基于GeoGebra的初中數學“費馬點問題”探究性活動設計

張亞男 馬艷艷

摘要：圖形與幾何是初中四大內容之一，其中幾何最值問題種類繁多、形式多樣、考法變化莫測。“費馬點問題”作為幾何最值的典型模型之一，結合圖形的全等、旋轉等綜合運用，是初中學生理解與掌握的難點之一。本文基于GeoGebra（簡稱GGB）軟件討論了“費馬點問題”的探究性活動設計思路，探索一條既體現問題教育意義與價值，又能培養學生在直觀圖形動態變化的基礎上理解并運用“費馬點”解決問題的能力。

關鍵詞：GeoGebra;費馬點問題;活動設計

1.活動過程設計

1.1創設情境，問題探究

（1）介紹數學名人費馬，講述有關費嗎的數學成就與故事。

幫助學生積累數學文化知識，建立數學與實際生活的聯系。

（2）提出2個問題，幫助學生在觀察與探討中思考并解決問題。

提出問題1;在邊長為2的等邊△ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值為？

問題2：（2008年廣東中考題），已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長。

兩個問題均是較為典型幾何求最值中的“費馬點問題”，點P、E在運動的過程中與三個定點之間的距離隨之變化，通過三角形的旋轉與兩點間線段最短找到P、E在何處時取到其到三個定點間距離的最小值，即“費馬點”位于何處。

從問題引入概念與模型，使學生清楚需要研究的內容并積極思考，勇于探索。

1.2作圖討論，形成命題

講解“費馬點”的定義，并由淺至深，從易到難，將三角形分為3類，組織學生作圖。

活動一：探究任意△ABC與一動點O，連接OA、OB、OC，則點O在何處時OB+OC+OA取得最小值？即找到“費馬點”位置。分3個小組，每個小組成員作同一類三角形的“費馬點”，3個小組分別作出三個角均小于120°的三角形、一個內角為120°的鈍角三角形和一個內角大于120°的鈍角三角形的“費馬點”，觀察3個圖形“費馬點”的位置，并形成“費馬點問題”模型。

教師基于GGB展示動點的變化與圖形的旋轉。

（1）創建角度滑動條θ （0～180°），構建△ABC，使∠BAC=θ

（2）O為平面內任意一點，連接OA、OB、OC。

（3）將△AOC繞點C順時針旋轉60°得△A’OC，連接OO’、OA’’，，當B、O、O’、A’’在同一直線上時的O點即為“費馬點”，此時∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。

（4）令小于120°，觀察θ“費馬點”位置與∠AOB=∠BOC=∠AOC的角度大小。

（5）將θ分別改為120°和大于120°，找到“費馬點位置并觀察∠AOB=∠BOC=∠AOC的角度大小。

改變∠BAC的大小，使其分別為等于120°和大于120°且小于180°，作出各個三角形的“費馬點”。作圖探究可以得到結論：

①當三角形的三個角均小于120°時，所求“費馬點”為三角形的正等角中心;

②當三角形有一內角大于或等于120°時，所求“費馬點”為三角形最大角的頂點。

學生通過自己作圖后結合教師基于GGB動畫講解，研究三角形的“費馬點”，將聽覺與視覺結合，進一步理解費馬點的作法與性質，培養學生觀察能力、作圖技能與歸納思維能力，形成模型思想。

1.3運用模型，體現價值

在學習并理解了“費馬點問題”后，便可以迅速準確的找到所求動點的位置，利用模型解決實際問題。

針對問題1：教師演示其動圖，并組織學生討論P在何處時PA+PB+PC最小，引導學生尋找策略解決問題。用GGB展示旋轉動圖3-1、3-2.將△APC繞C點旋轉60°得△A’P’C，連接PP’，，△PP’C為等邊三角形，由△APC≌△A’P’C可知，PA+PB+PC=BP+PP+P’A’，學生通過觀察P點在△ABC內運動的過程中圖形的變化，可知當BPP’A’在一條直線上BP+PP+P’A’=BA’時最短，即PA+PB+PC最小，如圖3所示，求得其最小值為2√3。

從簡單的等邊三角形的費馬點引入，通過圖形的旋轉，利用等邊三角形與全等三角形的性質，在GGB動態展示的基礎上，激發學生學習的興趣并幫助學生作出“費馬點‘并解決”費馬點問題’。

針對問題2：這個問題是典型的“費馬點問題”，E點在正方形內運動，求EB+EA+EC的最小值即是求△ABC中“費馬點”的問題，學生利用“旋轉”作出“費馬點”，根據兩點間線段最短求得最值，在GGB中展示△AEC繞C點順時針旋轉60°，連接EE’，觀察在E點運動的過程中，B、E、E’、A’位于一條線上時EB+EA+EC取到最小值，這是典型的“費么點問題”模型。

從實際出發，引用中考真題，學生自己作圖解決問題與教師利用GGB展示動點運動與三角形旋轉情況，既體現“費馬點”的實用性，又再一次加深學生對“費馬點‘的理解。

2.小結

探究性活動與信息技術的融合是值得研究的主題，隨著技術的革新與教學變革對老師提出的新挑戰、新要求，都需要不斷學習先進技術，豐富教學手段，提高學生學習興趣并在理論的支撐下使教學活動的設計更具科學性。初中幾何是學生學習的難點之一，通過GGB動畫展示旋轉、折疊，不僅是二維，也可以是三維，幫助學生在聽覺與視覺的雙重刺激下深入理解知識，運用知識。

參考文獻

[1]李景財1，胡細桃2.“費馬點”問題[J].初中數學教與學，2020，（第16期）.

[2]常世煒.初中數學中的費馬點問題[J].理科愛好者（教育教學），2019，（第3期）.