基于矩陣低秩逼近的自然圖像去噪

陳杰，楊艷

（四川大學計算機學院，成都 610065）

0 引言

科技的日新月異發展使得消費級圖像捕獲設備變得廉價且得到大量使用。然而許多情況下，高質量圖像的獲取仍然比較困難，普通消費級設備甚至一些專業設備在一些情況下捕獲的現實世界圖像仍然保留著大量噪聲，使得獲取的圖像質量不高，也影響了基于圖像的后續應用。圖像去噪是一個經典的信號復原問題，由于光電傳感器誤差，傳輸過程的電子熱運動等原因。獲取的圖像中存在噪聲是無法避免的，但可以通過一些方法從帶噪圖像中盡量恢復原始圖像信號，提高圖像信噪比。圖像去噪的方法經過多年的發展。許多去噪方法針對添加人工模擬的全局加性高斯噪聲的灰度圖像進行去噪。這些方法旨在從已有的噪聲圖像y=x+n恢復出清潔圖像成分x，其中n是噪聲水平為σ的加性高斯噪聲。經過去噪算法的處理，噪聲圖像中隱含的清潔圖像信息更明顯地顯現出來，且圖像的峰值信噪比等量化指標得到了提高，圖像獲得了更好的視覺效果。然而在真實世界圖像中，噪聲的分布未知且構成復雜，其可能產生于電子熱運動、量化誤差、光電傳感誤差等多個來源。針對全局加性高斯白噪聲的去噪算法對噪聲的建模不足以模擬真實噪聲的分布。同時，真實世界圖像無噪圖像及噪聲的獲取比較困難，現有一般獲取真實無噪圖像真值是通過多次拍攝同一靜態場景然后對每個像素取平均值得到，這種方法可以得到可以用作真值的近似無噪圖像。

1 相關算法

現有的圖像去噪算法從各方面進行了嘗試，包括基于頻域轉換[1-2]、基于稀疏表示[12,17]、基于字典學習[6]、基于神經網絡[5-11]等方法。基于頻率域進行去噪的方法通過傅里葉變換或小波收縮等方法噪聲圖像轉換到頻率域進行處理，假設噪聲均屬于高頻范圍，通過消除頻率域中的高頻成分保留低頻成分來消除噪聲。這對于一些被高頻噪聲及周期噪聲污染的平坦區域為主的圖像非常有效，然而這種方法無法很好地分離高頻信號和噪聲，會模糊紋理細節，并且可能會產生振鈴效應引入人為瑕疵。基于稀疏編碼的方法利用噪聲圖像學得一個字典矩陣[6-7,11]，然后利用矩陣字典得到圖像的稀疏表示，重建圖像后與原圖進行對比得到殘差，再分解殘

差，并利用殘差中的信息更新字典和稀疏表示，迭代這一過程，當殘差的值小于某個設定閾值或者迭代足夠多的次數后，殘差即余下的噪聲，重構的圖像即為去噪后的清潔圖像。文獻[6]中的KSVD便是經典的基于稀疏編碼的算法，但KSVD學習字典的時間過長，且字典不能泛化使用，其分塊處理的思想也沒有利用圖像的非局部自相似性先驗。文獻[7,11]中從清潔圖像中獲取真實無噪圖像的先驗信息，將外部圖像分解為子塊建模并學習得到一個高斯混合模型，利用該高斯混合模型的各個協方差矩陣的SVD得到字典，利用該起點進行去噪，文獻[7]中同時對無噪自然圖像和帶噪圖像進行學習，使用無噪自然圖像和帶噪圖像的混合字典對待去噪圖像進行稀疏表示，而文獻[11]中只使用無噪圖像學得的GMM模型生成的字典。基于空間濾波器的方法主要是利用某種設計的濾波器或濾波方法及前后處理過程對圖像進行濾波，經典的濾波方法有中值濾波（可以去除椒鹽噪聲）、均值濾波、雙邊濾波、引導濾波等。文獻[15]中的BM3D利用非局部自相似性及維納濾波進行去噪，得到了非常好的效果，其另一版本CBM3D[10]可用于彩色圖像去噪。基于神經網絡的方法[3-5,13-14]由于今年來計算能力的進步而得到了極大發展。文獻[4]中的去噪自動編碼器可以在輸入受到一些噪聲污染的情況下仍然保持不變的輸出，也就是說，其擁有一些去噪效果。但文獻[4]中采用的是多層感知機，在一些小尺寸簡單圖片（如MNIST數據集）中可以有良好的去噪效果。文獻[3]采用了文獻[4]中的思想，將文獻[4]中的結構進行堆疊，并在損失函數中引入稀疏正則項使得隱藏單元變得稀疏以最小化復原損失。文獻[18]中采用殘差學習及卷積網絡，可以對未知水平的加性高斯噪聲進行去除，其模型對圖片殘差進行學習，網絡模型輸出噪聲圖像。文獻[19]中的FFDnet采用卷積神經網絡結構和指定噪聲水平圖的方法能夠處理在空間上方差水平變化的噪聲。基于低秩矩陣逼近的方法利用自然圖像的低秩特性[16,23]，將矩陣的秩作為一個正則項加入目標函數，然后通過優化方法直接求解潛在原始圖像。文獻[13]中結合矩陣的低秩特性和圖像的非局部自相似性先驗，對高斯噪聲和脈沖噪聲疊加的圖像進行去噪，能夠很好地恢復原始圖像。自然圖像的非局部自相似性先驗在很多研究中得到了應用，圖1中展示了自然圖像中存在的非局部自相似特性。

圖1 自然圖像中存在的非局部自相似性

可以看到，自然圖像中有大量自相似的模式存在，這表示了自然圖像中存在的信息冗余特征，我們可以利用這些冗余特征進行噪聲的估計與消除。圖像的-非局部自相似特性在文獻[7,9,10,15]等研究中得到了充分的應用，其有效性也得到證明。本文中利用非局部自相似性搜索以參考塊為中心的窗口中與參考塊相似的塊，并將其向量化構成矩陣表示以X的 t處為參考塊左上角時得到的相似塊矩陣，表示從圖像t處提取的第m個離參考塊最近的向量化后的相似塊向量，其中m=1時表示參考塊本身。相似塊矩陣的相似度量有多種方式（L-p范數距離、余弦距離等），本文中采用如下的方式度量圖像圖塊之間的相似度。

其中ref和neighbor分別表示參考塊和鄰近塊向量化后得到的向量。

一般的圖像去噪算法中，通常向清潔圖像中添加加性高斯白噪聲，然后針對高斯白噪聲進行噪聲估計和去噪算法的設計。然而真實噪聲圖像中的噪聲并不滿足全局均勻的高斯噪聲分布，在圖像的不同局部，噪聲的分布呈現明顯的差異性（見圖2，數據來自Nam數據集[8]）。這種差異性使得針對全局加性高斯白噪聲去噪的算法在真實噪聲圖像上的去噪效果減弱。在本文中，我們根據圖像局部差異，利用圖像非局部自相似特性構成的相似塊矩陣，計算圖像局部的方差差異，并利用該差異進行局部差異化的低秩求解。

2 算法實現

2.1 優化目標建模與求解

已知Y是噪聲污染下的真實噪聲圖像，Y∈RT×1，T是圖像的總像素數，Y=X+N，X是噪聲圖像中隱含的無噪圖像信息，N是圖像噪聲。我們需要從已有的觀察圖像Y中得到隱含的無噪圖像X，可以利用的先驗為圖像的非局部自相似和低秩先驗。我們假設真實噪聲圖像的噪聲是圖像空間相關的局部噪聲，因此采用局部自適應的低秩約束來約束總體目標，結合全局保真項，將優化目標建模如下。

圖2 左側展示了高斯噪聲（右上）與真實噪聲（右下），右側統計了噪聲圖像中100個局部區域的方差進行對比

上式中，X是一個Rp2×m的矩陣，σr(X)表示X的第r個奇異值，r0=min(p2,m)。

使用 logdet(·)替換rank(·)函數，最終的優化目標函數可以寫作：

其中d是約束參數，Nt是圖像位置t處的自相似塊矩陣的噪聲水平估計項。

2.2 優化問題求解

在寫出目標函數后，我們使用交替迭代優化的方法求解目標函數，依次更新X,N。首先初始化固定噪聲參數N中全局噪聲參數約束σ，σt在求解X子問題時根據相似塊矩陣得出，X采用自適應均值濾波進行預處理以去除可能存在的極值噪聲。

固定噪聲參數后，X求解子問題可以寫作：

引入輔助變量Lt=E?tX求解該優化問題，重寫X子問題為：

根據ADMM算法可以得到：

通過如下推導可以得到X的閉合解：

因此有：

將其代入式（11）中，得到X的閉合解：

根據文獻[20]，矩陣的低秩問題采用SVD方法求解，Lt可以采用下式迭代求解：

最后，拉格朗日乘子λt按照下式迭代更新：

Nt是噪聲變量，Nt=aσ+bσt，其中σ是全局噪聲約束，通過整體圖像像素計算得出，σt是局部噪聲，通過局部自相似塊矩陣計算求解：

其中Y初始噪聲圖像，X(k)是第k次迭代過程中分離出地無噪圖像。

2.3 算法流程

由上面的求解可知本文算法是對優化目標迭代求解，首先將噪聲圖片進行相似塊匹配，為提高算法速度，不會將每個像素位置都作為參考塊中心進行相似塊搜索，而是以一定步長進行參考塊選取。得到各個相似塊矩陣后，對各個相似塊矩陣進行低秩逼近，通過SVD分解消除部分噪聲得到其主要成分。記錄構成相似塊矩陣的各個局部圖塊的位置，將去噪后的相似塊矩陣分解成局部圖塊，將局部圖塊的值疊加到原來的圖像上，局部圖塊重復的部分記錄重復次數。最后將重疊處的疊加的值除以重疊次數，最終得到無噪圖像。

（1）輸入帶噪圖像Y，并構造一個與Y相同大小的零矩陣Z。

（2）初始X=amf(Y)，amf(·)是自適應中值濾波函數，初始拉格朗日乘子λ=0。

（3）在X中滑動選取參考塊，在參考塊t周圍搜索M個最相似的塊，構成相似塊矩陣E?tX。

（4）對相似塊矩陣進行迭代求解，得到一個與相似塊矩陣大小相同的低秩矩陣。（式（11））

（5）將得到的去噪低秩矩陣分解成局部塊然后疊加到Z的對應位置中。

（6）參考塊是否選取完畢，是轉（7），否轉（3）。

（7）通過式（10）更新X，通過式（17）更新拉格朗日乘子。

3 實驗

本文將提出的實驗方法與神經網絡方法CBDNet[11]以頻率域方法DDID[1]算法進行比較。本文實驗軟件平臺為Windows10、MATLAB 2018b。實驗硬件平臺配置為 Intel Core i7-8750H、主頻 2.2GHz、六核 CPU、8G運行內存。

實驗采取的真實噪聲圖像數據集為Nam數據集[8]，此數據集采集了11個靜態場景的室內圖像，對每個場景固定相機位置拍攝500次后取平均值作為該場景的無噪圖像真實值，其圖像尺寸為7000×5000。我們從中隨機截取512×512大小的圖片40張作為實驗數據。實驗設置 b=0.0001，a=4，sigma=5，d=3。

表1 去噪算法對比

可以看到，由于真實噪聲都比較微弱，因此去噪算法整體PSNR值都比較高。CBDNet和本文算法在保留細節紋理方面優于DDID算法。CBDNet在視覺效果方面與本文算法效果相近，但CBDNet在去噪時可能會產生一些微弱的人為瑕疵，并且對微弱噪聲的去除不夠徹底（如圖3上）。本文算法在去除噪聲的同時對局部自相似塊的局部自適應低秩求解，使得在擁有良好噪聲去除效果的同時保持了圖片微弱的紋理特征。

4 結語

本文對低秩圖像去噪方法進行了改進，結合自然圖像的非局部自相似特性和局部噪聲分布差異提出了一種新的去噪方法。實驗結果顯示本文算法能夠有效地去除真實圖像噪聲，相對于噪聲圖像的PSNR值平均提高3～5dB。但本文方法的迭代收斂速度還有待進一步提高。本文采用自相似塊矩陣的方差作為局部噪聲的差異描述是一種有效但不一定最優的途徑，還可以嘗試利用局部圖塊的梯度等方法來描述噪聲局部差異。

圖3 去噪效果對比