一類完全三階邊值問題解的存在性

孫曉召, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

三階常微分方程邊值問題在物理學和應用數學等領域應用廣泛[1-2], 可用于描述三層梁、 電磁波、 重力流及帶有固定或變化橫截面彎曲橫梁的擾動等實際問題. 考慮下列非線性項f含有未知函數導數項u′,u″的完全三階邊值問題:

(1)

解的存在性, 其中f: [0,1]×3→連續. 對f不含任何導數項的特殊情形, 目前已有很多研究結果[3-6]. 對f含一階導的三階邊值問題:

(2)

文獻[7]通過建立新的極大值原理, 用上下解方法獲得了邊值問題(2)解的存在性結果. 對一般的完全三階邊值問題:

(3)

文獻[8]在f(t,x,y,z)關于x,y,z超線性增長的情形下, 用Leray-Schauder不動點定理得到了邊值問題(3)解的存在性結果; 文獻[9-10]在f(t,x,y,z)關于x滿足單調性條件, 且關于z滿足Nagumo條件的情形下, 用上下解方法得到了完全三階邊值問題解的存在性結果, 涉及的邊界條件為

對完全三階邊值問題(1), 文獻[11]在f(t,x,y,z)關于x,y,z一次增長的情形下, 用Leray-Schauder不動點定理得到了邊值問題(1)變號解的存在性結果; 文獻[12]在f(t,x,y,z)非負, 且關于x,y,z超線性增長的情形下, 用錐上的不動點指數理論得到了邊值問題(1)正解的存在性結果. 但上述已有結果中對f超線性增長的情形, 均要求f(t,x,y,z)關于z的增長滿足Nagumo條件, 且Nagumo條件限制f(t,x,y,z)關于z的增長至多二次.

本文研究在f(t,x,y,z)關于x,y,z均可超線性增長的情形下邊值問題(1)解的存在性. 目前已有的結果討論超線性問題時均要求f關于z的增長滿足Nagumo條件, 本文不需要Nagumo條件, 在f滿足不等式條件下, 用一個新的截斷函數技巧, 建立邊值問題(1)的上下解定理, 進而用該上下解定理獲得邊值問題(1)解的存在性結果, 目前已有的結果討論正解的存在性時均要求f非負, 若f變號, 則文獻[12]的方法不再適用. 本文在不要求f非負的一般情形下, 用上下解方法給出邊值問題(1)正解的存在性結果.

1 預備知識

記I=[0,1],+=[0,+∞),-=(-∞,0].C(I)表示定義在I上的全體連續函數按范數構成的Banach空間; 對n∈,Cn(I)表示定義在I上的全體n階連續可微函數按范數構成的Banach空間;C+(I)表示C(I)中的全體非負函數集.

定義1若v∈C3(I), 滿足

(4)

則稱v為邊值問題(1)的下解. 若式(4)均取反向, 則稱v為邊值問題(1)的上解.

(5)

由式(5)及u(0)=w0(0)-v0(0)≥0, 有

故結論成立. 證畢.

設h∈C(I). 為討論邊值問題(1), 先考慮相應的線性邊值問題(LBVP):

(6)

引理2對?h∈C(I), 線性邊值問題(6)有唯一解u∶=Sh∈C3(I), 且解算子S:C(I)→C2(I)為線性全連續算子,u=Sh滿足

(7)

證明: 對?h∈C(I), 易驗證

(8)

引理3設f:I×3→連續. 若存在常數a,b,c≥0, 滿足及C0>0, 使得

|f(t,x,y,z)|≤a|x|+b|y|+c|z|+C0, (t,x,y,z)∈I×3,

(9)

則邊值問題(1)至少有一個解.

(10)

為加強引理3中條件(9), 本文給出如下唯一性結果:

引理4設f:I×3→連續. 若存在常數a,b,c≥0, 滿足使得

則邊值問題(1)有唯一解.

證明: 對?(t,x,y,z)∈I×3, 在條件(11)中, 取則條件(9)成立. 因此由引理3知, 邊值問題(1)有解.

設u1,u2∈C3(I)為邊值問題(1)的兩個解. 令u=u2-u1, 則

因此由式(7),(11), 有

(12)

有唯一解u∈C3(I), 且滿足u≥0,u′≥0,u″≤0.

證明: 易證邊值問題(12)相應的非線性項

f(t,x,y,z)=ax+by-cz+h(t), (t,x,y,z)∈I×3

滿足條件(11). 因此, 由引理4邊值問題(12)有唯一解. 同理, 對?h∈C+(I), 邊值問題:

(13)

有唯一解u∈C3(I). 令h1(t)=a|u(t)|+b|u′(t)|+c|u″(t)|+h(t), 則h1(t)∈C+(I). 由方程(13)的邊界條件, 有:

即u≥0,u′≥0,u″≤0. 因此,

u?(t)=a|u(t)|+b|u′(t)|+c|u″(t)|+h(t)=au(t)+bu′(t)-cu″(t)+h(t),t∈I.

從而u為邊值問題(12)的解, 故結論成立.

由文獻[12]中引理2.3, 有:

引理6邊值問題(6)對應的三階線性特征值問題:

存在最小正實特征值λ1∈[6,8], 其相應的正特征函數φ1∈C3(I)∩C+(I), ‖φ1‖C=1, 且滿足方程

2 主要結果

假設條件：

(H2) 對?t∈I,z∈,f(t,x,y,z)關于x,y在上單調遞增;

f(t,x,y,z)≤ax+by-cz+C0, ?(t,x,y,z)∈I×+×+×-;

f(t,-x,-y,-z)≥-ax-by+cz+C0, ?(t,x,y,z)∈I×+×+×-;

(H5) 對?t∈I,z∈-,f(t,x,y,z)關于x,y在+上單調遞增;

(H6) 存在δ>0, 使得?(t,x,y,z)∈I×[0,δ]×[0,δ]×[-δ,0],f(t,x,y,z)≥λ1x.

定理1設f:I×3→連續, 邊值問題(1)有下解v0和上解若f滿足條件(H1), 則邊值問題(1)至少有一個解u, 且滿足

(14)

則η0,η1,η2:I×→連續, 且滿足

(15)

做f的截斷函數

則f*:I×3→連續. 取

則G為I×3中的有界閉集. 由式(15), 有

即f*(t,x,y,z):I×3→有界. 由引理3, 修改的邊值問題:

(16)

有解u0∈C3(I). 下證u0滿足

(17)

(18)

由定義式(14), 有

(19)

再由式(15),(16),(19)及條件(H1)和上解的定義, 有

(20)

由式(14),(17),(20), 有

因此按f*的定義, 有

從而u0是邊值問題(1)的一個解.

定理2設f: [0,1]×3→連續, 若f滿足條件(H2)～(H4), 則邊值問題(1)至少有一個解.

證明: 由引理5知, 邊值問題:

(21)

因此w0為邊值問題(1)的上解. 再由條件(H4), 有

定理3設f: [0,1]×3→連續, 若f滿足條件(H3),(H5),(H6), 則邊值問題(1)有正解.

由條件(H6), 有

因此w0為邊值問題(1)的上解. 下證v0≤w0. 考察u=w0-v0, 由v0和w0的定義, 有

例1考慮如下超線性三階邊值問題:

(23)

對應于邊值問題(1), 相應的非線性項為

(24)

其關于x,y,z均超線性增長, 關于y三次增長,z四次增長, 不滿足Nagumo條件, 目前已有文獻的結果對邊值問題(23)不適用. 用本文定理1證明該問題至少有一個解.

易見v0恒等于0為邊值問題(23)的下解. 下證

(25)

為邊值問題(23)的上解. 由式(25), 有

(26)