球坐標系中加速度形式的幾何求法

李子良

摘要球坐標系中加速度的推導是理論力學教學中的一個難點，然而目前常用的推導方法都過于抽象，不容易被學生理解和掌握。利用極限思想和運動合成與分解的思想通過幾何方法同樣可以推導出球坐標系的加速度形式，而且該推導過程比已有方法更加直觀，易于理解，有利于培養學生的空間想象力，還可用于大學物理和高中物理教學當中。

關鍵詞 極限思想 球坐標 加速度 幾何方法

中圖分類號：O311文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.22.013

Geometric Solution of Acceleration Form in Spherical Coordinate System

LI Ziliang

（Department of Physics， China University of Mining & Technology， Beijing 100083）

AbstractThe derivation of the particle acceleration in spherical coordinates is a difficult point in the teaching of theoretical mechanics. However， the commonly used derivation methods at present are too abstract to be easily understood and mastered by students. Using the limit thought and the idea of motion synthesis and decomposition， the form of the particle acceleration in spherical coordinates can also be deduced by a geometric method. Moreover， the derivation process is more intuitive and easy to understand than the existing methods， is beneficial to cultivate the spatial imagination of students， and can be introduced into the physics teaching of colleges and high schools.

Keywordslimit thought； spherical coordinates； acceleration； geometric method

球坐標系中加速度的推導是理論力學教學中的難點之一。目前常見的推導方法有坐標變換法，[1，2，3]轉動參考系法[4，5，6]和拉格朗日方程法，[7，8]由于后兩種方法較為抽象，不易理解，特別最后一種需要一定的分析力學基礎，所以部分理論力學教材省略了該推導過程。第一種方法操作起來較為直截了當，但是過于數學，缺乏物理思想，不利于學生對加速度產生原因的理解。本文利用極限思想和運動合成與分解的思想通過幾何方法推導出球坐標單位矢量隨時間的變化率，進而推導出球坐標系加速度的形式，該方法不僅直觀易懂，而且展示了加速度產生的幾何圖像，培養了學生的空間想象力。該推導方法有望用于大學物理和高中物理教學當中。為了便于理解具體的推導過程，我們先推導出極坐標系中速度和加速度的形式，然后推廣到球坐標系中。

1極坐標系中速度和加速度形式

3結束語

本文運用極限思想和運動合成與分解的思想從幾何的角度詳細推導出了極坐標系和球坐標系中速度和加速度的形式，推導過程比已有方法更直觀，易于學生理解和接受，同時提升了學生對加速度產生的理解。該推導過程有望引入到大學物理和高中物理教學當中，豐富學生的物理知識，加深學生對極限思想和運動合成與分解思想的理解和應用，培養學生的空間想象力。

基金項目：本文獲中國礦業大學（北京）教學項目（J200801）資助

參考文獻

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