問題進(jìn)行求解可獲得每個(gè)時(shí)域內(nèi)的控制增量。將每個(gè)時(shí)域內(nèi)的控制增量表示為：

因此，系統(tǒng)實(shí)際接收到的輸入量為：

不斷地循環(huán)進(jìn)行這樣一個(gè)過程，就可以讓控制器實(shí)時(shí)地跟蹤到目標(biāo)軌跡。其控制原理如圖2所示。

3 控制器優(yōu)化

3.1 遺傳算法優(yōu)化

由于模型預(yù)測(cè)控制器中時(shí)域參數(shù)Np和Nc的取值能夠大大影響無人駕駛車輛的路徑跟蹤性能，為了能夠獲得最優(yōu)的時(shí)域參數(shù)，本文中通過遺傳算法對(duì)時(shí)域參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。遺傳算法是一種成熟的優(yōu)化算法，其利用適應(yīng)度函數(shù)來判斷解的好壞。

采用如下的遺傳算法步驟對(duì)時(shí)域參數(shù)Np和Nc進(jìn)行優(yōu)化：① 初始化種群，生成N個(gè)個(gè)體的初始基因；②選用適應(yīng)度函數(shù)來評(píng)估種群個(gè)體適應(yīng)度，計(jì)算出個(gè)體的適應(yīng)度值；③選出適應(yīng)力強(qiáng)的個(gè)體進(jìn)行遺傳和交叉，生成新的個(gè)體。遺傳算法會(huì)隨機(jī)地選擇少數(shù)個(gè)體進(jìn)行變異操作，以避免優(yōu)化結(jié)果陷入局部最優(yōu)［23］。本文中根據(jù)文獻(xiàn)［24］，設(shè)置遺傳算法的種群大小為50，終止進(jìn)化次數(shù)為20，交叉概率為0.6，變異概率為0.1。設(shè)置優(yōu)化變量為系統(tǒng)的時(shí)域參數(shù)Np、Nc。時(shí)域參數(shù)的優(yōu)化原理如圖3所示。

因?yàn)橄到y(tǒng)的橫縱向偏差屬于不同數(shù)量級(jí)，因此將其量綱為一化處理：

將橫縱向偏差進(jìn)行加權(quán)組合：

式中：σ為權(quán)重系數(shù)，取值范圍為（0，1），本文中取σ＝0.7。

時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分（ITAE）性能指標(biāo)是一種具有很好的工程實(shí)用性和選擇性的控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)［25］。因此本文中的適應(yīng)度函數(shù)選用ITAE指標(biāo)：

由于考慮到模型預(yù)測(cè)控制器中的預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域必須為整數(shù)，因此在遺傳算法中隨機(jī)初始化種群時(shí)加入round函數(shù)讓種群變?yōu)檎麛?shù)，避免遺傳算法無法尋找到最優(yōu)解的情況，再輸入到模型預(yù)測(cè)控制器中。在Simulink下建立模型，如圖4所示。

3.2 前輪側(cè)偏角約束優(yōu)化

需要將前輪側(cè)偏角控制在合適的范圍內(nèi)，來保證輪胎的側(cè)偏角和側(cè)偏力呈線性關(guān)系。本文中研究在低附著系數(shù)和較高行駛車速工況下的路徑跟蹤，側(cè)偏角對(duì)路徑跟蹤性能有較大的影響，所以將前輪側(cè)偏角軟約束的范圍設(shè)置為-2.82°≤α≤2.82°。

本文中設(shè)置的系統(tǒng)控制量為前輪轉(zhuǎn)角，其變化范圍對(duì)路徑的跟蹤效果有較大影響，因此需要約束前輪轉(zhuǎn)角及其變化范圍，設(shè)置其范圍為：

4 仿真結(jié)果

選用文獻(xiàn)［9］中傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制的無人駕駛車輛基本參數(shù)，在Carsim車輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件中車輛的基本參數(shù)見表1。控制器部分仿真參數(shù)見表2。

表1 動(dòng)力學(xué)模型基本參數(shù)

表2 控制器部分仿真參數(shù)

采用Carsim和Matlab／Simulink進(jìn)行聯(lián)合仿真，設(shè)定的參考軌跡為雙移線路徑，在附著系數(shù)為0.4和0.85的路面進(jìn)行仿真，分別對(duì)比50 km／h和100 km／h車速下傳統(tǒng)MPC、經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后的MPC以及加入前輪側(cè)偏角軟約束后的路徑跟蹤效果。

無人駕駛車輛在 μ＝0.85、v＝50 km／h下的仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，在附著系數(shù)為0.85、車速為50 km／h下的3種控制器均具有較高的控制精度。經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后的控制器路徑跟蹤誤差略微低于傳統(tǒng)MPC，其路徑跟蹤精度稍微好于傳統(tǒng)MPC。相比于文獻(xiàn)［16］中僅通過遺傳算法優(yōu)化的方法，本文中加入前輪側(cè)偏角約束，其路徑跟蹤誤差和橫擺角更大一點(diǎn)但差別很小，這說明3種控制器的橫擺角相差不大，在高附著中速情況下3種控制模式的行駛穩(wěn)定性很接近，路徑跟蹤性能變化不大。

無人駕駛車輛在 μ＝0.4、v＝50 km／h下的仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，在附著系數(shù)為0.4、車速為50 km／h的情況下，經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后的路徑跟蹤精度更高一些，但其在行駛到90 m處車輛出現(xiàn)短暫的波動(dòng)，隨后可以調(diào)整過來繼續(xù)跟蹤到路徑。相比于文獻(xiàn)［16］中僅通過遺傳算法優(yōu)化的方法，本文中加入前輪側(cè)偏角約束，其路徑跟蹤誤差與文獻(xiàn)［16］方法下的路徑跟蹤誤差差別不大，但其橫擺角并未產(chǎn)生波動(dòng)。這也說明后2個(gè)控制器的路徑跟蹤誤差要好于傳統(tǒng)的MPC，而加入了前輪側(cè)偏角約束后的車輛的行駛穩(wěn)定性要高于傳統(tǒng)MPC和加入遺傳算法后的MPC。

無人駕駛車輛在 μ＝0.85、v＝100 km／h下的仿真結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，在μ＝0.85、v＝100 km／h的工況下，傳統(tǒng)MPC控制最開始能跟蹤到參考軌跡，但在90 m之后出現(xiàn)了遠(yuǎn)離參考軌跡的情況，并在100 m之后出現(xiàn)波動(dòng)，控制器輕微失穩(wěn)，可以知道傳統(tǒng)的MPC在高附著高速的路面狀況下的軌跡跟蹤效果并不好。而遺傳算法優(yōu)化后在一定程度上軌跡跟蹤的誤差減小，在前100 m處能夠較好地跟蹤到軌跡，但在125 m之后出現(xiàn)了控制器失控的現(xiàn)象，無法很好地跟蹤到軌跡。再加入前輪側(cè)偏角約束之后可以看出，無人駕駛車輛在前90 m處的運(yùn)行很平穩(wěn)，而且對(duì)參考軌跡具有一定的跟蹤能力，尤其是在90 m之后，無人駕駛車輛對(duì)參考軌跡的跟蹤誤差越來越小，最終可以完全跟蹤到參考軌跡。并且加入了前輪側(cè)偏角約束控制下的車輛橫擺角波動(dòng)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于前2個(gè)控制器下的車輛橫擺角。相比于文獻(xiàn)［16］中僅通過遺傳算法優(yōu)化的方法，本文中加入前輪側(cè)偏角約束后的路徑跟蹤誤差和橫擺角都要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)［16］方法下的路徑跟蹤誤差和橫擺角，這說明在高附著系數(shù)高速下加入前輪側(cè)偏角約束控制器的行駛穩(wěn)定性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)MPC和加入遺傳算法優(yōu)化后的控制器。

無人駕駛車輛在 μ＝0.4、v＝100 km／h下的仿真結(jié)果如圖8所示。

可以看出，μ＝0.4、v＝100 km／h的工況下，傳統(tǒng)MPC無法跟蹤到路徑，控制器完全失控，傳統(tǒng)MPC在低附著和較高速度下對(duì)參考軌跡沒有跟蹤能力。經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后的無人駕駛車輛在前60 m處對(duì)軌跡具備一定的跟蹤性能，但在80 m處出現(xiàn)了無人駕駛車輛無限偏向一方的情況，控制器在前期對(duì)參考軌跡還具有一定的跟蹤能力，但在后期已經(jīng)無法跟蹤到參考軌跡。相比于文獻(xiàn)［16］中僅通過遺傳算法優(yōu)化的方法，本文中加入前輪側(cè)偏角約束，無人駕駛車輛可以較好地跟蹤到軌跡，控制器并沒有出現(xiàn)失穩(wěn)的情況，橫擺角的變化較為平穩(wěn)，也說明附著系數(shù)較低的路面高速行駛時(shí)加入前輪側(cè)偏角優(yōu)化后控制的車輛的行駛穩(wěn)定性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)MPC算法和加入遺傳算法優(yōu)化后的車輛。

5 結(jié)論

為了解決無人駕駛車輛在低附著系數(shù)和高速工況下路徑跟蹤效果和行駛穩(wěn)定性差的問題，本文中提出了一種基于模型預(yù)測(cè)的無人車路徑跟蹤優(yōu)化控制方法。在高附著系數(shù)和中速的工況下利用遺傳算法尋找出控制器的最優(yōu)時(shí)域參數(shù)來減小無人駕駛車輛的路徑跟蹤誤差，再在低附著系數(shù)和高速的工況下利用遺傳算法和加入前輪側(cè)偏角軟約束來提升無人駕駛車輛的跟蹤性能，通過Carsim和Matlab／Simulink進(jìn)行聯(lián)合仿真。仿真結(jié)果表明：在高路面附著系數(shù)和中速的工況下，利用遺傳算法可以減小路徑跟蹤誤差，提高車輛的行駛穩(wěn)定性。在低路面附著系數(shù)或者高速的工況下，聯(lián)合應(yīng)用遺傳算法和前輪側(cè)偏角約束能夠大大減小無人駕駛車輛的路徑跟蹤誤差，提高行駛穩(wěn)定性，控制器具有較高的路徑跟蹤精度。車輛在低附著系數(shù)下高速行駛時(shí)能夠保持一定的跟蹤精度，并同樣可以保證一定的行駛穩(wěn)定性。本文中方法可以拓展應(yīng)用到對(duì)無人駕駛系統(tǒng)權(quán)重矩陣優(yōu)化和對(duì)后輪轉(zhuǎn)角控制算法設(shè)計(jì)方面。但對(duì)于實(shí)際的車輛系統(tǒng)，其參數(shù)是非線性變化的，并且變量信息不一定能夠?qū)崟r(shí)獲取，可以在后續(xù)研究中采用非線性模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)，并且考慮系統(tǒng)的時(shí)滯對(duì)跟蹤效果的影響。