巧用轉化思想 解答數學難題

謝曉玲

(福建省龍巖市北大附屬實驗學校 364000)

轉化思想屬于數學思想方法中的一種，指的是將一個數學問題由難化易、由繁化簡，不僅是一種重要的解題思想，還是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式.在初中數學解題教學中，教師需高度重視轉化思想的滲透，指導學生通過靈活自如的轉化把陌生、復雜的難題變得熟悉、簡單，并化抽象為直觀、未知為已知，提高他們的解題能力.

一、陌生轉化成熟悉，降低數學題目難度系數

初中數學的學習過程是由一開始的陌生、淺層了解慢慢過渡至熟悉和深層了解，本身就是一個循序漸進的過程，為幫助學生更好的解答數學難題，可以應用轉化思想，將陌生題目轉化成熟悉題目，有效降低難度系數，使其輕松解題.

二、復雜轉化為簡單，順利找到解題的突破口

簡化數學難題作為轉化思想中最為常見和比較有效的一種解題方式.初中數學教師應當教會學生當遇到比較復雜的難題時，先仔細研讀與思考題干中給出的信息，再找到隱性條件，將復雜題目轉化成簡單題目，使其求出正確答案，讓他們逐漸形成觀察題目、挖掘細節的意識，學會從題目細節之處著手.

例2已知一次函數y=-x+2，反比例函數y=-8/x，圖像如下圖所示，它們相交于A、B兩點，那么A、B兩點的坐標分別是什么？

圖1

解析在本道題目中，涉及到一次函數和反比例函數兩類函數，學生一定要找到這兩個函數之間的關系，然后才可以順利找到解題的突破口，他們要先分析題目中給出的已知條件，使其利用“圖像相交于才A、B兩點”這一共同點，分析是否能把這兩個函數轉化成具體的方程組，再利用方程組解決問題，由此求出A、B兩點的坐標.此時，教師可組織學生以小組合作的方式解答難題，彼此分享與交流解法，深入研究這兩個函數之間的關系，有的同學將會提出利用方程組，但是部分同學可能對方程組的解法不夠熟練，他們在合作中快速解答方程組，即為：y=-x+2①，y=-8/x②，解得x=-2，y=4，或x=4，y=-2，最終判斷得出A點的坐標是(-2，4)，B點的坐標是(4，-2).

三、抽象轉化成具體，促使學生理清解題思路

當遇到一些難題時，教師要指導學生巧妙運用轉化思想，將抽象化的數學題目變得具體化，有利于他們產生豐富的聯想，從而把數學難題一一拆解，使其快速理清題意、條件間的關系及解題思路，最終正確解答難題.

例3已知如圖2所示，在△ABC中，AD=DB，DF和AC相交于點E，同BC的延長線相交于點F，求證：AE·CF=EC·BF.

圖2

解析在解答這一幾何問題時，求證的是兩條線段之積等于另外兩條線段的積，顯得較為抽象，教師可以指引學生巧妙采用轉化思想，通過作輔助線的方式，把圖形轉化的更為具體，成為他們常見的幾何圖形，使其找到正確的解題思路.第一步，教師要求學生觀察、找出圖形中是否存在幾組相似三角形，能否通過相似三角形的性質來處理問題；第二步，提示他們畫出輔助線，把圖像轉化的更加具體，以便快速找到相似圖形.如：學生可以在DE上取一點G，讓CG∥AB，由此把圖形轉化成相似三角形，使其結合三角形的相似性來證明AE·CF=EC·BF.這樣當遇到一些不僅抽象的數學難題時，學生不要盲目的解答，而是需學會另辟新徑，采用轉化思想結合相關輔助線，對原始圖形進行轉化，提升題目的具體性與直觀化，使他們理清解題思路.

四、數形間相互轉化，輔助學生快速解答難題

在初中數學解題教學環節，教師可指導學生根據具體題目巧妙采用轉化思想，掌握出題目中的數或形的關系，通過“以數解形”或“以形助數”的方法實現兩者的相互轉化，使其把抽象的數學語言、數量關系同直觀的幾何圖形、位置關系有機結合起來，輔助他們快速解答難題.

例4 某報社為了解讀者對本社一種報紙四個版面的喜歡情況，對讀者進行一次問卷的調查，要求讀者選出自己最喜歡的一個版面，把調查所得的數據整理后繪制成如圖3所示的條形統計圖：(1)寫出從條形統計圖中獲得的一條信息；(2)請根據條形統計圖中的數據繪制一個扇形統計圖，第二版要與第三版相鄰，并說明這兩幅統計圖各自的特點；(3)你根據上述數據，對該報社提出一條合理的建議.

圖3

解析這是一道典型的數形結合類題目，題目中描述的信息可通過另外一種統計圖的樣式來表示，而圖形也蘊含著大量“數”的信息.(1)學生通過讀圖能夠獲取到多個信息，如：參加調查的讀者總數為5000人，喜歡閱讀第三版的人數最多等；(2)扇形統計圖如圖3所示，可清楚表示出喜歡各版面讀者人數占所調查總人數的百分比，條形統計圖能清楚表示出喜歡各版面的讀者人數；(3)建議改進第二版的內容，像提高文章質量，主題更加貼近現實生活.

在初中數學解題教學實踐中，對部分難題，教師應給予格外關注，當學生在處理這些難題時，要提示他們不能再采用常規的解題方法，而是需學會合理運用轉化思想，有效降低數學題目的難度，使其從解題困境中走出來，解答數學難題，思維變得愈加靈活.