和函數圖像的盒維數的一個注記

杜玉坤

（廣東茂名幼兒師范?？茖W校 理學院，廣東 茂名 525200）

維數是分形幾何的中心概念，其中盒維數是應用最廣泛的維數之一.文獻［1-2］給出了盒維數的定義.部分分形是以函數圖像的形式出現的［3-11］，當把眾多現象繪制為時間的函數時，就會顯示分形的特征，例如風速、股票數據等.本文先討論函數圖像盒維數的性質，再具體研究函數和圖像的盒維數，在理論和應用上對研究函數圖像的分形性質都具有重要意義.關于函數圖像的盒維數的具體詳細細節可以參考文獻［12］.

1 預備知識

定義1設f∶I→R是連續函數.設δ＞0，x∈I，記Of，δ（x）為函數f在點x的δ-振幅，即：

定義2設［a1，b1］∈I，函數f在［a1，b1］上的δ-變差Vf，δ［a1，b1］定義為f的δ-振幅在［a1，b1］上的積分：

在不產生混淆時，可以簡單地記為Vf，δ.

命題1設f，g∶I→R是連續函數，則Vf，δ-Vg，δ≤Vf+g，δ≤Vf，δ+Vg，δ.

引理1設f∶I→R是連續函數，有dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I）=inf.稱dimBГ（f，I）為函數f圖像的上盒維數，dimBГ（f，I）為函數f圖像的下盒維數.若：dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I），則稱這共同的值為函數f圖像的盒維數，記為dimBГ（f，I）.

命題2設f，g→I上的連續函數，如果Vf，δ＞|a|Vg，δ，則dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.

證dimBГ（f，I）==dimBГ（g，I）.

命題3f是I上的連續函數，若dimBГ（f，I）存在，則：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）（a≠0）.

證dimBГ（af，I）=sup

同理可證：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

由于dimBГ（f，I）存在，故dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

引理2如果dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），則dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.

引理3設f在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，則dimBГ（f，I）=2-s.

因此有如下幾個問題：（1）dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）時，對于dimBГ（f+g，I）我們能得到什么呢？（2）dimBГ（af+bg，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}，（a，b≠0）是可能的嗎？（3）若f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，那么對dimBГ（f+g，I），我們能得到什么結果？

2 定理及證明

定理1設f，g是I上的連續函數，若dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有：

證由假設可知，對于所有充分小的δ＞0，有Vf，δ＞Vg，δ，即max{Vf，δ，Vg，δ}=Vf，δ.由命題1和引理1得：

則由式（1）、（2）可以得到：

由式（1）可以得到：

由命題3知：

進而得到：

由式（3）、（4）可以得到：

進而由式（2）、（5）可以得到：

定理得證.

定理2［12］若f，g是I上的連續函數，且dimBГ（f，I）≠dimBГ（g，I），dimBГ（f+g，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}.

證不失一般性，設dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.由定理1得dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）；由引理2得dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.故：

推論2.1設f，g是I上的連續函數，若dimBГ（f，I）≠dimBГ（g，I），且a，b≠0有：

證當a，b≠0，由定理2得：

由命題3得：

進而推論得證.

下面討論f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件時，兩個函數和圖像的盒維數.

定理3設f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，則：

證由引理3知，dimBГ（f，I）=dimBГ（g，I）=2-s. 由于f，g在I上滿足一致與反一致s階赫爾德條件，則存在正常數c1，c2，d1，d2，使得對任意δ＞0，x∈I，有c2δs≤Of，δ（x）≤c1δs，d2δs≤Og，δ（x）≤d1δs.

對不等式兩邊積分，得：

由命題1知：

由引理1知：

故dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）=dimBГ（g，I）=2-s.

3 結語

本文首先證明了兩個函數圖像的盒維數都存在且不相等時，那么這兩個函數和圖像的盒維數是存在的，且等于這兩個函數圖像盒維數的最大值；其次證明兩個連續函數滿足一致與反一致s階赫爾德條件時，兩個連續函數和圖像的盒維數等于其中任何一個連續函數圖像的盒維數.