一類具有飽和發生率和心理作用的隨機SIR傳染病模型

趙彥軍, 李輝來, 李文軒

(1. 東北師范大學人文學院 數學系, 長春 130117; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

微分方程的數學模型在描述動態行為方面具有重要作用, 廣泛應用于生物學、 物理學和醫學等領域. 為控制傳染病的傳播, 通常通過建立數學模型研究傳染病的動力學行為. Kermack等[1]首次提出了傳染病倉室模型的“閾值理論”, 為傳染病動力學的研究奠定了基礎. 目前, 對傳染病模型的閾值動力學行為研究已有許多成果. Capasso等[2]通過研究如下確定性SIS傳染病模型：

(1)

其中:S(t)表示t時刻易感者數量,I(t)表示t時刻傳染者數量, 且N=S(t)+I(t);β表示疾病的接觸率;μ表示疾病的死亡率;γ表示疾病的恢復率.

(2)

其中，B(t)是定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的標準布朗運動，σ表示高斯白噪聲的強度. 文獻[5]得到了系統(2)全局閾值動力學行為的結果.

盡管在經典傳染病模型中, 雙線性發生率被廣泛使用, 但在高傳染水平下, 由于心理作用和社會因素的影響, 易感者減少與感染者接觸和防護措施的增強, 使易感者和感染者間的有效接觸率會趨于飽和狀態. Capasso等[2]在研究意大利巴里爆發霍亂時最早提出了具有飽和效應的非線性發生率, 得到了與實際情況吻合的結果, 此后各種非線性飽和發生率被廣泛應用于傳染病模型研究中, 均得到了較好的結果.

本文在系統(2)的基礎上, 進一步考慮疾病爆發過程中“心理作用”導致飽和效應發生率的隨機SIR傳染病模型：

(3)

(4)

易得

d(S(t)+I(t))=[μN-μ(S(t)+I(t))-(δ+ν)I(t)]dt≤[μN-μ(S(t)+I(t))]dt,

則

S(t)+I(t)≤N+e-μt(S(0)+I(0)-N).

因此Γ={(S,I):S(t)>0,I(t)>0,S(t)+I(t)≤N}是系統(4)的正向不變集.

1 系統正解的存在唯一性

根據文獻[6-7], 本文給出如下定理.

定理1對任意初值(S(0),I(0))∈Γ, 隨機系統(4)均存在唯一正解(S(t),I(t))(t≥0), 且該解依概率1位于Γ中.

證明： 顯然, 隨機系統(4)的系數局部Lipschitz連續, 則對任意給定初值(S(0),I(0))∈Γ, 系統(4)存在唯一的局部正解(S(t),I(t))∈Γ,t∈[0,te), 即S(t)+I(t)≤N,t∈[0,te) a.s., 其中te為爆破時間, 要證明解的全局存在性, 只需證明te=∞ a.s.

設η0>0且滿足S(0)>η0,I(0)>η0, 對任意η≤η0(η>0), 定義停時

tη=inf{t∈[0,te):S(t)≤η或I(t)≤η}.

考慮如下Lyapunov函數:

(5)

由于(S(t),I(t))∈Γ, 顯然V(t)正定. 對式(5), 由It公式得其中

所以

(6)

對式(6)兩端分別從0到tη∧T積分并取期望, 得

EV(S(tη∧T),I(tη∧T))≤V(S(0),I(0))+KE(tη∧T)≤V(S(0),I(0))+KT.

其中IΩη是Ωη的示性函數. 令η→0, 可得矛盾: ∞>V(S(0),I(0))+KT=∞. 所以t0=∞ a.s., 表明(S(t),I(t))以概率1在有限時間內不會產生爆破. 證畢.

2 疾病滅絕性的充分條件

證明： 設(S(t),I(t))是系統(4)滿足初值(S(0),I(0))∈Γ的解, 對系統(4)應用It公式, 有

(7)

對式(7)兩邊從0到t積分, 有

證明： 對式(7)兩邊從0到t積分, 有

對式(9)兩端取上確界的極限, 有

定理2和定理3表明, 當白噪聲擾動較大或R*≤1且白噪聲擾動不大時, 疾病即滅絕.

3 疾病在均值意義下的持久性

定理4設(S(t),I(t))是系統(4)關于初值(S(0),I(0))的解, 若R*>1, 則系統(4)的疾病將持續存在, 且滿足

Θ(t)=μN-μ〈S(t)〉-(μ+δ+ν)〈I(t)〉,

對式(10)從0到t積分, 有

當R*>1, 可得

證畢.

定理4表明, 當白噪聲擾動足夠小, 使得R*>1時, 疾病將持續存在.

4 數值模擬

下面基于文獻[6-8,10-16]的模擬數據, 利用MATLAB工具進行數值模擬, 以驗證本文結論的正確性. 根據Milstein方法, 利用MATLAB對具有飽和發生率和心理作用的隨機SIR傳染病系統(4)進行模擬, 系統(4)的離散格式如下：

其中ξk(k=1,2,…,n)是獨立的標準正態隨機變量.

1) 取N=10,μ=0.2,β=0.06,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.1,δ=0.000 1,ν=0.001,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=0.332 1≤1, 且滿足定理2的條件. 由定理2可知, 此時疾病將趨于滅絕, 模擬結果如圖1所示.

圖1 當環境擾動較大且R*≤1時, S(t),I(t)隨時間的變化曲線Fig.1 Change curves of S(t) and I(t) with time whenenvironmental disturbance is large and R*≤1

2) 取N=10,μ=0.2,β=0.06,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.077 46,δ=0.000 01,ν=0.000 01,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=1.000 1>1, 且滿足定理2的條件. 由定理2可知, 此時疾病將趨于滅絕, 模擬結果如圖2所示.

圖2 當環境擾動較大且R*>1時, S(t),I(t)隨時間的變化曲線Fig.2 Change curves of S(t) and I(t) with time when environmental disturbance is large and R*>1

對比圖1和圖2可見, 無論R*小于等于1還是大于1, 只要滿足定理2的條件, 系統(4)的疾病均趨于滅絕, 與定理2的結論相符.

3) 取N=10,μ=0.2,β=0.065,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.055,δ=0.1,ν=0.1,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=0.997 5≤1, 且滿足定理3的條件. 由定理3可知, 此時系統(4)的疾病將趨于滅絕, 與定理3的結論相符, 模擬結果如圖3所示.

圖3 當環境擾動較小且R*≤1時, S(t),I(t)隨時間的變化曲線Fig.3 Change curves of S(t) and I(t) with time when environmental disturbance is small and R*≤1

4) 取N=10,μ=0.2,β=0.065,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.035,δ=0.000 1,ν=0.001,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=1.955 3>1, 且滿足定理4的條件. 由定理4可知, 此時系統(4)的疾病將持續存在, 與定理4的結論相符, 模擬結果如圖4所示.

圖4 當環境擾動較小且R*>1時, S(t),I(t)隨時間的變化曲線Fig.4 Change curves of S(t) and I(t) with time when environmental disturbance is small and R*>1

綜上所述, 本文研究了一類利用白噪聲描述環境對疾病傳播影響的隨機SIR傳染病模型, 得到了模型全局正解的存在唯一性、 滅絕性和持續存在性, 并通過數值模擬驗證了所得結果的正確性.