基于PH 分布的多服務器小型有線通信網絡穩態性能研究

王 清 ，吳 倩 ，劉以群

(1.91033 部隊，山東 青島266000；2.海軍工程大學海軍艦船振動與噪聲研究所，武漢430033；3.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033；4.中南財經政法大學繼續教育學院，武漢430064)

0 引言

小型有線通信網絡系統的運行過程中，由于服務器數量和資源有限，如果出現通信高峰，會產生排隊現象。此時要充分考慮用戶終端的耐心，盡可能地減少用戶終端的排隊等待時間，避免出現長時間排隊等待加載的現象。數學排隊論模型為小型有線通信網信息交換機制的優化提供了新的方法。

PH 分布族在經歷過大量運算后依然具有封閉性，同時能近似擬合非負半軸上的任何概率分布，可將各類典型分布統一表示為Phase-type(PH)形式，降低了解析計算難度，又具有一般性，使得其被廣泛應用于各類隨機模型。

綜上，本文以小型有線通信網絡系統為研究對象，引入連續PH 分布描述系統中各隨機時間變量，基于排隊論建立了通用性更好的小型有線通信網絡系統穩態性能解析模型，給出了相關穩態指標。

1 相關基礎知識

為進一步說明連續PH 分布在小型有線通信網絡系統穩態性能分析中應用的可行性，下面對PH 分布的相關定義和性質進行簡要介紹：

定義 1［1］：若一個非負隨機變量服從連續 PH 分布，那么它的分布函數為：

其中：

(1)e 是全部元素都為1 的列向量；

(2)α 是次隨機矩陣，含m 個非負元素的行向量，m 為正整數，αe ≤ 1；

(3)T 是m 階矩陣，該矩陣對角線元素全為負，其他元素非負，矩陣可逆，且每行元素之和是非正的。

定義 2［1］：連續時間馬爾科夫鏈{I(t)，t ≥ 0}，其狀態空間由m + 1 個狀態組成，無窮小生成元表示為：

其中，T 為PH 分布的生成元。由于每一行元素之和均為0，則可得T0= -Te。狀態m + 1 的轉移概率為0，則狀態m + 1 為吸收態。

定義 3［2］：一個 m × n 階矩陣 A 和一個 p × q 階矩陣B 的Kronecker 積被定義為：

根據式(3)，可得出Kronecker 積有如下性質：

定義 4［2］：一個 m 階矩陣 A 和一個 n 階矩陣 B 的Kronecker 和被定義為：

其中，In和Im分別表示m 和n 階的單位矩陣。

2 問題描述

某有線通信網絡系統中由服務器和用戶終端組成，是排隊論中典型的M/M/C 隊列，具體假設如下：

(1)系統中有有限的n 個服務器和m 個用戶終端，m ＞ n；

(2)各服務器資源被占用時間服從隨機分布，假設服從連續PH 分布，形式為k 階的(α，T)表示；

(3)兩用戶終端到達服務器時間間隔服從隨機分布，假設服從連續PH 分布，形式為g 階的(β，S)表示；

(4)當服務器全部占用時，用戶終端采用等待制的模式進行先到先服務的排隊；

(5)各服務器資源被占用時間、兩用戶終端到達服務器時間間隔相互獨立。

3 模型構建

3.1 用戶終端排隊規則

對于有線通信網絡系統來說，當多個用戶終端同時進入服務器中出現排隊現象后，要對用戶終端進行排隊規則的設定以確定服務器資源占用次序。

排隊原則是當系統中服務器沒有排隊現象時排隊規則為先到先服務，各服務器優先級相同，具有相同的性能和信息傳遞水平；當系統中服務器均被占用時，系統會出現排隊現象，會有用戶終端在等待訪問服務器，等待的用戶終端在有服務器空出時依然按照先等待先進入的規則訪問服務器；當有多個服務器同時空出時，用戶終端隨機進入某一服務器。

針對于小型有線通信網絡系統，一般設置2 ～3個服務器進行信息交互傳輸，工作時采取串行或并行作業的方式，設置為多窗口混合型排隊系統，如圖1 所示。

圖1 有線通信網絡混合型排隊系統

3.2 系統狀態轉移

根據用戶終端和服務器的運行規則和排隊規則，可得小型有線通信系統狀態轉移圖如圖2 所示。

圖2 有線通信網絡狀態轉移圖

其中，狀態(0，n)表示系統中有0 個用戶終端傳輸數據，有n 個服務器空閑，以此類推。直到狀態(n，0)為止表示系統中有n 個用戶終端傳輸數據，無空閑服務器。狀態(m，m - n，0)表示系統中有有n 個用戶終端傳輸數據，無空閑服務器，m - n 個用戶終端排隊等待。

結合PH 分布的相關定義，對各狀態之間的轉移率進行分析，從狀態(0，n)到狀態(1，n - 1)的狀態轉移矩陣為 S0α，以此類推，直至從 S0α；而后，從狀態(n，0)到狀態(n + 1，1，0)的狀態轉移矩陣為直至狀態(m，m - n，0)。

反之，從狀態(m，m - n，0)到狀態(m - 1，m - n -1，0)的含義是某一用戶終端已完成服務器數據交互，等待的用戶終端按排隊規則進入服務器，其狀態轉移矩陣為直至狀態(n，0)為止；從狀態(n，0)到狀態(n - 1，1)表示某一用戶終端已完成服務器數據交互，這一服務器空閑，其狀態轉移矩陣為T0β，直至狀態(0，n)為止。

根據各狀態轉移矩陣，可得出該小型有線通信網絡系統狀態轉移矩陣Q 為：

3.3 系統穩態概率向量

有線通信網絡系統按照這一排隊規則在經歷長時間運行之后會進入穩定狀態。當系統處于穩態時，其各狀態在相互轉移的過程中停留在每個狀態的概率可以構成穩態概率向量π，可分解為π =(π0，π1，π2，…，πm)，根據穩態概率向量的相關性質［3］可知其滿足下列方程組：

利用矩陣解析方法［4］對其進行求解，引入轉移率陣 R*，令 R*2B + R*A + C = 0，(π1，π2，…，πm)B［R*］ =0，從而求解得出最小非負解R*，則穩態分布可以表示為：πk= πcR*k-c，k ≥ c，且 π 由方程組(π1，π2，…，πm)B［R*］ =唯一決定。

4 隊列穩態性能指標

結合PH 分布的相關定義和性質，以矩陣論為模型求解基礎，根據以往的通信網絡系統排隊的一般性指標定義，本文對下列通信網絡排隊的相關隊列穩態性能指標進行求解：

(1)服務器平均服務時長

服務器服務時長是指同一服務器數次連續接收用戶終端輸入的平均工作時長，結合PH 分布的封閉性，則服務器服務時長也服從PH 分布，具有(φ，Q*)表示。

根據服務器平均服務時長的定義，可以得出MUB = -φQ*-1e。

(2)系統服務器平均占用率

系統服務器平均占用率是指系統服務器全部被占用的平均概率，根據系統狀態轉移矩陣Q 可得：

(3)服務器空閑穩態概率

服務器空閑穩態概率Pm是指m 個服務器至少有一個處于空閑狀態的穩態概率，即系統穩態概率向量(π0，π1，π2，…，πn-1)：

(4)用戶終端平均隊長

令Nf表示系統中等待的用戶終端數量。根據系統穩態概率向量的含義，可以得出等待的用戶終端數量的分布如下：

P{Nf= j} = πjj = n + 1，…，m

對其求期望可得出用戶終端平均隊長E［Nf］如下：

(5)穩態忙期服務器數量

令Nb表示處于忙期的服務器個數，則處于忙期的服務器的分布如下：

對其求期望可得出系統穩態忙期服務器數量E［Nb］如下：

5 計算示例

假設有某小型有線通信網絡系統，系統中有2個服務器和7 個用戶終端，各服務器資源被占用時間和兩用戶終端到達服務器時間間隔均服從連續PH 分布，表示如下：

(1)服務器資源被占用時間：

(2)兩用戶終端到達服務器時間間隔：

構建系統狀態轉移矩陣，對模型進行求解，可以得出：

服務器平均服務時長MUB = 0.963；

系統服務器占用率rz= 0.461；

服務器空閑穩態概率Pm= 0.134；

用戶終端平均隊長 E［Nf］ = 2.419；

穩態忙期服務器數量 E［Nb］ = 0.943。

通過對該示例結果進行分析，所得結果均符合有線通信網絡M/M/C 排隊模型相關指標要求，驗證了模型對PH 分布的適用性和正確性，且具有優良的解析計算性。

6 小結

針對于小型通信網絡組網服務器延遲服務的問題，引入排隊論和PH 分布，利用排隊論模型的計算公式及方法，可以確定用戶終端排隊系統的關鍵指標，如用戶終端平均隊長、服務器平均服務時長、系統服務器平均占用率等。綜合考慮這些指標的影響以及系統建設成本和效益提升，可優化組網方案及有線通信服務機制，以有效提升綜合效益。