突出診斷 適度創新
———談高中數學“階段性”試題的命制原則

◇ 浙江 余方明

階段性考試的目的是檢驗學生在某一階段對所學知識的掌握程度,幫助學生發現知識漏洞,反思和總結有效的學習或復習方法,以進一步提升下一階段的學習效果．月考、周測、期中、期末等,這些考試大多是學校自主命題,但如何命題才能有效達到檢測的目的,筆者談幾點體會,供廣大讀者參考．

1 試題難度要符合學生實際

階段性考試的目的是要檢驗學生基礎知識、基本技能的掌握和落實情況,因此試題的難度要符合學生的實際情況．如果試題太難,可能會嚴重打擊學生的信心;如果試題太簡單,又拉不開學生之間的距離,這樣的試題失去了檢測功能．一套合格的試卷,基礎題、中檔題和提高題的比例約為5∶3∶2．如果學生能把握好基礎題的得分,就能達到及格線;做好中檔題和提高題,就能達到優秀．

2 試題難易梯度要循序漸進

一套試卷中的試題,應按由易到難的順序排列．階段性考試,如果命題不夠嚴謹,可能就會出現難題前移,比如學生做到第2題,就卡住了,即使能夠解答出來,也會浪費較多的時間;若未能解答出,則會造成學生情緒低落,影響后續的答題效果,進而影響本次考試成績．因此試題的初稿形成后,命題人自己一定要認真檢驗,每道題要親自做一遍,同時再請同教研組的教師幫忙檢驗,做到精益求精．

3 試題命制內容要突出重點

階段性考試試題的內容,一定要涉及本階段的重點知識、重要題型．以“圓錐曲線”的階段性考試為例,重點知識有圓錐曲線的定義、方程、幾何性質、直線與曲線的位置關系等．其中雙曲線的命題重點是漸近線,這是橢圓和拋物線不具有的,因此要體現這一內容．

例1雙曲線(a＞0,b＞0)的離心率為則其漸近線方程為_____．

例2若雙曲線C 上存在四個點E,F,G,H,使得四邊形EFGH 是正方形,則雙曲線C 的離心率的取值范圍是_____．

本題可以借助雙曲線與正方形對角線的關系進行求解．

例3已知雙曲線的焦點到漸近線的距離等于右焦點到右頂點的距離的2倍,則雙曲線的離心率e的值為_____．

焦點到漸近線的距離可用點到直線的距離來求解,也可以利用雙曲線漸近線的斜率及a,b,c 的關系直接得出距離．

例4雙曲線C 過點且漸近線方程為則該雙曲線的標準方程為_____．

以上幾題均涉及了雙曲線的漸近線,體現了考查的重點．類似地,拋物線考題的重點內容是拋物線的定義及準線等,在此不再舉例．

4 試題解答要滲透通性通法

考查學生對通性通法的掌握程度,不僅是考綱的要求,也是教學要求,平時教師要把通性通法的教學放到首位．

例5已知橢圓其離心率為為橢圓C 上一點．

(1)求橢圓C 的方程;

(2)設A,B 分別為橢圓C 的左、右頂點,點P 在橢圓C 上,直線AP,BP 分別與直線x＝4相交于點M,N．當點P 運動時,以M,N 為直徑的圓是否經過x 軸上的定點? 試證明你的結論．

本題以直線與橢圓相交為背景,條件中涉及動點、動線等,可利用以下兩種通法進行解答．

通法1設直線的斜率為k,將所求問題轉化為含有k 的關系式．在設直線方程前要討論斜率為零或不存在時的特殊情況．方程形式包括兩種,即y ＝kx＋t或x＝my＋n,采用哪種要視具體情況而定．

通法2設曲線上的動點坐標P(x0,y0),將與點P 有關的動點或動線,用含x0,y0的關系表示,再利用進行消元即可．

5 試題本質要有適度的創新

數學教師可能都會遇到這樣的學生,在平時的階段性考試中成績名列前茅,在統考時卻名落孫山,在總結原因的時候,總是覺得是失誤造成的．但這種情況如果再三出現,就不能歸結為粗心大意了,歸根到底還是自己所學知識掌握不扎實,所學方法不能靈活應用．那為什么階段性考試成績卻比較理想呢? 究其原因是階段性考試的命題不過關,陳題、重題較多,學生在考試中如果遇到自己做過的題,可能都不需要思考和計算,就可以直接得出答案．但是這樣的階段性考試,就失去了其檢測的功能．

因此筆者建議在命制階段性考試卷時,所選的題目一定要有所創新,當然要保證原創的話,難度太大,需要耗費大量時間和精力,但適當的改編其實還是可以做到的．

例6已知橢圓的離心率為過焦點且與x 軸垂直的直線被橢圓C 截得的線段長為2．

(1)求橢圓C 的方程;

(2)已知點A(1,0),B(4,0),過點A 的任意一條直線l與橢圓C 交于M,N 兩點,求證:

教師在命題時可將此題第(2)問進行改編．

改編1過點A(1,0)且不與x 軸重合的一條直線l與橢圓C 交于M,N 兩點,則在x 軸上是否存在點B,使得|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|?若存在,求出點B 的坐標;若不存在,請說明理由．

改編2與x 軸不平行的直線l 與橢圓C 交于M,N 兩點,現有點B(4,0),直線l 上是否存在點A,使得|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|．若存在,求出點A的坐標;若不存在,請說明理由．

兩個改編題,將原題目中所證關系式作為已知條件,探究定點的存在性,實現了一定程度上的創新．當然也可以變換曲線類型,如將橢圓變換為拋物線等．

總之,命制一套合格的試卷,能夠幫助教師發現教學中的得與失,能夠準確檢測學生的現狀,并據此制訂有效的教學策略,挖掘學生潛能．