高數基本知識點的橫向鄰接與縱向拓展

楊松

摘要：對數學的學習并不是單一的，也不是獨立的，從數學層面來解析，數學每個知識和技能之間都是能夠緊密聯系在一起的，且知識點之間能夠融會貫通，相輔相成。從學術層面進行解析，數學和其他專業之間也是能夠相互幫助、相互成就的。對于高數基本知識點的掌握和解析，學生如果沒有關注學習技巧，那么學生在解題的時候，就會出現理解層面的疑惑，可能還會影響學生的記憶。進而為之后的高數學習帶來負面影響。從高等數學的整體布局出發，能夠看到的是，高數基本知識點之間是有一定規律存在的;一些知識點之間存在著橫向的關聯，一些知識點之間則能夠縱向的相互依存，也能夠進行縱向的知識延展。

關鍵詞：高等數學;基本知識點;橫向鄰接;縱向拓展;

高數是一門由微積分學、代數學、幾何學以及它們之間的相融內容所構成的一門基礎性科目，其主要內容包含數列、極限、微積分等內容，是理科類本科生考試的固定科目。雖然由很多微小的知識點組成，但知識點并不是獨立的，它們之間有聯系、有類接、有延展、有拓寬。學習高等數學的本真就在于整合和歸納，觸類旁通，解決同類型的問題是學好高數的本源。一個知識點，不僅要抓到它的基本點，而且還要抓到它的生長點，更要抓到它的延展點。因為學習高等數學就是由淺入深、由小見大、由及到里的過程，只要掌握高數基本知識點的橫向鄰接與縱向拓展，就能夠獲取到對應的知識理念，增強對應的知識應用能力。

一、高數基本知識點的橫向鄰接

關于基本知識點的橫向鄰接，我們可以把定積分的高數內容作為分析的例子，我們明白，定積分的定義是立足在極限基礎上的，其基本思路是“化整為零”、“以直代曲”、“積零為整”，用基礎問題的處理手段，解決非基礎的問題，像是曲邊梯形的面積、變速運動問題的即時速度等等。由基本知識點的串聯，自然而然地想象到不定積分的概念和幾何意義、原函數的求法、有理函數的積分、定積分的計算、牛頓萊布尼茨公式等等。從思想原理出發，這種知識鄰接屬于從特殊到一般之后再回歸到特殊當中的一類思維規律。從解析的過程來看，概念上的橫向關聯，大多都以類接和鄰接為關鍵內容，而縱向延展則體現為縱深延展和拓寬以及反向延展和拓寬，即從深層的知識出發進行探究，然后借此往淺層的知識追溯。

（一）概念層面的橫向類接

不少數學的概念、定理、原理層面，都擁有著橫向類接的問題，這和知識鏈接的歸類和總結十分的相似，但又不能完全地把它看成總結分析、整理分析、歸納分析。相同的概念、一致的原理、沒有差異的定理，如若從不同視角出發，所獲取到的類接結果是有一定差異的。

就像極限概念的類接：依照自變量變化方向進行分析，極限大致分為兩類，一類稱之為點極限，另一類稱之為無窮遠極限，由點極限進行類接，其能夠分為左極限和右極限，由無窮遠極限進行類接，其能夠分為正無窮遠和負無窮遠。依照變量的性質進行分析，極限分為“數列的極限”和函數的極限，數列的極限大致分為三類，即單調有界數列極其他類型調有界數列極限、其它類型數列極限。函數的極限分為兩類，即初等函數極限，非初等函數極限，由初等函數極限進行類接，其能夠分為“基本初等函數極限、復合其他類型、反函數的極限、其它類型的極限”，由非初等函數極限進行類接，其能夠分為“冪指函數極限、分段函數極限、隱函數極限、其它函數極限”。

上述兩種概念類接解析能夠說明，不同的分析視角能夠產生幾種完全不一樣的類接成果，這也為我們提供了分層次類接的策略。借助這樣的案例，我們能夠明白：針對一致性的概念，相同的定理、沒有差異的原理，我們需要從不同視角出層次地表述的問題，進行分層次的表述，進而完成全方面解析和把握的學習目標。

（二）概念層面的橫向鄰接

不少數學的概念和定理以及原理之間擁有著鄰接。所謂“鄰接”，指的其實就是概念基礎上的鄰近，在運用的時候，可以相互融合，并且借此加深一定的記憶。

我們可以把連續的概念當做分析概念橫向鄰接的例子。連續，除了一元函數的連續、還有二元函數的連續和多元函數的連續等等，而連續自身的定義，就鄰接著函數的定義域、函數值、點極限、微分。積分、區間連續等定義，除此外，連續自身還類接著導數的定義、增量、最值性、有界性、介值性、極限等都是連續直接呈現出來的結果。連續是函數最弱的性質，而導數連續是函數最強的性質。它們之間的邏輯關系為，函數的導數連續能夠推出函數可導，而函數可導能夠推斷出函數連續。導數的實質是增量比的極限。函數可導一定連續，但連續不一定可導，可導一定可微，可微一定可導，可微一定連續，但連續不一定可微。由此可見，它們之間存在著鄰接關系。

二、高數基本知識點的縱向拓展

高其他主要概念之間，除了和其它概念之間擁有著橫向鄰接的關系，同時，還擁有著縱向拓展的聯系。單從縱向拓展和融合的視角來看，對于困難的問題，我們可以運用簡單的策略進行解決。比如極限概念的縱向拓展，即“極限→無窮小→導數→微分→積分”。

由微積分定理的縱向延伸進行分析，即從一元函數的分割開始進行取點、作和式、取極限定義、看幾何意義;“一元函數→二元函數→二重積分→三重積分→多重積分”;“定積分→可變上限的積分”;“常規積分→反常積分”。

關于高數基本知識點的縱向拓展學習，其問題的提出要劍指中心，指向高數的關鍵內容，掌握問題的精練程度。所謂“精練程度”，指的其實就是結合學習內容的重點進行設問，結合學習思維的關鍵處進行設問，這樣，我們就能夠在精度的問題下，進行縱向的思考，并在解析問題的過程里，加強我們自己的數學解題能力。就以“微積分”的知識點為例，我們在進行縱向拓展的時候，就要把問題羅列出來，即微積分的面積問題、微積分的切線問題、微積分的速度問題[1]。

回歸微積分定理的拓展，其能夠延展為非正常積分的知識內容，而學習的主要內容，則是“問題的提出→反常積分的定義→反常積分的幾何意義”而提出的問題，就可以結合微積分的基本定理，設f（x）在[a，b]上連續，若F（x）是f（x）在[a，b]上的一個原函數，那么要求滿足（1） f（x）在區間[a，b]上連續;（2） [ a，b]為有限區間。對問題的解析過程，其實就是由此獲取反常積分定義的過程，這種知識點層面的縱向拓展，事實上就是學好高數的基礎。

結束語：

綜上所述，高數的基本知識點存在著橫向鄰接關系和縱向拓展關系，精確地剖析和結局這些聯系，不僅能夠加深學生們對概念的了解，而且能夠借此加深學生的記憶力。簡單地說，從概念層面來看，高數的基本知識點是獨立存在的，但事實上，它們之間有著橫向和縱向的知識聯系，學生只要了解這些關系，且能夠歸納這些關系，學生們就能夠學好高等數學，并從中獲取不限量的知識延續。

參考文獻：

[1]程美玉.新時代提高“高等數學”課程教學質量的研究[J].黑龍江教育（理論與實踐），2021（11）：76-77.