模塊化多電平直流變壓器的傅里葉級數建模與控制器設計

吳興宇,閔富紅,王國寧,王志剛,侯 凱

(1.南京師范大學南瑞電氣與自動化學院,江蘇 南京 210023) (2.南瑞集團(國網電力科學研究院)有限公司,江蘇 南京 211106)

隨著分布式能源和直流負荷的快速發展,直流配電系統受到越來越多的關注[1]. 在中壓直流配電系統中,直流變壓器(DC transformer,DCT)是實現中壓直流母線和低壓直流母線之間電壓轉換和電氣隔離的核心部件[2-3].

雙有源橋(dual active bridge,DAB)變換器結構在低壓、小容量領域有著十分廣泛的應用[4-8]. 為了適應直流配電網電壓等級,提高DCT的電壓和容量等級,實現中低壓直流母線之間的互聯,模塊化多電平直流變壓器(modular multilevel DC transformer,MDCT)尤其受到關注[9]. 模塊化多電平結構采用若干個子模塊級聯,減小了功率半導體器件的電壓應力,便于冗余化設計. 文獻[10-16]分析了模塊化多電平直流變壓器的工作原理、移相調制策略、軟開關特性和功率損耗等電路特性. 文獻[17-18]采用瞬時功率積分進行功率分析,但是這種分析方法計算量大、過程復雜.

對此,本文從傅里葉級數分析入手,分析MDCT的工作原理,推導出有功功率傅里葉級數求和表達式,并分析其有功功率與功率移相角和電壓平衡角的關系. 基于傅里葉級數求和建立MDCT的數學模型,設計了穩定輸出電壓的PI控制器,仿真驗證了控制策略的有效性.

1 MDCT單移相控制的工作原理和功率特性

1.1 MDCT工作原理

模塊化多電平直流變壓器的拓撲,如圖1所示,由中壓側兩相模塊化多電平(modular multilevel converter,MMC)橋臂、交流高頻鏈(AC high frequency link,ACHFL)和低壓側并聯全橋構成. 與傳統的模塊化多電平變流器類似,MDCT中壓側每相由上、下兩個橋臂構成,橋臂是通過k個半橋子模塊(half-bridge sub-modules,HBSM)串聯電抗器Ld組成的,因此繼承了其模塊化、可冗余化設計的優點. 低壓側采用h個全橋并聯來提高輸出電流等級. 交流高頻鏈由h個高頻隔離變壓器T構成.V1和V2分別為中、低壓側直流電壓;I1和I2分別為中、低壓側直流電流;Va為兩相模塊化多電平交流側電壓;iL為交流高頻鏈的漏電感電流;Vb1～Vbh為全橋交流側的電壓;iDC1～iDCh為全橋直流側電流;iC1～iCh為全橋直流側電容電流.

中壓側采用準方波調制策略,MMC各子模塊上管的驅動信號定義為Gij,每個子模塊上管和下管的驅動信號互補,當Gij=1時,半橋子模塊上管導通,HBSM處于投入工作狀態;當Gij=0時,半橋子模塊上管阻斷,HBSM處于切除工作狀態;其中i表示橋臂標號,i=1,2,3,4;j表示驅動信號的標號,j=1,2,…k,這些驅動信號的占空比為0.5且每個子模塊移相角度為θ,因此橋臂i的輸出電壓Vai是一個如圖2(a)所示的準方波. 單移相控制下MMC的子模塊SM1j和SM4j具有相同的開關狀態,SM1j和SM2j具有互補的開關狀態,每個子模塊的驅動信號并非固定不變而是通過均壓算法分配. 中壓側上管驅動信號的傅里葉級數時域表達式為:

(1)

式中,N≥0;ω為直流變壓器開關角頻率.

低壓側各全橋模塊調制策略如圖2(b)所示,Gu1和Gu2表示全橋兩個橋臂上管的驅動信號,這些驅動信號的占空比為0.5且相位相差π,每個全橋橋臂下管的門極信號與上管門極信號互補,其中u表示全橋標號,u=1,2…h. 因此全橋u的交流側電壓Vbu是一個方波,上管驅動信號的傅里葉級數時域表達式為:

(2)

式中,δ為直流變壓器的功率移相角.

MDCT在單移相控制下的工作原理與傳統的DAB類似,通過調節交流高頻鏈輸入電壓(Va)和輸出電壓(Vb=Vb1+…Vbh)的功率移相角δ來實現輸出功率的調節,假設MMC各子模塊電壓相等,忽略器件上的壓降,理論波形如圖3所示.

根據以上分析的調制策略和開關管驅動信號的傅里葉級數時域表達式,得到高頻鏈的輸入和輸出電壓傅里葉級數時域表達式為:

(3)

根據以上分析,模塊化多電平直流變壓器的MMC交流側電壓Va為準方波,全橋模塊交流側電壓Vb為方波,可以將交流高頻鏈等效為圖4(a)所示的等效電路,電感為橋臂電感Ld和全部高頻隔離變壓器漏電感LT的總和(L=Ld+hLT),式(3)將Va和Vb表示為一系列角頻率為直流變壓器開關角頻率正整數倍的正弦電壓之和的形式;又由于不同角頻率的正弦電壓之間不傳輸能量,因此圖4(a)的某次諧波分量可以等效為圖4(b)所示的正弦交流電壓源結構,Vx1和Vx2分別代表兩個正弦電壓源的有效值.

1.2 移相控制下MDCT的功率特性

電力系統的穩態分析理論給出了圖4(b)中有功功率的表達式為:

(4)

從電壓表達式(3)中得到各次諧波的電壓有效值為:

(5)

將式(5)中的各次諧波的電壓有效值代入式(4)的有功功率表達式,來確定各次諧波的傳輸有功功率,疊加得到模塊化多電平直流變壓器的傳輸功率表達式為:

(6)

根據式(6)建立的模塊化多電平直流變壓器的功率表達式,分析其功率特性. 為了簡化分析,將傳輸有功功率進行標幺化處理,基準值有功功率公式如下:

(7)

根據式(6)、(7)可以得到單移相控制下有功功率的標幺值為:

Ppu=P/Pb.

(8)

假設MMC橋臂的子模塊數目k=4,傅里葉級數的展開項N=4. 根據上述表達式可以得到單移相控制下有功功率的三維曲線圖,處理三維曲面圖得到有功功率和θ角的關系圖,如圖5所示.

由上述功率曲線可知隨著θ角的增大,模塊化多電平直流變壓器的最大傳輸有功功率下降,當θ≥0.05π時,最大傳輸有功功率下降明顯,因此本文選取θ=0.02π.

2 MDCT的數學模型

根據基爾霍夫電壓定律來描述模塊化多電平直流變壓器的交流高頻鏈,圖4(a)的等效電路動態方程為:

(9)

式中,RL為高頻隔離變壓器漏感的阻抗,由式(3)、(9)可以得到漏感電流傅里葉級數時域表達式:

(10)

根據低壓側全橋模塊的電路結構和調制策略,每個全橋電路直流側電流和電容電流均相等,可得出:

(11)

基于基爾霍夫電流定律得到全橋電路直流側輸出電流iDC(t)、電容電流iC(t)和低壓側輸出電流I2(t)滿足:

(12)

假設全橋直流側電容為理想電容,則全橋直流側電容電壓與直流變壓器的輸出電壓相等,那么電容電流可表示為:

(13)

根據式(12)和(13),并結合全橋拓撲結構可得出直流變壓器的輸出電壓和漏感電流的狀態方程為:

(14)

將式(2)和(10)代入上式消去高頻項,得到模塊化多電平直流變壓器穩定狀態下時域的傅里葉級數表達式:

(15)

在穩態工作點附近引入低頻小信號擾動,即V2(t)=V2+ΔV2(t),δ=δ0+Δδ. 可得出MDCT在單移相控制方式下輸出電壓的動態小信號模型:

(16)

因此,可以得出系統的狀態空間方程為:

(17)

根據式(17)的動態小信號模型可以得出移相角δ和直流輸出電壓Vs的開環傳遞函數為:

(18)

3 MDCT控制器設計

式(18)建立的模型本質上是一階慣性環節,控制器需要調節MDCT的直流輸出電壓,因此使用PI控制器足夠完成高性能的低壓側輸出電壓調節. 根據圖6所示控制框圖,以及直流變壓器的開環傳遞函數,可以得到前向通道的傳遞函數為:

(19)

式中,Td為一個開關周期,e-sTd為數字控制器的延遲環節.KP為比例調節系數,KI為積分調節系數,H(s)為控制器.

為了提高系統的開環頻率特性,假設KI/Kp=-A來消除系統的極點. 根據經典控制理論要求在截止頻率ωc處,開環傳遞函數的幅值增益為1,穩定狀態下相位裕度γ≥40°,來設計閉環控制器. 加入PI控制器之后,根據表1的電路參數,繪制系統的Bode圖如圖7所示,截止頻率為300 Hz,為開關頻率的1/10,系統在截止頻率處的幅值增益為1,相位裕度為54°,符合控制器設計要求.

表1 MDCT電路參數Table 1 Circuit parameters of MDCT

4 仿真分析

為驗證以上理論分析和模型的準確性,本文按照表1中的電路參數,主要采用基于MATLAB/Simulink平臺中的SimPowerSystem工具箱中的電路器件進行仿真驗證. 按照圖1的模塊化多電平直流變壓器的拓撲搭建仿真主電路,并根據圖6的控制框圖搭建控制器.

圖8為模塊化多電平直流變壓器的交流高頻鏈的穩態輸入、輸出電壓和漏感電流波形,Va的波形為準方波電壓,電壓平衡角為0.02π,Vb為方波電壓,頻率均為3 kHz.Va和Vb之間的移相角產生高頻漏感電流iL,仿真所得的高頻鏈電流波形頻率也為3 kHz. 圖9為MDCT輸出電壓波形,穩定運行狀態下輸出電壓為600 V,完全滿足穩壓控制要求,從而驗證了傅里葉級數模型和控制器的準確性.

5 結論

本文分析了單移相控制下模塊化多電平直流變壓器的工作原理,通過傅里葉級數求和將直流變壓器的高頻電壓轉化為傅里葉級數表達式,建立了輸出功率的表達式,分析了輸出功率的特性. 建立了MDCT輸出電壓與移相角的數學模型,以此為基礎設計MDCT的低壓穩壓PI控制器,并通過仿真驗證了該數學模型的準確性和PI控制器的可靠性.