以問促學，探究函數性質

梁舒尹

[摘 要]二次函數的性質是高中數學的重要內容.采用“問題導學”教學模式，研究二次函數的性質，能讓學生的學習呈現螺旋式上升，能發展學生抽象的邏輯思維.

[關鍵詞]問題導學;數形結合;二次函數;性質

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0014-02

一、深挖教材，精準解讀

教材是眾多專家集體智慧的結晶，經過長期的使用、修改而不斷完善，日臻成熟.二次函數的性質，在內容上涉及的知識點初中大多已經接觸并且學習過.因此，在備課時，怎樣處理教材成為一個關鍵點.筆者認真研讀教材，比照初中數學教材，切實把握高中數學教材對本節課內容的內涵及外延.在初中研究二次函數性質，都是從具體二次函數的圖像中直接歸納得到的.比如，開口方向、對稱軸表達式、頂點坐標、函數增減性等.這樣的教學方式符合初中學生的認知水平，讓二次函數性質的學習更為直觀、具體，學生能夠對二次函數性質有個很好的初步認識.但是從數學學科角度而言，以這樣的方式得到的二次函數性質顯然缺少嚴謹性.高中對二次函數性質的再學習，重點就是要能夠對其主要性質進行嚴格的代數證明，教材在編寫時對二次函數的單調性給出了嚴格的代數證明，也說明了這一點.高中數學的學習重在發展學生的抽象邏輯思維，進一步提高學生的認知水平.深挖教材，對教學內容有一定的感悟，才能使教材在教學實際中真正做到“物盡其用”，實現高效課堂.

《二次函數的性質》是在學習了函數的概念，掌握了函數單調性證明的基礎上展開的，是對函數及其性質學習的深化和提高，起到承上啟下的作用.教材在第一課時已對二次函數的圖像進行研究，本課通過配方法將一般二次函數化為頂點式，結合二次函數的圖像對其性質進行系統的歸納，再對其單調性給出嚴格的代數證明，從“形”到“數”，又從“數”到“形”，是滲透數形結合思想的重要素材.二次函數是一種非常基本的初等函數，對其性質的研究也為后續研究其他函數性質提供模式.從知識應用價值上看，二次函數是解決許多實際問題的常用數學模型，還是建立函數、方程和不等式之間的有機聯系的基礎，是解決數學問題的常用工具.

二、以“問”導“學”，落實目標

【新課引入】

問題1：為什么要研究二次函數的性質？

設計意圖：通過“置疑”，啟發學生對研究二次函數性質原因的思考，激發學生學習興趣.二次函數性質是由函數解析式得到圖像，對函數圖像特征進行概括出來的一些規律性的東西.知道這些性質后，我們可以快速通過二次函數表達式得到直觀的函數圖像，進而進行更多的研究，函數性質可以幫助我們認識從“數”到“形”的規律.

【概念形成】

問題2：請用配方法將下列二次函數化為頂點式，它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么？

（1）[y=2x2-4x+3].

（2） [y=-x2+4x-5].

（3）[y=12x2+x+12].

問題3：畫出函數圖像，觀察它們的單調區間.最值分別是什么.

設計意圖：聯系前面所學二次函數性質相關的知識，引導學生對具體的二次函數圖像進行觀察，得到具體二次函數的單調性與最值，為后面將性質推廣到一般二次函數的教學做好鋪墊.

問題4：為什么要將一般式化為頂點式？

設計意圖：通過頂點式可以直觀地得到二次函數的性質，知道其圖像特征，畫出函數圖像，進行再研究，這是一個從“數”到“形”的過程.

問題5：如何研究函數[y=ax2+bx+c]的性質呢？

根據函數表達式，它是二次函數嗎？讓學生注意到當[a≠0]，[y=ax2+bx+c]才是二次函數.引導學生先將一般式化為頂點式[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]，從頂點式知道開口方向、對稱軸、頂點坐標，進而得到函數圖像，結合函數圖像特征，歸納單調區間、最值.

設計意圖：從特殊到一般，從“形”到“數”，引導學生觀察二次函數圖像的特征，從而用數學語言抽象概括出函數的性質，滲透數形結合思想.根據[a]的正負，開口方向、單調區間、最值都不同，滲透分類討論的思想.

【概念深化】

問題6：從頂點式[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]中，[a，-b2a]，[4ac-b24a]你可以知道二次函數的哪些性質？

設計意圖：引導學生根據二次函數頂點式，直接得到其主要性質，并思考二次函數各主要性質之間的聯系.

問題7：為什么當[a>0]時，二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]在[-∞，-b2a]單調遞減，如何證明？

聯系前面所學知識，用單調性的定義進行證明.取值、作差變形、定號、判斷.作差變形為[f（x2）-f（x1）=（x2-x1）a（x2+x1）+b].判斷其與0的大小是個難點.將問題等價于判斷式子[a（x2+x1）+b]的正負.分析已知[a>0]，[x1， x2∈-∞，-b2a]后，讓學生給出解決辦法.根據學生的想法，加以引導，解決問題.

問題8：對稱軸為什么是直線[x=-b2a]？如何證明？

對稱軸為直線[x=-b2a]，說明圖像是軸對稱圖形，關于直線[x=-b2a]對稱.軸對稱圖形，將二次函數圖像關于直線[x=-b2a]對折能夠完全重合.引導學生從數學角度對這種現象進行描述.在對稱軸兩邊任取兩個點，這兩個點到對稱軸距離相等，那么它們的函數值相等.用數學式子表述：設對稱軸為[t]，[?x∈R]，有[f（t+x）=f（t-x）]恒成立，代入二次函數表達式[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，得

[a（t+x）2+b（x+t）+c=a（t-x）2+b（t-x）+c?2x（2at+b）=0]恒成立，即[t=-b2a].

設計意圖：通過“激疑”，引導學生認識“合理的”“直觀的”的單調性，對稱軸用代數進行嚴格的證明，這又是一個從“數”到“形”的過程，培養了學生的抽象邏輯思維.

問題9：[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]與[y=ax2+bx+c（a≠0）]比較有什么優點？

設計意圖：學生討論分析，體會二次函數頂點式在研究二次函數性質及函數圖像上的直觀性.

問題10：在研究二次函數性質的過程中，滲透了哪些數學思想？

從特殊到一般：通過對具體二次函數性質的研究推廣到對一般二次函數性質的研究，得到二次函數的主要性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標、單調區間、最值.

數形結合：在研究二次函數的單調性過程，對函數圖像特征進行觀察，再歸納概括函數性質，還對單調性、對稱軸加以嚴格證明，這就是“形”與“數”結合的過程.這種方法經常用來研究函數，對今后的學習非常重要.

分類討論：表達式[y=ax2+bx+c]，當[a=0]為一次函數，當[a≠0]為二次函數，研究二次函數性質時需要分開討論[a>0]，[a<0]兩種.

三、課堂育人，立德樹人

數形結合是高中數學學習的一個非常重要思想方法.二次函數的性質是滲透數形結合思想非常重要的素材.在研究二次函數性質過程中，基于學生初中已經學習的開口方向、對稱軸和頂點坐標這三個主要函數性質學情，引導畫出函數草圖，觀察、歸納單調性與最值，這是從“數”到“形”，又從“形”到“數”的過程.在“概念深化”環節中，運用嚴格的代數語言對單調性、對稱軸表達式進行證明，也是一個從“數”到“形”的過程.對二次函數性質的再研究，突出函數“數”與“形”之間的密切聯系.數形結合思想貫穿整節課教學.

教學設計采用問題導學法.在“新課引入”環節中，以問題“為什么要研究二次函數的性質？”引發學生討論，激發學生求知欲.函數的性質反映了函數的特征，建立起函數“數”與“形”密切的聯系.在“概念形成”環節中，通過問題串引導學生，從對特殊的二次函數性質進行研究推廣到對形如[y=ax2+bx+c（a≠0）]一般二次函數的性質進行研究.將研究的主動權交給學生，尊重學生學習的主體地位，幫助其掌握推理的基本方法.在研究過程中，提出“為什么要將二次函數表達式化為頂點式？”的問題，讓學生體會用頂點式研究二次函數性質的合理性.在“概念深化”環節中，以問題“為什么當[a>0]，[y=ax2+bx+c（a≠0）]，在[x∈-∞，-b2a]單調遞減？”“為什么[y=ax2+bx+c（a≠0）]圖像的對稱軸是直線[x=-b2a]？”對二次函數的單調性與對稱軸表達式進行質疑，引導學生運用代數知識，對從圖像上看覺得“顯然”的東西進行嚴格證明，從而達到“釋疑”的目的.在教學過程中，培育學生的理性精神，引領其追求真理，實事求是.整個教學設計，以“問”導“學”，用問題引領學生，從每個問題的提出到每個問題的解決，有條不紊地推進教學，培養學生不畏困難、勇于探索的堅韌品質.

（責任編輯 黃桂堅）