數(shù)學(xué)建模計(jì)算空間路徑的方法在爬電距離和電氣間隙測(cè)量中的應(yīng)用

汪奕帆 馮秉佑

（嘉興威凱檢測(cè)技術(shù)有限公司 嘉興 314000）

引言

在電器產(chǎn)業(yè)不斷發(fā)展的現(xiàn)階段，各類產(chǎn)品的安全性能已經(jīng)被越來越多的人所重視，而不同產(chǎn)品的多樣性和獨(dú)特性，又使得確定并測(cè)量爬電距離和電氣間隙的“最短”路徑，變得尤為困難。本文以實(shí)際樣品來舉例，分享一種需要空間橋接的復(fù)雜爬電距離問題的解決方案。

1 案例分析

由于爬電距離和電氣間隙不符合標(biāo)準(zhǔn)要求而發(fā)生的安全事故屢見不鮮，其中最為著名的要數(shù)2016年三星手機(jī)著火事件，據(jù)公開調(diào)查結(jié)果顯示，主要問題來自于采用的SDI電池（圖1）。

圖1可以清晰的看到，在外部引起電池電極變形后，導(dǎo)致了電池電極之間的爬電距離和電氣間隙減小到安全限值以下，引起電池短路，從而導(dǎo)致了著火事件的發(fā)生[1]。

可見，確定產(chǎn)品絕緣結(jié)構(gòu)的組成、導(dǎo)電部件和易觸及表面，選取正確的爬電距離和電氣間隙的路徑，并用適合的測(cè)量設(shè)備確定數(shù)據(jù)，是取得準(zhǔn)確檢測(cè)結(jié)果和防止誤判的關(guān)鍵，而其中最短路徑的確定則是重中之重。

2 實(shí)際舉例計(jì)算

對(duì)于簡單的案例我們可以通過直接測(cè)量或者簡單的展開平面、幾何計(jì)算，就可以得到相應(yīng)的爬電距離，但是當(dāng)實(shí)際樣品爬電距離需要經(jīng)過幾個(gè)面，甚至可能需要空間橋接時(shí)，簡單的測(cè)量、計(jì)算已經(jīng)無法滿足我們的要求，下文就以能力驗(yàn)證中的樣品來舉例，借用一種先建立三維模型，再建立數(shù)學(xué)模型，最后引入編程計(jì)算機(jī)計(jì)算的思路，重點(diǎn)探討如何逐步的分析、計(jì)算需要空間橋接的復(fù)雜爬電距離問題。

2.1 樣品簡述

本次試驗(yàn)的被測(cè)樣品為印刷電路板（雙面板），如圖2和圖3。

其中： T1、T2、T3、T4為印刷電路A面的電極，R1、R2為印刷電路B面的電極，中間梯形的區(qū)域鏤空。

本樣品在測(cè)試中有如下特殊說明和假定：

①樣片中梯形鏤空區(qū)域的角全部按“尖角”考慮，不視為圓角，∠α=90 °。

②在電氣間隙、爬電距離測(cè)量時(shí)，樣片中電極T3、T4、R1、R2與梯形鏤空區(qū)域邊緣按“齊平”考慮。

③爬電距離和電器間隙測(cè)量值精確到0.001 mm。

2.2 爬電距離電氣間隙的影響因素

爬電距離電氣間隙影響因素有很多，如：海拔高度，電場條件，污染等級(jí)，橋接（跨接），通過中介物（如有的話）等都會(huì)對(duì)爬電距離和電氣間隙產(chǎn)生不同程度的影響。此例中著重考察污染等級(jí)和橋接（跨接）。

污染等級(jí)：爬電距離和電氣間隙極易受到外來物質(zhì)污染的干擾，確定污染等級(jí)對(duì)測(cè)量爬電距離和電氣間隙非常重要。

圖3 樣品B面

橋接（跨接）：在電器的長期使用過程中，如灰塵、其它導(dǎo)電微粒會(huì)積累在污染絕緣材料表面，導(dǎo)致沿污染物表面形成爬電路徑，所以在小尺寸的“間隙”和一定角度下的“槽”，需要著重考慮橋接問題[2]。

2.3 對(duì)于實(shí)例的分析和思路

試驗(yàn)過程中，最為復(fù)雜的部分要屬T1與R1中金屬部件之間的爬電距離的路徑及測(cè)量值（2級(jí)污染等級(jí)和3級(jí)污染等級(jí)均需測(cè)量）。由于T1-R1之間不在同一個(gè)平面上，也不能通過簡單的展開處理將T1和R1放到同一平面上，這讓求解這個(gè)爬電距離問題變得復(fù)雜了許多。

2.4 三維建模

我們通過三維軟件UG進(jìn)行建模（圖4），建立等尺寸的模型有利于我們更好的觀察樣品，從而分析和尋找最短路徑。

2.5 分析路徑

通過模型分析，可以得到爬電距離的路徑只可能存在3種情況（圖5）。

①圖5中T1-E-R1路線。

此路徑爬電距離可以直接在樣品上測(cè)得路徑為：23.649 20≈ 23.649。

②圖5中T1-（EH線段上的某點(diǎn)K1）-I-R1路線。

此路徑爬電距離看似不能直接測(cè)得，實(shí)際上可以將T1-H-E沿著HE展開，使得T1,H,E,G,I在同一平面，此時(shí)兩點(diǎn)之間線段最短，路徑T1-（EH線段上的某點(diǎn)K）-I-R1轉(zhuǎn)變?yōu)門1-I- R1，再通過簡單的幾何計(jì)算得到路徑為：25.033 25≈25.033。

③圖5中T1-（EH線段上的某點(diǎn)K）-（EI線段上的某點(diǎn)O）-R1路線。

此時(shí)需要考慮是否橋接問題。

2.6 考慮橋接問題

根據(jù)DSH-590號(hào)TCL決議單80 °角規(guī)則（溝槽橋接規(guī)則）：如果V型溝槽頂角大于80 °其爬電距離應(yīng)沿著槽的輪廓進(jìn)行繪制（圖6）；如果V型溝槽頂角小于等于80 °，且開口寬度大于短接尺寸“X”，其爬電距離應(yīng)沿著槽的輪廓進(jìn)行繪制，但槽底用短接尺寸為“X”的連接跨接（圖7）[3]。（2級(jí)污染等級(jí)X=1.0 mm和3級(jí)污染等級(jí)X=1.5 mm）。

由于標(biāo)準(zhǔn)IEC 60664-1和TCL決議590中只是對(duì)平面橋接進(jìn)行定義，而此處可能涉及空間橋接的最短爬電距離問題，所以筆者認(rèn)為簡單的以面面夾角∠H1EH2<80 °即認(rèn)為滿足橋接條件是不合理的。

由模型可知爬電距離的最小路徑必定存在，所以我們先假設(shè)通過空間橋接AB（圖9中）最短路徑在T1-KA-B-R1（圖9中路線）取得，最后我們?cè)衮?yàn)證最短路徑時(shí)，在跨接點(diǎn)已知的情況下，如果不橋接所形成的最短路徑夾角是否＜80 °，如果夾角＜80 °，則滿足標(biāo)準(zhǔn)和TCL決議中平面橋接角＜80 °的要求，如果不滿足則需要剔除部分角度對(duì)應(yīng)的路徑。

2.7 分析模型并建立數(shù)學(xué)模型

對(duì)模型中關(guān)鍵的橋接角進(jìn)行簡單的分解（圖8，圖9，圖10，圖11）。

圖4 樣品的三維模型

圖5 T1到R1的爬電距離3種可能的路徑模型

圖6 V型溝槽頂角＞80 °時(shí)的爬電路徑

圖7 V型溝槽頂角≤80 °時(shí)的爬電路徑

圖 8 樣品橋接角局部實(shí)物照片

圖9 樣品橋接角局部模型

假設(shè)：在橋接的情況下取得爬電距離最小值，T1-KA-B-R1。

對(duì)于任意的橋接路線AB必能做出一個(gè)（H1-H2-H3-H4輔助平面）垂直于（H3-H4-R1底面）。

對(duì)圖10分別沿著H-H1，H1-H3,H2-H4展開得到圖11。

做AB在經(jīng)過A點(diǎn)且平行于底面（水平平面GIR1）的輔助平面A-F-D。即AD為AB在水平輔助平面A-F-D的投影，A為輔助平面與H1H3的交點(diǎn)，F(xiàn)為輔助平面與EI的交點(diǎn)，D為輔助平面與H2H4的交點(diǎn)。

現(xiàn)在已知：AB=1 mm（2級(jí)污染等級(jí)X=AB=1.0 mm，3級(jí)污染等級(jí)X=1.5 mm，1.5 mm的路線有變化后面再討論），T1H，GI，HG，IR1以及θ為定值（可以直接測(cè)量得到），求爬電距離最小值T1-K-A-B-R1。

最短路徑可以分段求解T1-K-A-B-R1=T1-K+KA+AB+BR1，AB已知，由展開圖11可知兩點(diǎn)之間線段最短，即T1-K-A為一條直線時(shí)取得最短距離T1A。

設(shè)AH1為變量（0≤AH1≤HG）；角度∠BAD為變量α，由于要取得最短路徑所以0 °≤α≤90 °；∠FAD為變量β，由三角形內(nèi)角和為180 °可知：0 °≤β≤180-θ °；∠FDA為γ，γ=180-θ-β。

最短路徑為：

式中：

T1A—為圖11中T1到A的線段路徑；

AB—為圖11中A到B的線段路徑；

BR1—為圖11中B到R1的線段路徑。

由勾股定理可知：

式中：

T1H—為圖11中T1到H的線段路徑；

AH1—為圖11中A到H1的線段路徑；

GH3—為圖11中G到H3的線段路徑；

圖11 橋接角展開圖

BH4—為圖11中B到H4的線段路徑；

H4R1—為圖11中H4到R1的線段路徑。

式中：

GI—均為圖10中的G到I線段路徑；

AF—均為圖10中的A到F線段路徑；

HG—均為圖10中的H到G線段路徑；

DB—均為圖10中的D到B線段路徑；

IR1—均為圖10中的I到R1線段路徑

FD—均為圖10中的F到D線段路徑。

又由三角形AFD滿足正弦定理：

式中：

AD—為圖10中A到D的的線段路徑；

θ，β，γ—均為圖10中的角度。

公式（3）化解為公式（7）

2.8 通過EXCEL輔助計(jì)算

在2.7的公式（7）中有3個(gè)變量α，β， AH1，通過EXCEL輔助計(jì)算。

圖12 通過EXCEL計(jì)算得到的T1-R1爬電距離最小值

圖13 不同污染等級(jí)的T1-R1爬電距離最小值

先取其中α，β兩個(gè)角度做表格，找到AH1為定值時(shí)，任意角度的爬電距離最小值；又由于已知爬電距離必定存在最小值，再將AH1反復(fù)替換從最小取到最大值尋找規(guī)律，反復(fù)搜索表格中最小值，以及最小值取得的對(duì)應(yīng)角度，得到T1-R1爬電距離最小值如（圖12）在AH1為0，α=7 °，β=66 °時(shí)，取得爬電距離最小值為 23.37193≈23.372。

從結(jié)果可以看到路徑3是明顯小于路徑1和路徑2的值的。

2.9 計(jì)算步長的選取與結(jié)果的精確度

此時(shí)還應(yīng)當(dāng)對(duì)角度α，β和AH1尺寸進(jìn)一步細(xì)化，計(jì)算步長選取0.1 °和0.01 mm精確度,此時(shí)取得最小值A(chǔ)H1為0，α=6.8 °，β=65.5 °時(shí)，取得爬電距離最小值為23.371 87≈23.372.從表1中可知：最短爬電距離到小數(shù)點(diǎn)后第四位才發(fā)生變化，二者數(shù)據(jù)相差只有0.000 06 mm，基本可以忽略，所以選取1 °和0.1 mm精確度已經(jīng)足夠滿足要求。

表1 采用不同計(jì)算步長求得的最短爬電距離

圖14 計(jì)算爬電距離最小值的JAVA代碼

圖15 通過代碼計(jì)算得到的爬電距離最小值的結(jié)果

2.10 驗(yàn)證橋接角

最后還需要驗(yàn)證不橋接所形成的最短路徑夾角是否＜80 °，如果夾角＜80 °，則滿足標(biāo)準(zhǔn)和TCL決議中平面橋接角＜80 °的要求，此處問題又轉(zhuǎn)化為了求易面直線和線段的最大夾角問題。

由于各個(gè)變量在最短路徑的情況下均為已知量，可以建立向量坐標(biāo)系，聯(lián)立方程求解；也可以在模型上不斷的窮舉量取；均可證得此例中最短路徑的情況下，若是不橋接所形成的最短路徑夾角＜80 °（本文中就不再贅述具體證明過程）。

2.11 不同污染等級(jí)時(shí)的最短爬電距離

當(dāng)污染等級(jí)為3級(jí)，AB=1.5 mm時(shí)，T1-T2和T2-T3之間路徑分別小于1.5 mm，在爬電距離計(jì)算中直接跨接視為0，最短路徑轉(zhuǎn)化為T3-R1。同理可得最小值，但是最小值并不是在AH1為0時(shí)取得，取得最小值時(shí)AH1為0.85，α=2.8 °，β=51.8 °時(shí)，取得爬電距離最小值如（圖13）為23.022 3≈23.022。

3 通過編程計(jì)算

2.7中的公式（7）也可以用編程進(jìn)行輔助運(yùn)算，可以更加節(jié)省時(shí)間，得到更加精確的結(jié)果，筆者使用JAVA語言輔助計(jì)算，相關(guān)環(huán)境配置此文不再贅述，具體代碼如圖14。

此代碼由于步長太小，計(jì)算量過大，容易引起內(nèi)存溢出，可以考慮變量分段計(jì)算，最后得到：當(dāng)AH1為0，α=6.8 °，β=65.5 °時(shí)，爬電距離最小值的結(jié)果（如圖15）=23.1873675670287≈ 23.372。

相比于通過EXCEL計(jì)算得到的結(jié)果更加精確，快捷。

4 總結(jié)

爬電距離與電氣間隙的測(cè)量幾乎涉及到所有類別的電氣產(chǎn)品，測(cè)試方法和要求也仍在不斷完善當(dāng)中，但測(cè)量方法的核心仍應(yīng)圍繞路徑本身，但是實(shí)際被測(cè)產(chǎn)品的多樣性加大了測(cè)量難度，所以在遇到需要空間橋接或者類似的復(fù)雜電氣間隙爬電距離問題時(shí)，引入三維建模，數(shù)學(xué)建模，利用EXCEL或編程運(yùn)算是未來求解復(fù)雜的爬電距離和電氣間隙最小值的一種值得參考的思路和方案。

同時(shí)文中提到的建模、利用EXCEL或簡單編程計(jì)算路徑的解決方案，在空間路徑的測(cè)量方面有著非常實(shí)用的前景，適合一般工程技術(shù)人員在日常工作中去處理一些空間路徑的相關(guān)問題，本文的介紹希望對(duì)廣大讀者有所幫助。