三維穩定滲流的非線性復合單元高斯點求解分析

張曉旭

(齊齊哈爾市龍沙區農業綜合服務中心，黑龍江 齊齊哈爾 161000)

1 緒 論

土石壩滲流、壩基滲流、邊坡滲流等地下水運動現象都是滲流的非線性問題，其本質為滲流自由面隨外界環境因素的不斷改變，造成相應的滲流場變動。要對滲流的非線性問題進行正確求解，重點在于滲流邊界的確定，在數學迭代穩定的同時準確快捷的找出滲流自由面[1]。中國近年來滲流非線性問題理論成果眾多，有限單元法、網格法、飽和方法等，該問題在實際運用中得到實質解決。

2 三維穩定滲流場數學模型[2]

三維穩定滲流場的模型原理表達式為：

(1)

式中：Ω為滲流區域；H(x，y，z)為水頭分布函數；Γ1為第一類邊界；Γ2為第二類邊界；Γ3為滲流自由面邊界。

三維問題將計算域離散單元變換可得空間8結點等參元。坐標變換關系式如下：

(2)

單元插值函數為：

(3)

三維八節點等參元示意圖，見圖1。

3 算例分析

3.1 算例1

3.1.1 計算過程

該算例簡化一土石壩為三維均質各向同性壩，壩寬10m，上、下游水為10m和2m。壩型簡易圖，見圖2；有限元網格劃分圖，見圖3。

邊界條件：AE為固定邊界，Y向流量為零[3]。

圖1 三維8結點等參元

圖2 壩型簡易圖

圖3 有限元網格劃分圖

迭代15次后，計算得出橫向1m的典型斷面溢出點高程為4.53m。滲流自由面位置的結果比較，見表1；滲流自由面，見圖4；水頭計算結果，見圖5；單元中心位置流速矢量結果見圖6。

表1 滲流自由面位置的結果比較

圖4 滲流自由面

圖5 水頭計算結果示意圖

圖6 單元中心位置流速矢量圖

由表中結果可得，3種計算方法的滲流自由面保持一致，溢出點位置基本重合。雖溢出點位置的自由面出現局部偏差，總體結果和實測值相差較小，驗證李自編程序計算非線性復合單元高斯點法是合理的。

3.1.2 穩定性分析

復合單元高斯點法早迭代時穩定性較差，局部滲流面區域出現震蕩，分析該震蕩產生機理表現[4]，震蕩現象出現原因示意圖，見圖7。

圖7 震蕩現象出現原因示意圖

由圖可得，在圖1中的復合單元所有高斯積分點的水頭值大于橫向變形值，見圖(a)，該單元存在部分非飽和區，其不再是復合單元，結果中結點實際增加3結點的單元滲透矩陣作用，造成計算結果和實際相差較大。在圖2中，若單元高斯積分點的水頭值均小于橫向值，該單元因存在部分飽和區，也不是復合單元，結果中易忽略1結點的單元滲透矩陣作用，同樣不符合實際。在圖3中，自由面在高斯積分點在滲流自由面的細小改變，積分值均會產生較大改變。

3.2 算例2

本算例在上節計算程序的基礎上做出變動，目的是為實現高斯點加密后的單元功能，更好體現復合單元高斯點模擬效果，增加各坐標軸的高斯點至18個[5]，計算可得加密后的滲流自由面位置。高斯點加密前后的的滲流自由面，見圖8。

圖8 高斯點加密前后的的滲流自由面

由圖可知，當高斯點數目為10個，滲流自由面的局部較大偏差顯著減少，當高斯點數目為18個，滲流自由面已趨于穩定，未發生改變，表明在本算例的有限元網格劃分基礎下，復合單元高斯點法的求解已穩定，通過加密高斯點可有效提高滲流自由面的穩定性，其數值解亦能最大程度得到穩定。

4 結 論

文章在三維穩定滲流原理和數學模型基礎上，結合工程算例建立有限元模型，基于復合單元高斯點法求解連續介質滲流非線性問題，對比不同高斯點數目下的滲流面位置穩定性，形成高斯點法求解滲流非線性的穩定性探討，對比計算值和實測值，驗證自編有限元程序的合理可行性。