區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的不確定性研究

李龍妹,鄭婷婷,尹文靜

(安徽大學 數學科學學院,安徽 合肥 230601)

0 引言

現實世界中存在著大量的不確定、不完整的信息,Zadeh[1]提出的模糊集理論是解決這類問題的有效工具。許多學者在此基礎上進行了深入的研究,并推廣至直覺模糊集[2](Intuitionistic fuzzy set, IFS),區間直覺模糊集[3],畢達哥拉斯模糊集[4](Pythagorean fuzzy set,PFS)等。但當多位專家對某項決策出現猶豫不決、決策難以達成一致時,上述的模糊集方法顯得有些力不從心。為解決此類問題,Torra[5]提出了猶豫模糊集的概念,其元素的隸屬度是由一般模糊數組成的集合,從而包含所有專家在決策中產生的模糊信息。人們在猶豫模糊集的基礎上進一步研究,產生了對偶猶豫模糊集[6]、直覺猶豫模糊集[7]、區間直覺猶豫模糊集[8]等概念,這些理論已經成功應用到聚類分析、模式識別、多屬性決策等領域。現實世界可能會存在隸屬度和非隸屬度之和大于1的情形,此時在直覺模糊環境下就不能解決此問題。Yager[4]提出了畢達哥拉斯模糊集,其中隸屬度和非隸屬度的平方和小于等于1，顯然畢達哥拉斯模糊集的應用范圍比直覺模糊集更廣泛。近年來一些學者把猶豫模糊集和畢達哥拉斯模糊集結合在一起,提出了畢達哥拉斯猶豫模糊集,但不同的學者對此的定義不同,Khan[9]和Liang[10]認為任意一個元素的隸屬度與非隸屬度是兩個獨立的猶豫模糊數。Wei[11]認為一個畢達哥拉斯猶豫模糊數是幾個畢達哥拉斯模糊數組成的集合。Zhang[12]研究了區間畢達哥拉斯猶豫模糊集 (Interval-valued Pythagorean hesitant fuzzy set,IVPHFS),將每個區間畢達哥拉斯猶豫模糊數 (Interval-valued Pythagorean hesitant fuzzy element,IVPHFE) 視為幾個區間畢達哥拉斯模糊數 (Interval-valued Pythagorean fuzzy element,IVPFE) 的集合,該理論更適合描述復雜模糊的環境。她提出了IVPHFS的一些算子,并把它們應用到群決策問題中。Zheng[13]構造了一系列IVPHFS相關系數,并用它們去解決聚類和多屬性決策問題。到目前為止,關于區間畢達哥拉斯猶豫模糊環境下的不確定性問題的研究還很少。

模糊集的不確定性一直是模糊集理論的研究熱點之一。這其中最重要的度量指標就是熵和相似度。熵是度量不確定信息的重要組成部分。熵值越大,說明信息越模糊。相似度反映的是兩個模糊集之間的近似程度。相似度越大,說明兩個模糊集越接近。它們在模式識別、屬性決策、醫療診斷等領域都有非常廣泛的應用。1968年Zadeh[14]首先提出了模糊熵的概念,用于度量模糊集的模糊程度。Burillo和Bustiuse[15]進一步給出了直覺模糊熵的公理化定義。Mao[16]結合直覺度、模糊度和區間跨度提出了新的區間直覺模糊熵和混合熵的概念,并基于混合熵作為相似性度量成功應用于多屬性決策問題。Xu[17]給出了猶豫模糊熵、猶豫模糊集相似性度量的公理化定義。Peng[18]研究了畢達哥拉斯模糊集的各種信息測度間的關系,包括距離測度、相似度、熵等。Peng[19]還繼續推廣研究了區間畢達哥拉斯模糊集(Interval-valued Pythagorean fuzzy set,IVPFS)的相似度。然而目前對IVPHFS的模糊熵和相似度的研究還少見報道。為探究區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的不確定性,本文提出了區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準則,定義了區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵,并將其應用到屬性權重完全未知的區間畢達哥拉斯猶豫模糊多屬性決策中,為解決多屬性決策問題提供一種新的思路。

本文首先介紹了區間畢達哥拉斯模糊集和區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的定義和相關知識，然后定義區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的模糊因子和直覺因子,并給出區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準則。基于香農熵和兩個因子去構造區間畢達哥拉斯模熵,證明其符合公理化準則。之后基于模糊貼近度提出區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的相似性度量,在此基礎上給出了加權相似度公式。最后利用新提出的熵和相似度去解決畢達哥拉斯猶豫模糊環境下的多屬性決策問題。

定義1[2]設X是一個有限論域,稱A為論域X上的一個區間畢達哥拉斯模糊集IVPFS,定義為:

定義2[12]設X是一個有限論域,稱A為論域X上的一個區間畢達哥拉斯猶豫模糊集IVPHFS其定義為:

A={〈x,hA(x)〉|x∈X},

其中

當IVPHFEs中IVPFEs的個數全為1時,一個IVPHFS退化為一個IVPFS。當所有IVPFEs都滿足μ-=μ+,ν-=ν+時,一個IVPFS退化成一個PFS。當所有畢達哥拉斯模糊數滿足μ+ν≤1時,一個PFS退化成一個IFS。

1 區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵

熵可以有效地度量模糊信息,熵值越大,表明信息越模糊。考慮到區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的不確定性由模糊因子和直覺因子兩部分構成,下面給出模糊因子和直覺因子的定義:

定義3設A∈IVPHFS(X),則A的模糊因子定義為:

ΔA(x)=

A的直覺因子定義為:

ψA(x)=

下面根據模糊因子和直覺因子來定義區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準則:

定義4設映射E:IVPHFS(X)→[0,1],對于A∈IVPHFS(X),若E(A)=F(ΔA,ψA),且E(A)滿足以下準則:

(1)E(A)=0當且僅當A是X上的清晰集,即?x∈X,hA(x)={〈x,[1,1],[0,0]〉}或hA(x)={〈x,[0,0],[1,1]〉};

(2)E(A)=1當且僅當?x∈X,hA(x)={〈x,[0,0],[0,0]〉};

(3)E(A)=E(AC);

(4)E(A)隨ΔA(x)的增大而減小,隨ψA(x)的增大而增大。

則稱E(A)為區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵。

下面根據香農熵來定義區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵。

設G(x)=-[xlog2x+(1-x)log2(1-x)]是香農熵,其中x∈[0,1]。

定義5設A∈IVPHFS(X),定義:

定理1定義5中的E(A)是一個區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵。

(1)E(A)=0

??x∈X,hA(x)={〈x,[1,1],[0,0]〉}或

hA(x)={〈x,[0,0],[1,1]〉}。

(2)E(A)=1

??x∈X,hA(x)={〈x,[0,0],[0,0]〉}。

(4)設x=ΔA(x),y=ψA(x),

其中x∈[0,1],x2∈[0,1],y∈[0,1],y2∈[0,1]。對x,y求偏導,結果如下:

因此F(x,y)隨x的增大而減小,隨y的增大而增大,所以F(ΔA,ψA)隨ΔA(x)的增大而減小,隨ψA(x)的增大而增大。即E(A)隨ΔA(x)的增大而減小,隨ψA(x)的增大而增大。

綜上知定義5中的E(A)滿足定義4中的公理化條件。

2 區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的相似性度量

相似度可以衡量兩個IVPHFSs之間的差異,相似度越大,說明兩者越相近;相似度越小,則反映出兩者的區別越大。

采用Peng[20]的方法對IVPFEs從大到小依次進行排序。

分別為A和B的得分函數,

分別為A和B的精確函數。

(1) 如果K(A)>K(B),則A?B;

(2) 如果K(A)

(3) 如果K(A)=K(B),則

當H(A)>H(B),則A?B;

當H(A)

當H(A)=H(B),則A=B。

不同的IVPHFEs中IVPFEs的個數可能不同,為了解決這個問題,本文采用最小公倍數法[13]對IVPHFEs進行擴充。

對某個IVPHFE中的IVPFEs進行排序擴充后,基于模糊貼近度給出區間畢達哥拉斯猶豫模糊集的相似性度量。

定義8設A,B∈IVPHFS(X),則A與B之間的相似度定義如下:

s1(A,B)=

s2(A,B)=

其中

σ(j)表示IVPHFE中IVPFEs重新排序擴充后的第j大的IVPFE,LA(xi)為|hA(xi)|和|hB(xi)|的最小公倍數。

性質1設A,∈IVPHFS(X),定義8的5個相似度具有以下性質:

(1)0≤s(A,B)≤1;

(2)s(A,B)=s(B,A);

(3)s(A,B)=1?A=B。

證明下面以s1為例：

(2)顯然s1(A,B)=s1(B,A)。

(3)如果s1(A,B)=1,則

即

可得A=B。

如果A=B,則

可得

故s1(A,B)=1。

s2,s3,s4,s5的證明過程與s1類似。

例1 設A,B∈IVPHFS(X),X={x},其中

A={x,〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉,

〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉},

B={x,〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉,

〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉}。

如果不對其中的IVPFEs進行排序,以s1為例:s1(A,B)=0.7544。但經過排序后得到

A′={x,〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉,

〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉},

B′={x,〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉,

〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉}。

且s1(A,B)=s1(A′,B′)=1。

從上述例子會發現,在探討兩個IVPHFSs間的相似性時,我們需要對每個IVPHE先進行排序,如果不進行排序則相似度可能會不滿足性質1中的性質(3)。

當IVPHFS退化為IVPFS時,設A,B∈IVPFS(X),以s1為例:

s1(A,B)=

其中

當兩個IVPFSsA,B退化為PFSs時,

進一步,當A,B繼續退化為IFSs時,

其中

以上退化后所得s1均滿足性質1中的三條性質。

同樣可以發現s2,s3,s4,s5經過上述退化后與s1的情形類似,均滿足性質1中的三條性質。

定理2設A,B,C∈IVPHFS(X)。如果si(A,B)=1,si(A,C)=1,則si(B,C)=1 (i=1,…,5)。

證明由性質1中的(3)知si(A,B)=1 ?A=B,si(A,C)=1?A=C,所以B=C，因此si(B,C)=1 (i=1,…,5)成立。

上述討論的IVPHFSs中每個元素所占比重相同,但實際問題中,元素所占比重往往是不同的。下面介紹IVPHFSs的加權相似性測度。

顯然s6,s7,s8,s9,s10滿足性質1中的3條性質。

3 多屬性決策

在實際的決策問題中,不同屬性所提供信息的重要性可能是不同的,此時可通過屬性權重加以區分。熵可以有效地度量模糊信息,熵值越小,信息越清晰。當屬性權重完全未知時,我們可以通過熵權法來計算屬性權重。一個屬性的熵值越小,則屬性所占的權重越大,否則對于決策者來說,該屬性所提供的信息越不重要。

3.1 算法步驟

算法步驟如下:

(2)計算屬性權重

(1)

(3) 計算每個方案的貼近度

(2)

(4)對貼近度進行排序,ρi越大,則選擇Ai越優。

3.2 實例分析

一個投資公司根據Cj(j=1,2,3)這三個指標來評估四個方案Ai(i=1,2,3,4),其中C1和C2為效益型,C3為消費型,專家給出決策矩陣[15]如表1。

(1) 正理想解:

A+={{〈[0.5,0.8],[0.1,0.3]〉},

{〈[0.6,0.8],[0.1,0.2]〉},

{〈[0.3,0.4],[0.5,0.7]〉}};

負理想解:

A-={{〈[0.3,0.5],[0.1,0.2]〉},

{〈[0.3,0.5],[0.2,0.7]〉},

{〈[0.5,0.8],[0.2,0.3]〉}}。

(2) 通過公式(1)算得屬性權重結果如下:

ω1=0.326 2,ω2=0.322 0,ω3=0.351 8。

(3) 分別用s6,s7,s8,s9,s10來計算方案與正負理想解之間的相似度,再由公式(2)計算貼近度，表2為在5個相似度下方案的貼近度及其排序。

(4) 從表2可以看出ρ3總是最大的，即A3是最優方案。此結果與文獻[13]中的結果一致。

表1 區間畢達哥拉斯猶豫模糊決策矩陣

表2 排序

4 結論

區間畢達哥拉斯猶豫模糊集是區間畢達哥拉斯模糊集和猶豫模糊集的推廣，其在多屬性決策、聚類分析、模式識別等方面有廣泛的應用。本文首先提出了區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準則，基于模糊因子和直覺因子定義了一個區間畢達哥拉斯猶豫模糊熵。然后基于模糊貼近度提出了區間畢達哥拉斯猶豫模糊集間的相似性度量。最后用提出的熵和相似度去解決區間畢達哥拉斯猶豫模糊環境下的多屬性決策問題。實例結果證明了方法的合理性和有效性。