基于時間算子的地物演化數學模型

鐘業勛,葉 彤,胡寶清

(1.海軍工程大學 導航工程系，湖北 武漢 430043；2．南寧師范大學 北部灣環境演變與資源利用省部共建教育部重點實驗室；廣西地表過程與智能模擬重點實驗室，廣西 南寧 530001)

宏觀尺度地物的演化隨處可見?；鹕健⒌卣?、水災、泥石流、臺風、森林火災等自然災害的發生及災后重建，都會使發生地的地物地貌發生急劇的變化。目的性是人類行為的本質特征，人類總會通過自己掌握的關于自然規律的有關知識，把現存世界按自己的意圖和需要進行改造[1-2]。國家的各級政府部門的種種規劃和設計，如土地規劃、道路規劃、水利建設、城鎮擴展等，各種旨在改善人居環境、促進經濟發展和國家繁榮的人類意識行為，都會使相關地區的地物地貌發生漸進式地改變。面對土地沙化、環境污染、風沙災害等，人們也會采取植樹造林、退耕還林、退耕還牧等舉措進行有效地治理。這些都是宏觀尺度下地物的演化。鑒于地物演化的普遍性和涉及地物演化文獻的鮮見，本文從演化的物理基礎入手，探討這些演化的共同特點和數學模型。

1 物質存在的充要條件及時間的性質

1.1 物質存在的充要條件

空間和時間是物質固有的存在形式。時間是物質運動的連續性、間斷性和延續性。時間是天體及其物體的自然屬性?？臻g是物質的廣延性和伸張性，是一切物質系統中各個要素的共存和相互作用的標志?？臻g、時間與運動著的物質的不可分離性已被狹義相對論證明和科學界公認[3]。1908年，德國數學家閔可夫斯基(Minkowsky)為狹義相對論的四維時空提供了數學框架，即閔可夫斯基幾何。此時時間和空間的坐標滿足

l2=x2+y2+z2-t2.

(1)

式(1)是人們為光速運動物體所在空間和時間建立的一個幾何模型[4]。閔可夫斯基稱之為“世界”的四維連續區，是用“坐標”x,y,z,t來描述的，他把代表某一事件的點稱為“世界點”。這樣，按照物理學的說法，三維空間中的“事件”就成為四維“世界”的“存在”。三維空間中的“事件”與四維時空的等價性質，本身就表達了物質空間存在與時間的不可分割性。設ai∈K為空間K中的物質，就必有下列蘊含關系

?ai∈K∧ai≠φtai∈ai∧tai>0.

(2)

式(2)表明：空間非空性必然導至其存在時間(壽命)為大于0的實值，從而使空間非空性和壽命為大于0的實值為物質存在的充要條件[5-6]。

1.2 時間的起點及其性質

愛因斯坦發現最簡單的方程式要求宇宙膨脹。20世紀初的20 a里，斯里夫爾(V·Slipher)在勞威爾天文臺曾仔細研究過星系的光譜，發現光譜有紅移現象，用多普勒效應解釋即星系在退行。1929年，哈勃發現，在大尺度上，星系的退行速度與它們離開的距離成正比，越遠的星系退行越快。這一正比關系稱為哈勃定律。哈勃定律證明宇宙在膨脹，據此可推斷過去星系之間的距離必定比現在小，宇宙密度更大，溫度更高。最終，宇宙中的一切空間、時間、物質和能量聚會到一個密度無窮大、體積為0的奇點。1970年，彭羅斯和史蒂芬·霍金在愛因斯坦廣義相對論的基礎上，證明了著名的奇性定理，確定宇宙在時間上必須有個開端，即140億a前的宇宙大爆炸[7]。2008年3月，美國科學家在對“威爾金森微波各向異性探測器”(WMAP)傳回的觀測數據進行分析和計算后，計算出訖今最為精確的宇宙實際年齡，約為137.3億a，并宣稱這個數據正負誤差不超過1.2億a[8]?，F代物理學把普朗克時間5.39×10-44s和普朗克長度1.62×10-35m定為物理定律適用的極限[9]，認為宇宙大爆炸后的10-43s時，時間、空間、真空場、引力出現[10]。由于有星系紅移或宇宙膨脹、3K宇宙背景輻射及氘和氦的豐度等觀測事實的支持，大爆炸宇宙標準模型已被大多數科學家承認[11]。

2 事物在時間中演化的必然性及演化模型

2.1 事物在時間中的演化

由于物質存在與時間有不可分割的聯系，而物質在三維空間存在的過程，就必定在時間中演化。時間是一種算子，一切事物都是它的運算對象，都在時間算子作用下發生變化[12]。人類活動本質上就是一種時空行為，世界上的任何事物和現象(包括自然和社會人文)的發生、發展和演變，都是在一定的時間和空間進行的[13]。地物演化的代數和恒為0的規律確保了地物演化空間恒定性[14]。中國于2019-12-10發射的高分7號亞米立體測繪衛星，能為用戶提供1∶10 000的測繪數據，為快速成圖提供了支撐，地圖更新的原因就在于保持地圖的現勢性，本身就是對地物演化的驗證[15]。

2.2 事物演化的相關定義

設時軸為T=137.3億a，設K為空間，ai∈K?tai∈T∧tai=(tai1-tai0)>0，其中，tai0為ai的新生時刻，tai為其在空間的存在時間(壽命)，而tai1則為ai的消亡時刻。根據一切事物必有新生、存在、消亡的規律，得到下列定義。

定義1 事物ai的新生

?tai0∈T，若在tai0存在變換

ftai0:φ→ai∧tai∈ai|tai0∈T∧tai>0∧ai≠φ，

(3)

則稱ai為tai0時刻的新生事物。

定義2ai的消亡

?tai1∈T，若在tai1存在變換

ftai1:ai→φ|?t∈tai?t

(4)

則稱ai為在tai1時刻消亡的事物[16-17]。

定義3ai的演化

在t∈(tai1-tai0)=tai∈ai的時段內，若變換滿足

?g:ait→ait′?ait′=g(ait)|t,t∈tai∧t′>t，

(5)

則稱ait′=g(ait)為ait在t′時刻的演化。

當ait′>ait?ai增長；當ait′

定義4ai的時態

1)存在參照時刻tc∈T?tc∈{t|t∈tai}=T2?tai，稱為ai的現在時；

2)存在參照時刻tai?T1={t|t

3)存在參照時刻tc∈T3={t|t>tai1}，稱為ai的將來時。

過去時事物和將來時事物在現實中都不存在，故有下列蘊含關系

?ai≠φ∈T2?ai=φ∈T1∨T3.

(6)

顯然，不同的ai有不同的壽命，因而有不同的現在時。克羅地亞共和國于1991-06-25宣布獨立建國，從1991-06-25至今都是克羅地亞共和國的現在時[18]。

顯然，tc=tai0是ai從現在時T2退到過去時T1的節點，一旦改變時態，ai在現在時中的非空集便演化為空集。在過去時中ai的非空集性質是歷史存在和記錄。過去的改朝換代，每個朝代所處的時空存在是過去的事實，正是一系列過去事件的集合表達了時空的延續。

成立于1917-11-07的蘇維埃社會主義共和國聯盟簡稱蘇聯。1991-12-26正式解體[19]。對于蘇聯解體后的每一時刻，蘇聯的存在都是過去時。

這主要和空氣濕度有很大的關聯。冬日，北方吹的是干風，雖然涼涼的，由于導熱能力差，不易滲透到身體里面，也就不易帶走身體的熱量。我們說冬天北方寒冷，也只是周圍的溫度低而已，冷風只會帶走空氣中的熱量，所以空氣溫度低，而人的身體溫度并沒有改變，所以我們頂多就是覺得風大有點涼罷了。而在南方，吹的是濕風，雖然溫度不是很低，但是卻具有很強的滲透性，可以很快地把人體的熱量帶走，可以讓你的身體表面與周圍的溫度一樣低。

中國的兩個一百年規劃：到建黨100年時，全面建成小康社會；到新中國成立100年時，全面建成社會主義現代化強國[20]，這對于今天來說就是將來時。

3 事物演化模型的應用

現實世界中，事物演化的事例相當普遍，在上述相關定義的基礎上可以拓展構建表達具有某種特點的人文現象。

3.1 有生命周期的事物

動植物等具有明顯生長周期，它的新生、成長、衰老、消亡過程比較明顯，在時間中的演化主要體現為其空間特點隨時間延續而發生的演變：大小和形狀的變化。這類事物適于用定義3來描述。

3.2 重要的具有長期穩定性的基礎設施

重要的基礎設施，如三峽大壩、高速鐵路、等級公路、大型橋梁、人民大會堂等，一般在施工建筑期具有快速演化的特點，一旦建成，基本上擁有數十年乃至過百年較長的穩定期。這類事物定義3中ait′=ait?ai的演化模式占優勢。

3.3 多種性質地物的新生、消亡、演化共現模型

定義5 多種性質地物的新生、消亡、演化共現模型

若變換滿足

?ft1:φ→ai∧ft2:bj→φ∧ft3:dk→ek|ai,

bj,dk∈T2∧t1,t2,t3∈T2.

(7)

例如，如果在t1時刻種1片樹林ai，在t2時刻拆1棟房子bj和在t3時刻修1條公路dk，而ft3為增長變換，則表明dk在一天天往前延伸。i≠j≠k表明這三類為不同性質的地物。由于其任意性，定義5可以表達多種地物在同一地域的不同時間或同一時間內的新生、消亡和演化。這一定義對表達多地物的演化具有普適性。

3.4 古建筑重建模型

定義6 古建筑重建模型

若變換滿足

?ft1:ai→φ∧ft1∈T1?ft2:φ→bi≈ai∈T2，

(8)

則稱在過去t1時刻消失的古建筑ai在t2時刻重建成bi。如始建于公元220 a左右的岳陽樓則是在1984年5月大修竣工的[21]。

3.5 歷史遺跡

定義7 歷史遺跡

若變換滿足

?ei∈ai∧ftc:ai→bi?bi=(ai-ei)∈T2，

(9)

則稱bi為ai的遺跡。損失變量ei原來是ai的組成部分，但在tc時刻消失了，僅有bi保存下來，可見ei愈小則bi愈大，表明ai的遺跡保存愈完好。ei愈大表明保存的遺跡愈少。

中國的物質文化遺產長城、明清故宮、莫高窟、曲阜孔廟、孔林和孔府、布達拉宮歷史建筑群、天壇等，都可用式(9)表達[22]。

3.6 旅游景區的人為修整

很多風景名勝景區都是在原有自然景觀的基礎上，經過有關部門的規劃設計，選擇在適當的地方增設一些亭、臺、樓、閣及通達道路，使人工設施與自然景觀完美融合，使人賞心悅目。其表達模型如下。

定義8 自然景區的人為修整

若變換滿足

?f:A→B,s.tB=f(A)|A≠B∧A,B∈T2，

(10)

則稱B為A的人為修整，也就是在A的基礎上實施符合設計者意圖的變換。

如九寨溝等全國各地的旅游景點、各城市的公園等，無不是通過式(10)的變換實現的。

4 結束語

宏觀尺度上的地物演化極為普遍。探討地物演化的物理基礎和數學模型有助于揭示地物演化的本質?？臻g、時間與運動著的物質有不可分割的聯系，這一論斷已被狹義相對論證明。閔可夫斯基把三維空間中物質存在的非空性和時間存在的非負性作為物質存在的充要條件，解釋了空間和時間是物質固有的存在形式。

物質在時間中的存在體現為過程，過程是在時間中展開的。時間是一種算子，一切事物都在時間算子作用下發生變化。根據一切事物都會在時間中演化的必然性，給出地物的新生、演化、消亡、時態的過去時、現在時、將來時等概念的數學定義。應用給出的定義及其拓展的定義，對有生命周期的事物、古建筑的重建、歷史遺跡、自然景區的人為修整等進行了闡釋。