三角矩陣環(huán)上投射余可解的Gorenstein平坦模

王 淼, 王占平

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與預(yù)備知識

目前, 關(guān)于Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究已得到廣泛關(guān)注： Auslander等[1]研究了雙邊Noetherian環(huán)上G-維數(shù)為0的有限生成模; Enochs等[2-3]定義了任意環(huán)R上的Gorenstein投射模、 Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模, 這些模構(gòu)成的類分別記為GP(R),GI(R)和GF(R);aroch等[4]通過引入投射余可解的Gorenstein平坦模, 證明了任意環(huán)R上GF(R)關(guān)于正向極限和擴張都封閉以及GF(R)是覆蓋類, 將投射余可解的Gorenstein平坦模構(gòu)成的類記為P GF(R), 并證明了R是右完全環(huán)當且僅當P GF(R)=GF(R)； Iacob[5]討論了投射余可解的Gorenstein平坦模與Gorenstein投射模之間的關(guān)系, 并證明了P GF(R)=GP(R)當且僅當GP(R)?GF(R).

易知p是q的左伴隨,h是q的右伴隨.

W?TM?(W1?AM1⊕W2?BM2)/H.

設(shè)x1∈M1,w2∈W2,u∈U,H是由所有形如(φW(w2?u))?x1-w2?φM(u?x1)元素生成的子群.

2 主要結(jié)果

定義1[4]如果存在投射左R-模的正合列P·=…→P-1→P0→P1→P2→…, 使得M=Ker(P0→P1), 且對任意內(nèi)射右R-模I, 序列I?RP·正合, 則稱左R-模M是投射余可解的Gorenstein平坦模(簡稱PGF-模).

下面給出PGF-模的一個等價刻畫.

引理1設(shè)M是左R-模, 則下列敘述等價:

1)M是PGF-模;

2) 存在投射左R-模的正合列P·: …→P-1→P0→P1→P2→…, 其中M=Ker(P0→P1), 且對任意內(nèi)射維數(shù)有限的右R-模G,G?R-作用后仍正合.

證明: 2) ? 1)顯然成立.

1) ? 2). 設(shè)id(GR)=n<∞, 則存在正合列0→G→E0→E1→…→En-1→En→0, 其中Ei(i=0,1,…,n-1,n)是內(nèi)射右R-模, 從而可得復(fù)形正合列

0→G?RP·→E0?RP·→E1?RP·→…→En-1?RP·→En?RP·→0.

因為復(fù)形Ei?RP·正合, 因此由文獻[13]中定理6.3知復(fù)形G?RP·正合.

引理2[10]設(shè)BU有有限平坦維數(shù),E是內(nèi)射右A-模, 則右B-模HomA(U,E)有有限內(nèi)射維數(shù).

1)M是投射左T-模?M1是投射左A-模,M2/Im(φM)是投射左B-模且φM單同態(tài);

證明: 1)M1是A-Mod中的PGF-模, 所以有投射左A-模的正合列

其中M1=Ker(δ0), 且對任意的內(nèi)射右A-模E,E?A-作用后仍正合. 因為fd(UA)<∞或id(UA)<∞, 所以由文獻[8]中引理2.3或引理1知U?AP·正合. 從而有投射左T-模的正合列

由文獻[12]中命題3.6.1知,

因此

2) 由于M2是B-Mod中的PGF-模, 所以有投射左B-模的正合列

其中M2=Ker(f0). 對任意內(nèi)射右B-模G,G?B-作用后仍正合. 從而可得投射左T-模的正合列

設(shè)E是內(nèi)射右A-模, 則有右T-模的正合序列

0→(E,0)→(E,HomA(U,E))→(0,HomA(U,E))→0,

從而有復(fù)形正合列

0→(E,0)?TP·→(E,HomA(U,E))?TP·→(0,HomA(U,E))?TP·→0.

又由引理3知, (E,HomA(U,E))是內(nèi)射右T-模. 所以復(fù)形(E,HomA(U,E))?TP·正合.

因為第一列和第二列都正合, 所以有投射左B-模的正合列:

2)M1和CokerφM=M2/Im(φM)是R-Mod中的PGF-模, 且φM單同態(tài);

3)M2和CokerφM=M2/Im(φM)是R-Mod中的PGF-模, 且φM單同態(tài).