Liouville方程與其約化變換方程的精確解及ψ(ξ)展式法

林府標, 張千宏

(貴州財經大學 數統學院, 貴陽 550025)

0 引 言

Liouville方程

uxt=eu

(1)

是流體力學中的一個經典非線性偏微分方程, 其精確解的動力學行為已得到廣泛關注. 文獻[1]給出了方程(1)可接受的無窮小李對稱； 文獻[2-3]給出了方程(1)的一些精確解. 目前, 顯式解析波解及其特征在海洋工程、 光纖通信、 材料科學和流體力學等領域應用廣泛[4]. 雖然人們已經構造了一系列解析求解非線性偏微分方程的有效方法, 如齊次平衡法[5-7]、 tanh函數法和廣義tanh函數法[3,8-10]等, 但因非線性偏微分方程的多樣性和復雜性, 至今仍有一些重要的方程無法采用現有的方法和技巧得到精確解. 本文用Liouville方程(1)的約化變換方程及其精確解構造一種精確求解非線性偏微分方程的有效ψ(ξ)展式法, 并用該方法尋找Kawahara方程和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程的顯式新行波解.

1 Liouville方程的群不變解和精確解

1.1 Liouville方程的群不變解

Lie[1]給出了Liouville方程(1)可接受的李對稱, 并由下列一組基生成：

其中ξ(x),η(t)為任意函數,X∞為無窮李對稱. 根據文獻[11]中算法, 可寫出三維李代數L3=span{X1,X2,X3}的換位子交換運算, 結果列于表1.

表1 三維李代數L3的換位子交換運算表Table 1 Commutator exchange table of three-dimensional Lie algebra L3

由表1可得相應的內自同構為

求其對應的李方程可得群變換

其中σi(i=1,2,3)分別為內自同構Ai(i=1,2,3)的群參數. 因此, 對任意的實數c, 李代數L3的最優化三維、 二維和一維子李代數分類結果分別為span{X1,X2,X3},span{X1,X2},span{X1,X3},span{X2,X3},span{X1},span{X2+cX1},span{X3}. 用L3的一維最優化子李代數可得方程(1)的群不變解, 結果列于表2, 其中一維子李代數span{X1}對應的群不變解未找到.

表2 方程(1)的群不變解和約化方程Table 2 Group invariant solutions and reduced equations of equation (1)

1.2 Liouville方程的新行波解

若令變換u(t,x)=ln(v(t,x)), 則有uxt=v-2(vxtv-vxvt), 因此把uxt和u代入方程(1)可得

vvxt-vxvt-v3=0.

(2)

做行波變換ξ=x-ct, 其中c為常數, 表示波速. 若假設v(t,x)=V(ξ)為方程(2)的解, 則方程(2)可約化為常微分方程

cVV″-cV′2+V3=0.

(3)

用廣義tanh函數法[3,8-10]并結合齊次平衡原理[5-7], 再注意到平衡項VV″與V3, 可假設方程(3)解析解的表達式為

V(ξ)=b0+b1φ(ξ)+b2(φ(ξ))2,

(4)

其中:bi(i=0,1,2)為待定常數;φ=φ(ξ)滿足方程φ′=b+φ2,b為任意實常數. 將式(4)代入方程(3), 反復利用方程φ′=b+φ2并結合軟件Reduce計算整理可得關于φ的多項式, 于是可分別令φj(j=0,1,…,6)的系數為零, 可得關于bi(i=0,1,2),b,c的代數方程組為

用吳消元法[12]并結合Reduce計算可得一組解b0=-2bc,b1=0,b2=-2c. 因此, 方程(1)的行波解為

u(t,x)=ln(-2bc-2c(φ(ξ))2),ξ=x-ct,

(5)

其中函數φ=φ(ξ)可根據b的符號由文獻[13]的表1～表3中分別選取, 從而可寫出式(5)的具體解析表達式, 為簡潔, 本文省略其列舉過程. 此外, 文獻[2-3]中未給出行波解(5).

1.3 Liouville方程的約化變換方程和精確解

由表2中子李代數span{X2+cX1}對應的約化方程可得

(6)

在方程(6)兩邊同時乘以φ′得

(7)

對方程(7)兩邊同時關于ξ積分一次, 并記積分常數為κ, 可得

進一步得

令變換φ=lnψ(ξ), 于是該方程可寫為

(8)

用分離變量法可求出方程(8)的精確解, 從而可得方程(1)的行波解, 結果列于表3. 文獻[2-3]未給出表3中方程(1)的行波解.

表3 方程(1)和方程(8)的顯式精確解Table 3 Explicit exact solutions of equation (1) and equation (8)

2 ψ(ξ)展式法的基本思想和求解步驟

許多非線性偏微分方程不能采用廣義tanh函數法得到其精確解, 例如, Rosenau方程ut+uxxxxt+ux+uux-αuxx=0(0≤α≤1)很難找到精確解. 因此, 為尋找非線性偏微分方程的更多精確求解方法與技巧, 本文借助Liouville方程的約化變換方程(8)及其精確解給出ψ(ξ)展式法的主要求解步驟. 考慮一般形式的非線性演化偏微分方程

G(u,ut,ux,utt,uxx,uxt,…)=0,

(9)

其中:u=u(t,x)是未知函數;G是關于u及其各階偏導數的多項式, 并包含非線性項和最高階導數項.

ψ(ξ)展式法的主要求解步驟如下：

1) 做行波變換ξ=x-ct, 其中c為常數, 表示波速. 若假設方程(9)具有形如u(t,x)=V(ξ)的行波解, 則方程(9)可約化變形為常微分方程

G(V,-cV′,V′,c2V″,V″,-cV″,…)=0.

(10)

2) 若可能, 先對方程(10)兩邊同時關于ξ積分一次或多次, 取積分常數為零, 再假設方程(10)的解析解為

V(ξ)=d0+d1ψ(ξ)+…+dn(ψ(ξ))n,

(11)

其中ψ=ψ(ξ)滿足方程(8), 其具體表達式可根據κ的符號由表3中分別選取. 一般地, 正整數n可采用齊次平衡原理[5-7], 并通過平衡方程(10)中的非線性項和最高階導數項得到, 其中di(i=0,1,…,n)為待定實參數.

4) 用吳消元法[12]并結合軟件Reduce計算, 將求出的常數di(i=0,1,…,n),κ,c代入方程(11), 從而可寫出方程(9)的行波解, 其中函數ψ=ψ(ξ)可根據κ的符號由表3中分別選取.

3 變換方程(8)的精確解及ψ(ξ)展式法的應用

3.1 Kawahara方程的新行波解

考慮Kawahara方程[14]

ut+uux+αuxxx+βuxxxxx=0,

(12)

其中α,β為常數. 文獻[14-15]給出了方程(12)的相關應用; 文獻[3,16-17]給出了方程(12)的sech4-型孤波解. 做行波變換ξ=x-ct, 其中c為常數, 表示波速, 且假設u(t,x)=V(ξ)為方程(12)的解, 因此方程(12)可約化為常微分方程

βV(5)+αV?+VV′-cV′=0.

(13)

對方程(13)兩邊同時關于變量ξ積分一次, 并取積分常數為零, 可得

2βV(4)+2αV″+V2-2cV=0.

(14)

根據ψ(ξ)展式法式(11)和齊次平衡原理, 以及平衡方程(13)中V(5)與VV′項或方程(14)中V(4)與V2項, 可得n=2, 于是可假設方程(13)或方程(14)解析解的表達式為

V(ξ)=d0+d1ψ(ξ)+d2(ψ(ξ))2,

(15)

其中di(i=0,1,2)為待定常數, 函數ψ=ψ(ξ)滿足方程(8). 將式(15)代入方程(13), 并反復利用方程(8)再結合軟件Reduce計算整理, 可得

用吳消元法并結合軟件Reduce計算可得該方程組的一組解為

同理, 用ψ(ξ)展式法將式(15)代入方程(14)可得

因此, 方程(12)的行波解為

(16)

(17)

3.2 Kadomtsev-Petviashvili方程的新行波解

(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程[19]

utx+6(uux)x+uxxxx+3εuyy+3εuzz=0,ε=±1,

(18)

在描述弱色散介質、 流體動力學和等離子體物理學中的三維孤子, 弱非線性恢復力的長波長水波, 鐵磁介質中的波等方面應用廣泛. 文獻[4,20-22]討論了方程(18)的精確解法及可能的應用前景.

做行波變換, 令ξ=x-ct+ky+λz, 其中c,k,λ均為常數, 且假設u(t,x,y,z)=V(ξ)為方程(18)的解, 則方程(18)可約化為常微分方程

V(4)+(3εk2+3ελ2-c)V″+6V′2+6VV″=0.

(19)

用ψ(ξ)展式法式(11)并結合齊次平衡原理, 平衡方程(19)中V(4)和VV″項可得n=1, 因此方程(19)解析解的表達式可假設為

V(ξ)=q0+q1ψ(ξ),

(20)

其中q0,q1為待定常數, 函數ψ=ψ(ξ)滿足方程(8). 將式(20)代入方程(19), 并反復用方程(8)再結合軟件Reduce計算可得關于ψ的多項式, 分別令ψi(i=1,2,3)的各項系數為零, 可得關于q0,q1,c,k,λ,κ的代數方程組

(21)

其中函數ψ=ψ(ξ)可根據κ的符號由表3中分別選取. 從而可寫出行波解(21)的下列表達式：

其中ε=±1,c,c1,κ,k,λ為常數. 文獻[4,20-22]中未給出顯式行波解ui(t,x,y,z)(i=1,2,3). 不同類型行波解u3(t,x,y,z)的空間和投影圖像分別如圖1和圖2所示.

圖1 當ε=-1, c=5, c1=-0.01, κ=-1, k=-1, λ=0.01, z=0時, u3(t,x,y,z)的空間圖像Fig.1 Spatial graphs of u3(t,x,y,z) when ε=-1, c=5, c1=-0.01, κ=-1, k=-1, λ=0.01, z=0

圖2 當ε=-1, c=3, c1=-0.01, κ=-1, t=2, λ=0.01, z=0時, u3(t,x,y,z)的空間圖像Fig.2 Spatial graphs of u3(t,x,y,z) when ε=-1, c=3, c1=-0.01, κ=-1, t=2, λ=0.01, z=0

利用這些圖像可直觀討論自由參數及其相互間的作用對行波解的動力學行為、 波的傳播和波的結構特征的影響. 圖1為當波速c=5, 參數z=0,ε=-1,c1=-0.01,κ=-1,k=-1,λ=0.01時, 在3個不同時刻t=3,5,7, 行波解u3(t,x,y,z)在空間呈現的不同沖擊波特征. 圖2為當波速c=3, 參數z=0,ε=-1,c1=-0.01,κ=-1,λ=0.01, 且自由變量y的系數取不同值k=2,-2,-0.01時, 行波解u3(t,x,y,z)在空間呈現的不同奇異波和沖擊波特征.

綜上, 本文用Liouville方程的約化變換方程及精確解構造了一種求解非線性偏微分方程精確解的ψ(ξ)展式法, 并利用該方法討論了Kawahara方程和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程, 得到了一些新的行波解.