問題驅動式教學法在“線性代數”教學中的應用探析

李艷艷

（文山學院 人工智能學院, 云南 文山 663099）

線性代數的理論和方法在現代工程科學，社會科學研究中具有非常廣泛的應用，而且它是理工科專業的一門專業必修課和基礎理論課。通過該門課程的學習，可以培養學生用線性代數的方法分析問題和解決問題的能力。

在傳統的線性代數課堂教學中，涉及的概念、性質、定理等問題采取的引入方式基本是單刀直入，或是用數學問題引出數學問題，很少有用鮮活的現實生活問題作為切入點，這就導致了學生對本已高度抽象的、枯燥的線性代數學習望而卻步。有些學生也常常發出，學習線性代數到底有什么用？能解決什么問題？這些困惑使學生的學習積極性不高，學習效果不理想。

為了解決學生學習線性代數的困惑、掌握該門課程的應用價值，文獻[1-4]對線性代數的教學進行了許多研究。

本文重點研究問題驅動式教學法在該門課程中的應用，例舉向量組的線性表示部分的案例—混凝土調配問題。通過案例吸引學生，以問題驅動學生思考，從而將重點內容突出、難點突破。在激發學生學習興趣的同時，也提高了學生使用線性代數的思想方法解決實際問題的能力。

1 問題驅動式教學法的應用探析——以向量組的線性表示為例

向量組的線性表示是同濟大學數學系編寫的“線性代數”第六版第三章第二節內容，概念多，抽象性高是這節的主要特點。

本部分設計了與工程管理專業相關度高的混凝土調配問題，引導學生在解決問題的過程中，透徹的掌握數學概念和定理的本質。

1.1 問題給出

一個混凝土生產企業甲可以生產出三種型號不同的混凝土，他們具體的配方比例如表1 所示：

表1 甲生產三種型號混凝土的配方比例

問：現在有用戶要求混凝土中含水，水泥，沙子，石頭，煤炭灰的比例分別為：24，52，73，133，12，那么，能否用這三種混凝土配出滿足其要求的混凝土？

在教學中可以提出如下問題：

每種型號的混凝土和客戶需要的混凝土可以怎么表示？他們之間的關系如何建立？

1.2 關系建立

首先將三種型號的混凝土分別表示為

然后根據上述提問中的數據和向量的表示方法，將客戶需要的混凝土表示為

則客戶要求的混凝土能否被這三種型號配出的問題，就轉化成了

簡記為：b1= k1α1+ k2α2+ k3α3。

由該問題的解決過程，順利的引出線性表示的概念：

定義2.1[5]給定n 維向量組α1, α2,…, αn和一個n 維向量β，如果存在一組數k1, k2,…, kn，使得

則稱向量β 可由向量組α1, α2,…, αn線性表示，或者說向量β 是向量組α1, α2,…, αn的一個線性組合.

繼續提出如下問題：

以上表達式中的k1, k2, k3是否存在？如何判斷？如何求解？

通過提問和引導，學生們發現這是線性方程組，解決方法是高斯消元法，具體做法是對增廣矩陣做初等行變換。

由此得到結果，剛才用戶的需求能滿足，所用型號1 ～3 三種混凝土的比例為：0.6∶0.8∶1。

1.3 問題的提升

把這個問題處理完后，將問題提升。還有一個混凝土生產企業乙，也可以生產出三種不同型號的混凝土，他們具體的配方表如下表所示：

表 2 乙生產三種型號混凝土的配方比例

分析，第二家生產的這三種混凝土是否可以代替第一家企業的那三種？

則該問題轉換為向量組α1, α2, α3能否被向量組γ1, γ2, γ3線性表出的問題。

在教學中可以提出如下問題：

向量組α1, α2, α3能否被向量組γ1, γ2, γ3線性表出的意思是什么？該如何解決？

分 別 對矩 陣(γ1, γ2, γ3, α1)，(γ1, γ2, γ3, α2)，(γ1, γ2, γ3, α3)進行初等行變換化為階梯形矩陣。

由此看出向量α1, α2, α3都能被向量組γ1, γ2, γ3線性表出。

所以乙生產的混凝土可以代替甲生產的混凝土。

并且還看到上面的三個矩陣可以合為一個：

通過解決這個問題，引出向量組A 能被向量組B 線性表示的充要條件。

定理2.1[5]向量組B：b1, b2, … , bl能由向量組A: α1, α2, α3, αm線性表示的充要條件是矩陣(α1, α2, …, αm)的秩等于矩陣(α1, α2, …, αm, b1, b2, … , bl)的秩。

至此，通過解決客戶對混凝土的需求問題，在層層遞進的問題逐步深入解決的過程中，不僅使學生掌握了線性代數如何用，而且順利的解決了抽象性極高的向量組的線性表示問題。

2 總結

本文以向量組的線性表示為例，通過選用專業相關度高的混凝土調配案例，使用問題驅動式教學法，順利地在理解的基礎上引出定義、定理，而且重點掌握了線性代數思想方法的應用。

問題驅動式教學法，進一步體現了學生是課堂的主體，教師是課堂的設計者和引導者，把課堂的主要完成人交給學生。該教學法給原本枯燥乏味的數學課堂注入了活力，使學生覺得數學離自己的生活是那樣近，在提高學生數學學習主動性的同時，也學會了用數學的眼光看待并解決問題。