巧用“等效法”破解高中物理綜合題

陸曠升

[摘 要]在學習高中物理的過程中，經常遇到一些綜合題，這些綜合題的物理過程比較復雜，用常規方法解答很煩瑣，甚至無法解答。若能巧用“等效法”，問題就會變得簡單明了。文章利用“等效法” 分析解答一些常見的題型。

[關鍵詞]等效法;高中物理;綜合題

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0048-03

“等效法”是中學教學中常用到的思維方法。等效法的實質，是指在效果相同的情況下，將較為復雜難以理解的物理過程、物理現象轉換為熟悉的簡單的物理過程、物理現象，使問題簡單化，便于理解。等效法在高中物理教學中有著廣泛應用，比如合力與分力的等效替代關系，電源的等效，運動過程的等效，等等，都是根據等效思想引入的。下面結合教學實踐探討等效法的應用。

一、力的等效

力的等效，就是利用了合力與分力具有相同效果的特性，在分析問題時，利用一個力替代多個力，這樣就將較為復雜的物理模型轉化為簡單的物理模型，然后再利用熟悉的規律去列方程求解。

[例1]一個物體受到[F1]、[F2]……等6個共點力的作用而處于靜止狀態。現把[F1]逐漸減小到零，物體的加速度與速度怎樣變化？如再逐漸將[F1]恢復，則物體的加速度與速度又將怎樣變化？

解析：題中物體受到6個大小、方向都不確定的力，且[F1]的大小是在變化的，若要直接求這6個共點力的合力，顯然是不可能的。但物體受到6個共點力的作用而處于靜止狀態，則[F1]與其余5個力的合力等大反向。當[F1]逐漸減小到零時，則合外力逐漸變大，由牛頓第二定律[F=ma]知，加速度[a]逐漸變大，物體做加速度逐漸變大的加速運動，速度逐漸變大;當[F1]逐漸恢復時，則物體受到的合外力逐漸變小，加速度也逐漸變小，但物體仍然做加速度逐漸變小的加速運動，當[F1]恢復到正常時，加速度為零，速度達到最大值。

二、模型的等效

在重力作用下，物體在豎直面內的圓周運動中，“輕繩模型”的受力特點、運動規律、使用范圍，這些學生都比較熟悉，也很容易理解。但當某帶電體在重力、電場力、彈力等力作用下，在豎直面內做圓周運動時，問題就變得復雜了，學生難以解答，要解決此類問題，我們就得把它遷移到我們熟悉的“輕繩模型”中來，找到等效最高點、等效最低點，以及等效重力加速度，這樣問題就變得容易了。

[例2]如圖1所示，一光滑圓環軌道固定在豎直平面內，與光滑水平面相切于[B] 點，[B]點有小圓孔不影響小球的運動，圓形軌道半徑為[R]。整個空間存在水平向右的勻強電場，場強大小為E。一質量為[m]的帶正電小球，電量為[q]，從距離[B]點為[R3]處的[A]點以某一初速度沿[AB]方向開始運動，經過[B]點后，恰能在軌道上做完整的圓周運動（重力加速度為g，[sin37°=0.6，cos37°=0.8]）。求：帶電小球在[A] 點的初速度[v0]。

解析：小球在圓形軌道上運動時，受到的重力和電場力均為恒力，軌道對小球的彈力始終不做功。與“輕繩模型”有很大相似之處。也應該用類似的方法求出小球通過“最高點”時的速度。我們可以把重力和電場力的合力看作“等效重力”，假設重力和電場力的合力為[F合]，如圖2，且設[F合]與豎直方向的夾角為[θ]，則[tanθ=Eqmg=34]，即[θ=37°]，由此可得[F合=Eqsin 37°=54mg]。等效重力加速度為[g′=54g]，等效重力反向延長交圓周于[D]點，[D]點即為等效最高點。根據“輕繩模型”的結論可知，要使小球能做完整的圓周運動，小球在[D]點的速度為[vD≥g′R=5gR4];從[A]點到[D]點由動能定理有：[-mgR1+cos37°-qER13+sin37°=12mv2D-12mv20]，解得：[v0=52gR]

[例3]如圖3所示，一個擺線長為l、質量為m的帶正電擺球，懸掛在方向水平向左的勻強電場中。小球由水平位置A，從靜止開始向下運動，且到達豎直位置時，速度恰好為零。求小球運動過程中，擺線受到的最大拉力。

分析：小球從A運動到B，動能增量為零。因為擺線的拉力不做功，電場力（qE）對小球做的負功必定等于重力（mg）對小球做的正功，即[qEl=mgl]。可見，小球受到的電場力與小球的重力大小相等。小球到達B后，將在A、B之間來回振動，根據振動的對稱性，平衡位置（O）位于AB弧的中點。在平衡位置，電場力與重力的合力，如圖4，[F=2mg]，方向與水平方向成45°。將電場與重力場的疊加場等效為另一個重力場，等效重力加速度方向與水平方向成45°，大小為[g′=Fm=2g]，小球通過平衡位置（即等效最低點）時，小球速度最大為[vm]，此時繩的拉力最大。

由動能定理有：[Fl1-cos45°=12mv2m]

根據牛頓第二定律有：[T-F=mv2ml]

所以，繩的最大拉力為：[T=32-2mg]

三、運動的等效

運動的等效，是根據合運動與分運動具有獨立性和等時性的性質，將物體復雜的運動分解為若干個簡單的運動，這樣使分析和解答問題的思路與步驟變得極為簡捷。例如物體做平拋運動可等效成：水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，或平行于斜面初速度為[v0cosθ]的勻變速直線運動和垂直于斜面方向初速度為[v0sinθ]的勻變速直線運動。若運動物體受到重力等多個力作用時，利用牛頓第二定律分別求出這兩個方向的加速度，然后利用運動規律求解。

[例4]如圖5，整個裝置處于水平向左，場強為[E=1.0×104 N/C]的勻強電場中，一質量為[m=0.20 kg]，電量為[q=2×10-4 C]的小球，從傾角為[θ=37°]的斜面上以速度[v0=10 m/s]水平拋出，最后落到斜面上。問：拋出后經多長時間小球離斜面最遠？此時小球離斜面的最遠距離是多少？

解析：此題利用等效法進行分析解答，則解答過程比較簡單。把小球的運動分解為平行于斜面和垂直于斜面兩個方向的運動。如圖6，則垂直于斜面方向的初速度為[vy=v0sinθ=10×0.6=6 m/s]。對小球進行受力分析并由牛頓第二定律可求得這個方向的加速度[ay=mgcosθ-qEsinθm=2 m/s2]，小球在垂直于斜面方向做的是勻減速直線運動，當速度[vy]減到0時，小球離斜面最遠。所經歷的時間為[t=vyay=3 s]，并求得此時小球離斜面的最遠距離為[h=vy2t=9 m]。

四、過程的等效

在高中物理中，當涉及兩個或兩個以上物體間相互作用的問題時，比如動量和能量中的某些題目，由于過程中的“動態”出現反復交替等現象，導致物體的運動過程異常復雜。這類題目，我們無須逐個對過程進行分析，只需清楚其運動特點和規律，就把整個過程等效成一個相對簡單的過程，在把握了起始時刻和終了時刻兩個狀態后，定性分析，就能求解。

[例5]如圖7所示，質量為[m=2 kg]的槽A靜止在光滑水平面上，內壁間距[L=0.6 m]，槽內放有質量也為[m=2 kg]的滑塊B（可視為質點），B到左端側壁的距離[d=0.1 m]，槽與滑塊B之間的動摩擦因數[μ=0.1]。現給A一個水平向右的瞬時沖量[I=8 kg m/s]，槽A與滑塊B發生碰撞時，槽A與滑塊B交換速度。（[g=10 m/s2]）求：從槽開始運動到槽和滑塊B相對靜止經歷的時間。

解析：分別對A、B兩物體做多過程的運動狀態分析比較煩瑣。分析題目所給的條件和要求的問題，題目要求相對靜止時經歷的時間;A獲得一個水平向右的瞬時沖量，即以[v0=4 m/s]速度向右運動，A受到水平向左的摩擦力[f=μmg=2 N]，向右做勻減速直線運動;B受到水平向右的摩擦力[f=μmg=2 N]，向右做勻加速直線運動，且A、B的加速度大小相等。當A、B間的相對位移等于d時，A、B發生第一次碰撞，之后A、B速度發生交換，A受到的摩擦力變為向右，向右做勻加速直線運動;而B受到的摩擦力變為向左，向右做勻減速直線運動。當A、B再次發生碰撞后，速度再次發生交換，摩擦力的方向也再次改變。依次重復，直到A、B相對靜止。過程復雜，碰撞次數也不能確定。這個問題，我們可以等效為物塊B在摩擦力[f=μmg=2 N]的作用下，做初速度為0的勻加速直線運動，直至達到共速時所用的時間即為題目所求的時間。A、B在滑動過程中，系統動量守恒，設槽和滑塊B相對靜止時速度為v，則[I=2mv]，解得[v=2 m/s]。B的加速度為[μmg=ma]，解得[a=1 m/s2]。由[v=at]，解得[t=2 s]。

五、電源的等效

等效電源在高中物理學習中不常用，學生對此也常常覺得難掌握。但在一些電學問題中，比如利用外接法測電源電動勢和內阻的實驗中，對電動勢和內阻的測量值進行誤差分析時，利用此法就很便捷。另外，在一些電路中要分析滑動變阻器消耗功率的最值問題時，如果利用常規方法分析，往往很繁雜。等效電源在解決這類問題時就變得簡單了，同時又能體現物理思想。使用等效電源的關鍵是要準確求出等效電源的電動勢和內阻。

[例6]如圖8所示，電源電動勢為[E=10 V]，內阻為[r=1 Ω]，定值電阻[R1=9 Ω]，[R2=10 Ω]，可變電阻[R3]可在[0～20 Ω]之間變化，求[R3]消耗的最大功率。

解析：此題如果先求電路總電阻，再求通過[R3]的電流或電壓，最后利用[Pm=I2R3]或[Pm=U2R3]討論[R3]消耗的最大功率，顯然這個思路很繁雜。能否利用結論分析呢？若電源內阻恒定不變，當外電阻等于內電阻時，電源的輸出功率最大。由于[R3]不是整個外電阻，因此不能直接套用上述結論。如果“把電源與[R1]串聯后再與[R2]并聯”看成一個整體，等效為一個新的電源。新電源的等效電動勢為[E′=ER2r+R1+R2=5 V]，新電源的等效內阻即為電源內阻r與[R1]先串聯再與[R2]并聯后的總電阻，則[r′=r+R1R2r+R1+R2=5 Ω]。[R3]就變為整個外電路，此時，當[R3=r′=5 Ω]時，[R3]消耗的功率最大[Pm=E′24r′=1.25 W]。

以上是等效法在高中物理中的一些典型應用，在平時的學習中，熟練掌握最基本物理模型是關鍵，在實際應用中遇到復雜問題時，抓住問題的實質，靈活運用等效法，繁雜的問題也可以迎刃而解。

（責任編輯 易志毅）