單邊周期環形諧振徑向聲子晶體結構

呂銳翔， 李麗霞， 楊繼博

(西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055)

眾所周知，盤類結構廣泛應用于機械、電子、紡織、冶金、采礦、汽車、航空、航天及船舶等領域，隨著現代科學技術的飛速進步，要求機械裝備向低噪聲、振動小，或輕型、高精度方向發展，而盤類結構通常是振動能量的載體或者傳播體，其結構形式、動態特性及動態激勵力的傳遞方式，對整個系統的振動有重要影響。目前對于盤類結構的減振主要是通過提高其加工精度、控制原材料的質量或通過阻尼減振等。而往往這些方法會增加盤類結構的加工成本和加工難度，同時對于低頻振動的隔離常難以奏效。所以，如何在現有的基礎上，引入新技術進一步降低盤類結構的振動是十分必要的。

在特定方向上具有周期性的結構對于特定頻率段內的彈性波傳播具有抑制作用，其可以對盤類結構在特定頻率段的振動進行控制[1-3]。聲子晶體理論使得周期結構的減振特性得到了進一步的發展[4-5]。目前對于聲子晶體其帶隙的機制解釋主要有兩種，一種是布拉格散射(Bragg)機制[6]，另一種是局域共振機制[7]。其中基于局域共振機制的聲子晶體相對于基于布拉格散射機制的聲子晶體可以在相對較小的晶格常數下得到更加低頻的帶隙，從而達到對結構低頻振動的控制。本文將聲子晶體理論引入到工業應用中常見的盤狀結構，設計出具有低頻減振特性的徑向聲子晶體結構，有助于實現對盤狀結構低頻振動的抑制。

Torrent 等[8-10]將聲子晶體理論引入到徑向周期結構中，設計出一種在徑向上具有周期性的徑向聲子晶體結構，同時驗證了其存在的聲學帶隙。隨后Xu等[11-13]將徑向聲子晶體推廣到振動控制領域，得到了基于布拉格機制的彈性波帶隙，理論上驗證了其對于盤狀結構振動的控制。進一步Li等[14]基于Lamb理論研究了周期性波紋的徑向聲子晶體結構，得到了大于20 kHz的高頻帶隙。An等[15]研究了一種在徑向以及周向上具有周期性的廣義徑向聲子晶體結構，得到了中心頻率位于16 kHz的高頻寬帶隙。由于實際工程中對于振動的控制多在低頻時，上述研究雖然在理論上得到了其結構的帶隙，但由于其帶隙位于高頻處，并不能在目前的工業領域得到應用。對Shi等[16-18]提出了基體盤由兩種材料在徑向上以特定的寬度周期性排列，得到了相較低的帶隙。隨后Li等[19]研究了在環氧樹脂和鋁交替排列組成的基體盤上周期性附加散射體的聲子晶體結構，得到了低于500 Hz的帶隙。Gao等[20]通過在硅橡膠和鉛這兩種材料沿徑向周期排列的基板盤上附加橡膠散射體得到了低于10 Hz的低頻帶隙。雖然上述研究將帶隙降低至1 000 Hz以內，但是其基體盤是通過兩種材料組合而成，使得其結構在現有的加工條件下應用于工業領域中難以保證其對于復雜工況的適應，同時基體盤不同材料連接處的易斷性使其無法確保工業設備的穩定運行。

1 模型和計算方法

研究提出的新型環狀諧振徑向聲子晶體結構如圖1所示，其中圖1(a)是5個單位晶格結構沿徑向方向周期排列并且繞Z軸旋轉得到的三維實體模型，圖1(b)單位晶格結構圖,圖1(c)徑向聲子晶體結構的形成方式。如圖1(b)所示單位晶格結構是由A、B、C三部分組成， A部分寬度為晶格常數。其結構幾何參數如下：其中A部分寬度為a，高度為m、B部分寬度為d，高度為c、C部分寬度為b，高度為h，同時C部分距基板距離為n，基板距Z軸距離為r0。

(a) 徑向聲子晶體盤三維模型

(b) 晶格結構

(c) 徑向結構形成方式

為了研究所提出的徑向聲子晶體結構的振動特性，本文從無限周期結構的能帶圖，有限周期結構頻響函數曲線，本征位移場三個方面進行研究。理論上由于結構在徑向方向上具有無限周期，因此根據Block定理，只需研究單個周期的晶格結構，其中單個晶格結構在徑向方向的周期邊界條件可以表示為

u(r+ra,z)=u(r,z)eikrra

(1)

式中:r是徑向位置;a是晶格常數;kr是在徑向方向上Bloch波矢量的分量。研究通過改變第一布里淵區邊界的k值，來求解特征值問題。本文從有限元軟件COMSOL Multiphysics5.2中的特征頻率求解器模塊的參數掃描函數掃描在R方向上k=0到k=1總共11個細分點，可以得到每個點的固有頻率，進而得到所提出的新型環狀諧振徑向聲子晶體結構的能帶結構圖。

對于有限周期結構，通過計算其頻響函數曲線來描述其彈性波傳播特性，本文研究了在徑向方向上由有限個單位晶格組成的周期陣列結構。通過在有限周期結構的一端沿某一方向施加一定范圍頻率的加速度激勵，同時在其另一端拾取其單個頻率的加速度響應，頻響函數定義為通過有限周期結構的拾取端加速度響應與激勵端加速度激勵之比，其數學表達式為

T=20lg(a2/a1)

(2)

式中,a1代表激勵端的加速度激勵a2代表拾取端的加速度響應。通過改變激勵端加速度頻率獲得其頻響函數曲線。

2 帶隙及機理分析

為了進一步研究徑向聲子晶體的帶隙特性，本文給出了晶格結構具體幾何參數如表1所示，同時給出了其晶格結構所組成的三部分的材料參數如表2所示，其中A部分的基板材料為環氧樹脂，B部分的彈性材料為硅橡膠，C部分的質量塊為鋼。

表1 徑向聲子晶體晶格結構參數

表2 徑向聲子晶體結構材料參數

徑向聲子晶體能帶結構圖如圖2(a)所示，從圖中可以看出結構1在0～600 Hz區間內有5條能帶，并且在第一和第二能帶之間產生了一個位于0.016～0.082(56.5～246.91 Hz)的低頻寬帶隙。為了進一步驗證所提出徑向聲子晶體其所產生帶隙的準確性，分別計算了5個周期下的二維軸對稱模型徑向以及軸向激勵下的頻響函數曲線圖，同時計算了5個周期下的三維模型軸向激勵下的頻響函數曲線圖，如圖2(b)所示。從圖中可以看出，在加速度激勵下，計算所得到的二維軸對稱模型與三維實體模型在的頻響函數曲線的帶隙范圍吻合，并且其與無限周期能帶結構圖中的帶隙吻合，進一步驗證了所提出的徑向聲子晶體結構其帶隙的準確性。

(a) 晶格的能帶結構 (b) 有限周期結構頻響曲線

為了進一步探討帶隙的產生機制，給出了能帶結構圖中帶隙上下邊界處特殊點的本征位移場，如圖3所示。從圖3中可以看出在E點，也就是帶隙的起始頻率處。結構的振動主要為基板上部C部分質量塊的垂直振動(Z方向)，同時引起了彈性材料B部分的垂直振動(Z方向)，進一步傳遞到基板上。這是由于結構由三種材料組成，并且每種材料的固有頻率不同，當激勵頻率接近質量塊的固有頻率時，引起了質量塊在垂直方向的振動，此時質量塊沿垂直方向通過彈性軟材料硅橡膠傳遞給基板一個作用力，其傳遞力的大小與質量塊的質量和彈性軟材料的剛度成正比，進而抑制了基板的振動，使得彈性波不能在基板中傳播。在帶隙范圍內，圖3(a)E點始終保持為主振型，其作用力持續在基板上，基板的振動持續被抑制。根據模態疊加原理[21]。

x=ηA1+ηA2+…+ηAn

(3)

式中：x表示響應；ηAn表示模式An的參與系數。隨著激勵頻率逐漸接近質量塊的固有頻率時，模式A1的放大系數逐漸增大，其參與系數ηA1隨之增大，振子的振幅隨之上升，同時使得作用在基板上的作用力逐漸增大，直到抑制基板的振動，過程如圖4所示。圖4為能帶結構圖中第一頻帶上K從0～1所有點的本征位移場。隨著激勵頻率的增大，逐漸遠離質量塊的質量塊的固有頻率時，放大系數變小使得參與系數ηA1逐漸降低，質量塊的振動方向與E點相反。此時基板與質量塊在垂直(Z方向)反向振動，進而壓縮了B部分的硅橡膠，此時F點轉換為主振型，如圖3(b)所示，帶隙截至。

(a) E點

(b) F點

圖4 第一能帶所有點的本征位移場

進一步，本文給出了對比模型2和3，其晶格結構的幾何參數與模型1一致，其中模型2的B部分材料為硅橡膠，C部分材料為環氧樹脂，模型3是將模型1中A部分的材料由原始的環氧樹脂變為鋼。本文分別計算了模型2和模型3的能帶結構圖，如圖5所示，其中圖5(a)為模型2的能帶結構圖，圖5(b)為模型3的能帶圖。從圖中可以發現，當質量塊為與基板材料相同的質量較輕的環氧樹脂時，相對于質量塊為鋼的能帶結構圖，帶隙的起始頻率和截至頻率均有升高，并且起始頻率有較大的上升。但是對于僅僅將A部分的材料更換為鋼，其帶隙的范圍為58.58～137.8 Hz。帶隙的起始頻率幾乎保持不變，而截至頻率發生了較大的下移。對于帶隙起始頻率和截至頻率可以理解為等效質量彈簧系統，同時可以由下式確定。

(4)

(5)

式中:f1為起始頻率;f2截止頻率;K1為等效彈簧的剛度;M1為其振子的質量;M2為其基板以及彈簧的質量。

(a) 模型2

(b) 模型3

對于本文所提出的聲子晶體盤狀結構，其振子質量M1為C部分的質量，等效彈簧為B部分的剛度。對于模型2，其C部分為環氧樹脂，而其它參數不變，相對于模型1，C部分質量M1減少，由式(4)可知帶隙起始頻率增大。而對于截止頻率，由式(5)可知，由于M1的質量遠遠大于M2的質量，因此當M1減小，其截至頻率變化較小。而對于模型3，由于B部分以及C部分均為發生改變，因此對于起始頻率由式(4)可知，帶隙起始頻率幾乎不變。而對于截至頻率，由式(5)可知，M2發生較大的增加，因此截至頻率出現較大的下移。

3 參數對帶隙的影響

3.1 基板厚度m對帶隙的影響

為了驗證帶隙的截至頻率是由于基板質量的大小所影響，本文在僅改變A部分基板的厚度m時，分別計算了其帶隙范圍，其計算結構如圖6所示。從圖中可以看出，隨著m的增加，帶隙的起始頻率幾乎保持不變，但是截至頻率隨著m的增加而降低。這是由于基板A部分在截至頻率處的振型在垂直(Z)方向，隨著厚度m增加，基板A的質量在增加，這也與上文中基板材料為鋼時，帶隙的截止頻率大幅降低一樣。為了進一步驗證僅僅是基板的質量對帶隙的截止頻率產生影響，本文計算了在基板為環氧樹脂時，其在寬度a不變時僅僅改變基板厚度m的帶隙范圍。鋼的密度為7 890 kg/m3，環氧樹脂的密度為1 180 kg/m3，由于寬度不變，因此基板為環氧樹脂時，其基板厚度m為26.7 mm，因此選取基板厚度m為27 mm，計算得到其帶隙位于59.17～136.6 Hz，結果與基板為鋼，厚度為4 mm時的帶隙范圍基本吻合。

圖6 基板厚度m對帶隙的影響

3.2 鋼塊高度h對帶隙的影響

進一步分析了在其它參數不變時，僅改變C部分質量塊的高度h時，分別計算了其帶隙范圍，其計算結構如圖7所示。從圖中可以看出，隨著質量塊高度的增加，帶隙的起始頻率在降低，而截至頻率基本保持不變。這是由于隨著質量塊高度的增加，其振子質量M1隨之增加，由式(5)可知，帶隙的起始頻率降低。而對于截止頻率，由于M1的質量遠遠大于M2的質量，因此當M1增大時，由式(6)可知截至頻率僅有較小的降低。

圖7 鋼塊高度h對帶隙的影響

3.3 橡膠的高度c對帶隙的影響

最后分析了在其它參數不變時，僅改變B部分橡膠塊的高度c時，分別計算了其帶隙范圍，其計算結構如圖8所示。從圖中可以看出，隨著橡膠塊高度的增加，帶隙的起始頻率保持不變，截止頻率逐漸降低。這是由于隨著橡膠的高度c的增加，M2隨之增加。由式(5)以及式(6)可知帶隙的起始頻率不變，截至頻率逐漸降低。

圖8 橡膠的高度c對帶隙的影響

4 結 論

本文研究了新型環狀諧振徑向聲子晶體結構的帶隙特性，分析了其晶格結構參數對帶隙特性的影響，其結論如下：

(1) 新型環狀諧振徑向聲子晶體結構在基板材料為一種時，具有低頻寬帶隙特性，相比于傳統的徑向聲子晶體，其基板材料的單一使得其結構在工業應用中更加的穩定。

(2) 基板以及橡膠塊的高度對帶隙的截止頻率有較大的影響，對帶隙的其實頻率幾乎沒有影響。而質量塊的高度決定著帶隙的起始頻率大小，但是其影響較小，同時其對于截止頻率幾乎無影響。因此可以在對帶隙范圍影響較小時，通過降低質量塊的高度，增加基板的厚度，來進一步增加結構整體的穩定性。