淺談金融學(xué)中的數(shù)學(xué)模型

徐忠霏 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院

一、金融的數(shù)理化發(fā)展進(jìn)程綜述

亞當(dāng)·斯密的著作《國富論》標(biāo)志著經(jīng)濟(jì)學(xué)以一門獨立學(xué)科的姿態(tài)登上了學(xué)術(shù)的舞臺；而金融學(xué)作為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個重要的組成部分，在經(jīng)濟(jì)學(xué)的漫長發(fā)展過程中，也逐漸分離成為一門獨立的學(xué)科。如果說經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門研究由于資源的稀缺性而導(dǎo)致資源配置和利用問題的學(xué)科，那么金融學(xué)的研究對象則是將這個范圍聚焦于討論貨幣和信用為中心以及由此衍生出的相關(guān)金融中介（商業(yè)銀行、證券公司、保險公司等）與市場（貨幣市場、資本市場、衍生品市場等）。金融學(xué)在自身的不斷演變的過程中不斷與其他學(xué)科相結(jié)合，其中與數(shù)學(xué)的結(jié)合使金融學(xué)由定性描述的經(jīng)驗分析走向定量描述的數(shù)量分析，并誕生了諸如數(shù)理金融學(xué)、金融工程學(xué)、金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)等交叉學(xué)科，而同時金融學(xué)本身也在運用大量的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法分析傳統(tǒng)金融學(xué)無法精確描述和解釋的問題。

金融理論的數(shù)理化開始于20 世紀(jì)初。在這個時期，金融理論逐漸不再完全依靠定性分析，開始使用一些數(shù)學(xué)方法和技巧來研究金融學(xué)問題。在這一時期，有以柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為開端的用函數(shù)和微積分方法來研究經(jīng)濟(jì)與金融問題，促使了諸如效用、儲蓄、供求函數(shù)等的產(chǎn)生；偏微分方程的兩種推導(dǎo)過程也在這一時期被提出，這是后期研究期權(quán)定價時重要的維納過程的雛形；利率的證券價格彈性模型也在1938 年建立。

1952 年馬科維茨的博士論文《投資組合的選擇》是現(xiàn)代金融向數(shù)理化發(fā)展的第一個突破口。基于投資組合理論和一般均衡理論的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）及其衍生的套利定價理論（APT），產(chǎn)生了現(xiàn)代意義上的較為科學(xué)的金融投資理論，被廣泛應(yīng)用于投資實踐，如證券估值、資本資產(chǎn)評估、資本預(yù)算決策等。此后在1954 年阿羅和德布魯在論文《競爭經(jīng)濟(jì)中均衡的存在性》、麥肯齊在論文《論格雷厄姆國際貿(mào)易模型及其他競爭經(jīng)濟(jì)的均衡》中分別獨立地系統(tǒng)論證了現(xiàn)代一般均衡理論的存在性，即著名的阿羅-德布魯（Arrow-Debreu）一般均衡理論，被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的理論來源之一。同一時期，1958 年莫迪利亞尼和米勒在《資本成本、公司財務(wù)和投資管理》中提出了M-M 理論，即證明了公司的資本結(jié)構(gòu)（債權(quán)與股權(quán)之比）和市場價值不相干。該理論為研究公司金融里的資本結(jié)構(gòu)問題提供了一個有用的起點和分析框架，首次在文獻(xiàn)中提出無套利原理，為后續(xù)權(quán)衡理論、米勒模型等的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

60 到70 年代是數(shù)理金融理論逐漸豐富起來的時代。一方面，在1975 年，布朗森提出了資產(chǎn)組合平衡模型，放松了貨幣模型對資產(chǎn)替代性的假設(shè)，認(rèn)為各種資產(chǎn)之間并不具備完全的可替代性，至少存在資產(chǎn)收益的差別；另一方面，B-S 期權(quán)定價模型作為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中最重要的研究成果之一，為包括股票、證券、貨幣等在內(nèi)的新興衍生品金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎(chǔ)。

80 年代以來至今，金融學(xué)的數(shù)理化進(jìn)程日臻成熟、成果不斷涌出。不僅僅是金融學(xué)者需要掌握豐富的數(shù)學(xué)知識，而且金融學(xué)也直接引進(jìn)了大量從事數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)與控制論、甚至是物理建模和統(tǒng)計物理方面的學(xué)者。在這一階段，已有的理論體系進(jìn)一步豐富和完善。各種新理論的出現(xiàn)都逐漸對各種假設(shè)條件的要求變得不那么苛刻了，這增強(qiáng)了新理論實用性和解釋能力。在期權(quán)定價和實物期權(quán)方面，基于B-S 模型及其衍生改進(jìn)的二項式模型和蒙特卡洛模擬，市場在實踐中產(chǎn)生了大量估價技巧，并帶動了相關(guān)金融衍生品的大量出現(xiàn)和證券交易機(jī)制本身的蛻變。1986 年麥克唐納和西格爾提出了實物期權(quán)并在隨后得到了應(yīng)用。在80 年代和90 年代里，利率現(xiàn)期結(jié)構(gòu)的模型被大量提出，如CIR 模型、HJM 模型、BGM 模型等；到現(xiàn)在，一般投資銀行都雇有專門從事高級期限結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型研究的專家，數(shù)學(xué)模型的廣泛運用大大提高了金融機(jī)構(gòu)預(yù)測和決策的科學(xué)性。此外，在最優(yōu)消費投資組合、倒向隨機(jī)微分方程、金融計量方面都有很多研究成果出現(xiàn)。

二、現(xiàn)代金融理論中的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型

（一）資產(chǎn)組合理論

資本組合理論重點分析個體在不確定性的條件下如何支配金融資產(chǎn)，使財富得到最適當(dāng)?shù)耐顿Y，同時降低風(fēng)險。馬科維茨在一系列既定假設(shè)前提下通過上述分析得出：風(fēng)險控制是資產(chǎn)配置中的核心問題，分散化投資是能在各項資產(chǎn)的收益相關(guān)程度很小的條件下最大限度的降低風(fēng)險水平。資產(chǎn)組合理論有一定的缺陷，即是實證分析的缺位，沒有具體衡量風(fēng)險收益關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)。為了讓資產(chǎn)組合理論的思想更加直觀精確的表達(dá)，夏普等人引入了資本資產(chǎn)定價模型。

（二）資本資產(chǎn)定價模型

資本資產(chǎn)定價模型是在一系列嚴(yán)格的前提假設(shè)下，基于資產(chǎn)組合理論，對資產(chǎn)組合在收益和風(fēng)險的權(quán)衡中形成的均衡價格的最優(yōu)求解，并分析和預(yù)測資產(chǎn)收益和風(fēng)險的關(guān)系。該理論導(dǎo)出了界定風(fēng)險與回報率之間的關(guān)系式，并引入了β 系數(shù)（某種資產(chǎn)組合的收益與市場收益的協(xié)方差比整個市場收益的方差）來衡量表達(dá)式中該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的系統(tǒng)性風(fēng)險，這個表達(dá)式就是著名的證券市場線（SML）。該模型最重要的工作就是進(jìn)一步量化了無法測量的風(fēng)險這一指標(biāo)。CAPM 在實際運用中存在計算收益風(fēng)險所需計算量非常大和模型中的證券市場線里影響收益和風(fēng)險的因素過于簡略等兩個主要問題。為了解決上述問題，因素模型應(yīng)運而生。

（三）因素模型與套利定價理論

APT 的研究的內(nèi)容與CAPM 一脈相承，不同的是前者在用收益率作為因素的同時還引入了其他因素共同解釋收益和風(fēng)險的關(guān)系，建立在收益率對各種因素變動的反應(yīng)程度這一條件下。該模型引入多因素來解釋收益率的變動，并且放寬了假設(shè)條件，所以可以看作是廣義的CAPM 模型。

（四）期權(quán)定價模型

期權(quán)是一種權(quán)利，就是買方在到期日之前可以以執(zhí)行價格（期權(quán)合約規(guī)定的價格標(biāo)準(zhǔn)），選擇或拒絕買進(jìn)或賣出特定商品的一種權(quán)利。期權(quán)分為歐式和美式，前者必須在到期日選擇執(zhí)行期權(quán)，而后者可于到期日前任何時候執(zhí)行。期權(quán)定價模型（B-S 模型）主要聚焦于歐式期權(quán)的定價問題。該模型有一個重要的理論基礎(chǔ)，即股票價格服從幾何布朗運動。而伊藤定理認(rèn)為，布朗運動是最基本的一般擴(kuò)散過程，所以可以將衍生性金融產(chǎn)品價格表達(dá)成已知標(biāo)的資產(chǎn)價格的隨機(jī)過程。在無套利機(jī)會、無交易費用等一系列假設(shè)條件下通過偏微分方程相關(guān)理論，可以得出一個不分股利的歐式看漲期權(quán)的定價公式。借由歐式無股利看漲和看跌期權(quán)的平價關(guān)系可得相同條件下歐式看跌期權(quán)的定價公式。在應(yīng)用此模型時很多情況下需要求解復(fù)雜的偏微分方程，而由于期權(quán)形式的多樣性和復(fù)雜性，這有時候是一項煩瑣甚至是無法完成的工作。鑒于此，期權(quán)價格的近似求解方法受到更多關(guān)注。

（五）二項式期權(quán)定價模型

二項式期權(quán)定價模型是為了簡化B-S模型在一些情況下復(fù)雜的形式和計算而近似求解期權(quán)價格的方法。該模型概念推倒簡明、計算方式簡單、適用情型廣泛，但是對于實際的期權(quán)價格評估需要大量計算機(jī)仿真模擬計算過程，復(fù)雜量大，并且得到的結(jié)果沒有B-S 定價模型精確。

三、現(xiàn)代數(shù)理金融理論的發(fā)展趨勢與展望

金融學(xué)在數(shù)學(xué)化快速發(fā)展的過程中逐漸暴露出了很多問題，招致了其他學(xué)科的挑戰(zhàn)，為了修正和彌補(bǔ)自身存在的問題，數(shù)理金融引入了以下理論和方法：

（一）非線性方法

非線性方法用來描述由于假設(shè)條件放寬后的一般有效市場，即分形市場。這種已經(jīng)被運用在流體力學(xué)里的理論可以把沒有規(guī)律的運動定量化，借以找到運動規(guī)律。這種運動可以被近似的等價于證券市場等金融市場上的一些無規(guī)律波動，通過成熟的非線性方法可以在數(shù)量級上描述金融價格的一般均衡。

（二）現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)概率統(tǒng)計理論

概率論與數(shù)理統(tǒng)計一直是金融學(xué)研究的一種最基本的方法。圍繞著這些研究對象所建立的金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型本質(zhì)上就是用概率統(tǒng)計來解決實際經(jīng)濟(jì)問題。在投資組合理論的基礎(chǔ)上，一些描述收益與風(fēng)險之間關(guān)系更為確切的數(shù)學(xué)方法被引入來修正原有模型：以協(xié)方差和方差間的波動為基礎(chǔ)的ARCH 模型和利用似然函數(shù)來估計波動的SV 模型。這些都在現(xiàn)代金融計量中得到重要的應(yīng)用。此外，現(xiàn)代概率論和運籌學(xué)結(jié)合中被廣泛運用在其他領(lǐng)域里的最優(yōu)停時原理也被金融學(xué)所吸納。在金融決策（比如在交易成本一定的債券投資、風(fēng)險控制等），一些數(shù)理學(xué)家運用這種方法取得了意想不到的結(jié)果，他們旨在讓復(fù)雜傳統(tǒng)的金融模型在概率論的處理下得以簡化，得到更廣闊的應(yīng)用。

（三）現(xiàn)代控制理論

現(xiàn)代控制理論中的脈沖是一種描述如同脈搏般波動的沖擊現(xiàn)象，如電壓或者電流。而隨著金融研究的不斷深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)諸如股票、基金、期貨期權(quán)等證券交易產(chǎn)品的波動圖并非如傳統(tǒng)理論里說的那樣是連續(xù)有界的，而大部分情況是離散間斷的。因此脈沖的離散信號模型在某種程度上更符合金融市場上交易的真實變動情況。此外，隨機(jī)最優(yōu)等新興的控制學(xué)理論也被吸納到了消費、投資、經(jīng)濟(jì)增長等領(lǐng)域的研究之中。

（四）人工智能技術(shù)

把以退火遺傳、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、專家系統(tǒng)等一系列智能型新算法運用在傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)方法上，可以更有效且準(zhǔn)確的進(jìn)行金融風(fēng)控和金融決策，并且在理論研究中開辟了全新的課題，是金融學(xué)與其他學(xué)科的研究方法的重要結(jié)合范例。

（五）微分對策理論

B-S 模型導(dǎo)出期權(quán)定價公式的過程中用到了偏微分方程相關(guān)方法，其前提條件是假定股票價格波動服從維納過程。但是隨著金融市場的發(fā)展，越來越多的期權(quán)被觀測到并不服從這一傳統(tǒng)意義上的分布。因此有學(xué)者引入了微分對策原理，把博弈論與微分學(xué)結(jié)合，能夠使這一前提得到很大程度的稀釋同時又簡化了B-S 模型中導(dǎo)出定價公式的傳統(tǒng)煩瑣計算。這些使得其能夠解釋更多的現(xiàn)實期權(quán)問題。

（六）鞅理論

鞅理論也是用于簡化期權(quán)等證券價格運算的重要新工具。前文中提到股票價格的波動服從維納過程，即布朗運動分布。此過程可以近似于鞅隨機(jī)過程。因此運用鞅測度的相關(guān)方法可以得出一個相對有規(guī)律可循的計算模式；同時這樣的處理方法避免了由于原來過于嚴(yán)格的假設(shè)前提所喪失的模型適用性。這些以鞅理論為基礎(chǔ)的期權(quán)等證券定價理論逐漸流行于當(dāng)今的金融工程研究中。