基于MM算法的脈沖串模糊函數設計方法

徐乃清，張勁東，李 晨，丁 遜

(南京航空航天大學電子信息工程學院，江蘇南京 210016)

0 引言

隨著雷達發射機自由度的增加，雷達可以通過改變發射脈沖波形來增強其對抗復雜干擾能力。此外，相比于單一發射波形，捷變波形能提供更好的探測性能。模糊函數是分析雷達波形探測性能的重要工具，可以反映出雷達信號的距離-多普勒二維分辨率。因此，雷達波形設計問題往往可以描述成模糊函數設計問題。常用的模糊函數性能指標有積分旁瓣電平(ISL)和峰值旁瓣電平(PSL)，皆為待設計信號的四次函數。

針對波形設計問題，He給出了用于設計模糊函數的Multi-CAO算法[1]，Arlery給出了基于梯度下降的模糊函數設計算法[2]，但所設計信號均為連續相位調制信號。Boyd提出了交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)適用于大規模凸優化問題[3]，隨后Liang使用ADMM方法求解帶約束二次型最優化問題，給出了一種設計具有低自相關旁瓣的連續相位調制信號方法[4]。在二次型優化問題中，ADMM更新公式可以給出閉式解，但在四次型優化問題中，閉式解難以獲取。Hunter和Lange提出的MM算法是一種迭代求解最優化問題的算法，通過構造并求解形式更為簡單的輔助函數，逐漸逼近原問題的最優解[5]。Song給出了一種基于MM算法的模糊函數設計方法，其中輔助函數為目標函數上界的二次型[6]。

本文基于離散相位調制信號(Discrete Phase Coded Signal,DPCS)，以脈沖串模糊函數平均ISL為目標函數，將波形設計問題建模為帶約束四次型最優化問題，并給出基于MM算法的求解方法。其中，輔助上界函數的求解采用ADMM算法。最后，給出MM-ADMM算法流程。仿真結果表明，該方法計算速度快，收斂趨勢明顯。

1 模型建立

設脈沖-多普勒雷達發射設含N個脈沖的脈沖串信號，可表示為

(1)

式中：sn(t)為第n個發射脈沖的復包絡，并滿足sn(t)=0,?t?[0,T]，T為發射脈沖長度；Tr為脈沖重復間隔(Pulse Repetition Interval,PRI)。發射信號采用相位編碼調制方式，則第n個發射脈沖可表示為

(2)

式中，s(n,m),n=0,1,…,N-1,m=0,1,…,M-1為相位編碼調制序列，pm(t)表示矩形賦形脈沖：

(3)

式中,tp為發射脈沖中每個調制相位對應的時寬，滿足關系T=Mtp。

為表示方便，記列向量sn=[s(n,0),s(n,1),…,s(n,M-1)]T表示第n個發射脈沖的調制序列，且滿足

0≤φ(n,m)≤K-1

(4)

(5)

其中矩陣Hlp=Jl·Dp,Jl為轉移矩陣，其定義為

(6)

Dp為對角矩陣，其定義為

(7)

則脈沖串離散模糊函數中心條帶可表示為

(8)

(9)

(10)

至此，上述離散相位調制脈沖串模糊函數設計問題可寫為

(11)

其中k(i)和φ(n,m)的關系為k(nM+m)=φ(n,m),n=?i/M」,m=mod(i,M)。該問題是非凸約束條件下的四次型優化問題，對于帶約束優化問題，通常選擇構造帶懲罰項的增廣拉格朗日函數進行求解，ADMM方法是一種求解增廣拉格朗日函數的方法。由于四次型較為復雜難以優化，另一種思路是將高次型進行降次，針對這種思路，本文提出一種基于MM算法的求解方法，將四次型優化問題轉化為二次型進行求解。

2 算法設計

2.1 MM算法介紹

MM(Majorization-Minimization)算法是一種通過迭代逼近求解最優化問題的算法。在每次迭代中，首先原函數上某一點出發，構造一個位于目標函數上界的輔助函數，且輔助函數與原函數相交于該點。然后，求解輔助函數的最優值點。一般來講，構造的輔助函數要求形式簡單，易于求解。最后，將解得的輔助函數最優值點作為新的出發點，進行下一次迭代。經過若干次迭代后，輔助函數最優值點將收斂到原問題的最優值點，算法完成。下面簡要介紹MM算法的流程。設最優化問題為

(12)

選取某一出發點xk，構造一個新函數g(x|xk)，在xk處與f(x)相交，其他位置上皆在f(x)的上界，即滿足關系：

(13)

然后求解輔助函數g(x|xk)的最小值：

(14)

易得

f(xk+1)≤g(xk+1|xk)≤g(xk|xk)=f(xk)

(15)

這樣每一次迭代都可以使目標函數值下降，直到輔助函數極值收斂到原函數極值。圖1給出了MM算法的示意圖。

圖1 MM算法示意圖

2.2 ADMM算法介紹

ADMM算法是一種求解優化問題的計算框架,通過將原優化問題分化兩個子問題交替求解，縮小了問題的規模。ADMM框架的基本模型為

(16)

將式(16)寫成增廣拉格朗日函數，ρ為懲罰項系數，有

Lρ(x,z,λ)=f(x)+g(z)+λT(Ax+Bz-c)+

(17)

則ADMM更新公式為

(18)

判斷收斂的條件為x(t+1)-z(t+1)<δ，δ為一個較小的正數，作為收斂門限。

2.3 輔助函數構造

因為xHQlpx=tr(QlpxxH)，其中tr(·)表示矩陣的跡，記矩陣X=xxH，則有

vec(Qlp)H·vec(X)=

vec(Qlp)H·vec(X)

(19)

式中，vec(·)為矩陣向量化符號，表示將矩陣按列排成的列向量。

證明：將xHLx在x0處泰勒展開，有

(x-x0)HL(x-x0)≤

(x-x0)HM(x-x0)=

xHMx+2Re(xH(L-M)x0)+

(20)

當x=x0時，式(20)中不等關系取等。

由此，將Hermitian矩陣∑l,pvec(Qlp)·vec(Qlp)H記為L，設L的最大的特征為λmax，可求得λmax=MN，記M=λmaxI=MN·I，易得M≥L。將引理1代入式(19)，可得

vec(X)HLvec(X)≤

vec(X)HMvec(X)+2Re(vec(X)H(L-M)vec(X0))+

vec(X0)H(M-L)vec(X0)

(21)

在約束條件下，式(21)的第一項和第三項為常數，所以只要考慮第二項即可。其中第二項可以記成：

Re(vec(X)H(L-M)vec(X0))=

(22)

在MM算法迭代過程中，設第k次迭代后求得的脈沖串為xk，并記

(23)

容易看出Pk為Hermitian矩陣，Tk為半正定Hermitian矩陣，則式(22)中取實部符號Re(·)可以去掉。在下式的xHTkx項上再次套用式(20)，可得

xH(Pk-Tk)x=

(x-xk)HTk(x-xk))≤

xHPkx-2(MN)2Re(xHxk))+(MN)2

(24)

綜上，有

const+xHPkx-2(MN)2·Re(xHxk)

(25)

至此，輔助函數已經構造完成，即每次MM迭代中，需要求解的問題為

(26)

2.4 ADMM算法求解輔助函數

問題式(26)中包含二次項xHPkx和一次項2(MN)2·Re(xHxk)，通過引入輔助變量z和約束x=z，可將該問題寫成如下等價形式：

(27)

形如上式的帶約束優化問題可用ADMM框架求解，根據式(27)寫出增廣拉格朗日函數：

Lρ,k(x,z,λr,λi)=

xHPkx-2(MN)2Re(zHxk)+

(28)

記u=(λr+jλi)/ρ，則式(28)可寫為

Lρ,k(x,z,u)=xHPkx-2(MN)2Re(zHxk)+

(29)

(30)

(31)

0≤k(i)≤K-1,0≤i≤MN-1

(32)

(34)

(35)

3) 更新u

(36)

重復步驟1) 到3) 直至算法收斂，判斷收斂的條件為x(t+1)-z(t+1)<δ，δ為一個較小的正數，作為收斂門限。

下面給出MM-ADMM算法求解中心區域低副瓣脈沖串模糊函數流程：

Step 1 記k為MM算法迭代次數，初始化k=0，δ=0.001，給隨機初值x0；

Step 3 進行ADMM迭代：

3 仿真分析

設相干雷達系統在一個CPI中有N個發射脈沖，每個發射脈沖中有M個子脈沖。目標區域Φ的參數為a=M/2，b=N/4，即Φ={(l,p)|-M/2≤l≤M/2,-N/4≤p≤N/4}，則可定義脈沖串模糊函數中心條帶的中心區域平均副瓣為

(37)

收斂門限δ=0.001，二次懲罰項系數ρ=2M2N2，初值使用隨機離散相位序列。圖2給出了MM-ADMM算法所設計的離散相位調制脈沖串在不同的相位數K下的模糊函數中心條帶(M=50,N=16)。隨調制相位數K增多，目標區域AISL明顯下降。

圖3給出了MM-ADMM算法所設計的離散相位調制脈沖串在不同子脈沖數M時的模糊函數中心條帶(K=8,N=16)。隨子脈沖數M增多，目標區域AISL明顯下降。

(a) K=4

(b) K=8

(c) K=16

(a) M=40

(b) M=50

(c) M=60

由于MM算法通過求解形式更為簡單的輔助函數，顯著降低了運算量。現將MM-ADMM算法與用擬牛頓法求解四次型最優化問題的ADMM算法對比，仿真平臺為Intel i5-7300HQ處理器，8 G內存計算機。表1～表4分別給出了兩種算法在不同子脈沖數M和不同調制方式K的情況下的AISL值(100次蒙特卡羅實驗取平均)和在所需的運算時間。

表1 MM-ADMM算法不同情況下的AISL

表2 ADMM算法不同情況下的AISL

表3 MM-ADMM算法不同情況下的計算時間

表4 ADMM算法不同情況下的計算時間

可以看出，目標區域AISL均隨著子脈沖數M或調制相位數K增多而逐漸降低，計算時間逐漸增多。相比于ADMM算法，MM-ADMM算法的AISL略優于ADMM算法，且運算量大幅減小，運算速度顯著提升。

圖4給出了兩種算法的收斂情況(M=50,N=16,K=8)，可見在約15次迭代后，AISL相比于隨機脈沖串下降了10 dB并趨于收斂，且下降趨勢明顯。

圖4 MM-ADMM算法與ADMM算法的收斂曲線

4 結束語

本文主要介紹了具有目標區域低旁瓣模糊函數的離散相位編碼脈沖串信號的設計方法。該問題實際上是帶約束的四次型優化問題，難以直接求解。為此，引入了MM算法，將四次型優化問題轉化為二次型優化問題，進行迭代逼近求解。仿真結果表明，MM-ADMM算法所設計信號性能滿足要求，運算速度快，收斂趨勢明顯。