一種處理群體決策中個(gè)體偏好信息的新方法
——部分共識模型

張曙陽，李 磊

（江南大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 無錫 214122）

0 引言

群決策（Group Decision Making，GDM）是一項(xiàng)普遍存在于各類組織的關(guān)鍵性活動，組織中人事、預(yù)算等業(yè)務(wù)的制定，通常需要群體討論或會議完成。

在群決策中，多名決策者在溝通協(xié)商后表述自己的意見，并通過一定方法將個(gè)體觀點(diǎn)整合為群體觀點(diǎn)。決策者對群體觀點(diǎn)的認(rèn)可度越高，決策結(jié)果就更為合理，決策執(zhí)行就更為順利。因此在群決策中，促使決策者交流溝通，逐漸形成共識水平更高的群體觀點(diǎn)，是非常有必要的。

共識是一個(gè)相對模糊的概念，在理想情況下，共識應(yīng)是所有決策者的對某方案一致性觀點(diǎn)，此一致性觀點(diǎn)能完全代表群體意見。而實(shí)際上，完全共識是極難形成的。因此，更為溫和、折衷的共識標(biāo)準(zhǔn)，如除去一人的一致共識、除去兩人的一致共識，或是人的一致共識，在現(xiàn)實(shí)群體決策中是更為適用的。除去這些基于實(shí)數(shù)的共識測度，Kacprzyk引入了模糊多數(shù)的概念，利用模糊語言量詞定義了“軟共識（Soft Consensus）”測度［1，2］。

以數(shù)學(xué)方法達(dá)成共識的決策模型始于Coch及French的開創(chuàng)性研究，該研究表明，在制造業(yè)組織生產(chǎn)程序改變的決策中，如果受決策結(jié)果影響的個(gè)體能夠參與到?jīng)Q策過程，組織的生產(chǎn)率將更高、離職率將更低［3］。自此，共識決策理論不斷發(fā)展，其主要研究方向可以劃分為三類：

第一，最大共識水平?jīng)Q策模型。在此類模型中，共識水平通過個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)的相似度、距離測度等指標(biāo)計(jì)算得出，學(xué)者們求解最能被個(gè)體所接受、共識水平最高的群體觀點(diǎn)。近年來此類模型發(fā)展的趨勢，是將決策共識水平與個(gè)體偏好矩陣（模糊偏好關(guān)系、乘法偏好關(guān)系）的一致性水平共同優(yōu)化。

Jacinto基于目標(biāo)規(guī)劃理論，來最小化個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)的不相似度，并提出在“多數(shù)人原則”及“少數(shù)人原則”之間平衡的共識框架［4～6］。Fedrizzi最小化“個(gè)體至群體觀點(diǎn)的偏差”及“個(gè)體觀點(diǎn)變動值”的加權(quán)之和［7］。Lee在基于梯形模糊數(shù)的群體性決策中，定義了梯形模糊數(shù)的相似度系數(shù)，通過優(yōu)化專家權(quán)重，最小化個(gè)體評價(jià)矩陣與群體評價(jià)矩陣的加權(quán)不相似度［8］。Liu改進(jìn)了Lee的模型，為各個(gè)專家可承受的不相似度（妥協(xié)度）設(shè)定不同的上限［9］。Pegrycz提出“信息粒度（information granularity）”概念，利用信息粒度，將AHP法中個(gè)體偏好關(guān)系由單值拓展至區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)最大化共識水平及偏好矩陣一致性［10］，Cabrerizo將此法拓展至模糊綜合評價(jià)［11］。Dong提出了猶豫語言群決策環(huán)境下的共識決策模型，以共識水平超出設(shè)定閾值為約束條件，利用混合0-1規(guī)劃來最小化被調(diào)整觀點(diǎn)的數(shù)量［12］。

第二，基于“moderator”的共識決策模型。此類模型將共識水平視為決策質(zhì)量的指標(biāo)，當(dāng)群體觀點(diǎn)的共識水平小于設(shè)定閾值時(shí)，“moderator”將會向共識水平較低的個(gè)體提供觀點(diǎn)修改意見，并重新計(jì)算共識水平，當(dāng)共識水平超出閾值則停止迭代。

Herrera基于軟共識（Soft Consensus）理論，提出了面向語言及多粒度語言信息的共識支持系統(tǒng)（Consensus Support System，CSS），最早構(gòu)建了基于“moderator”的共識決策的基本框架［13～15］。Xu設(shè)計(jì)了達(dá)成共識的自動算法，當(dāng)相似度小于設(shè)定閾值時(shí)，程序?qū)⒆詣诱{(diào)整個(gè)體及群體偏好值，使共識水平超出設(shè)定閾值［16］。Alonso設(shè)計(jì)了一套基于“moderator”的共識決策支持系統(tǒng)，可以處理模糊、語言、多粒度語言偏好信息［17］。Chu定義了直覺模糊偏好關(guān)系的加性一致性，設(shè)計(jì)了自動迭代程序，使個(gè)體觀點(diǎn)逐漸向群體觀點(diǎn)靠攏，不斷提升評價(jià)矩陣的共識水平及一致性水平［18］。Wu基于社會信任網(wǎng)絡(luò)來計(jì)算個(gè)體權(quán)重，通過OWA算子集結(jié)得到群體觀點(diǎn)，并找出共識水平較低的個(gè)體建議其修改評價(jià)意見［19］。Zhang提出個(gè)體觀點(diǎn)的變動成本，應(yīng)與專家觀點(diǎn)質(zhì)量相關(guān)，并提出了不完全語言分布評估（Incomplete Linguistic Distribution Assessments，ILDA）的概念，當(dāng)個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)的共識水平不滿足標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，moderator會給個(gè)體反饋修改的意見［20］。

第三，最小共識成本決策模型。此類模型與最大共識水平模型較為相似，但優(yōu)化目標(biāo)并非共識水平最高，而是共識成本最低。共識成本是指改變個(gè)體觀點(diǎn)至群體觀點(diǎn)的所耗費(fèi)的調(diào)解成本，其取值通常為個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)偏差的線性或二次函數(shù)。

Ben-Arieh最早提出最小共識成本模型（Weighted Consensus at Minimum Cost Problem，WCMC），該模型需要找出最優(yōu)的群體觀點(diǎn)，以最小化個(gè)體觀點(diǎn)轉(zhuǎn)移至群體觀點(diǎn)的協(xié)調(diào)成本［21，22］。Ben-Arieh在WCMC基礎(chǔ)上，提出新的約束條件：（1）最小共識成本，并限定個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)的偏差在設(shè)定范圍內(nèi)；（2）在成本限制下最大化形成共識的專家人數(shù)。Zhang將集結(jié)算子與WCMC相結(jié)合，使用集結(jié)算子將個(gè)體觀點(diǎn)轉(zhuǎn)為群體觀點(diǎn)，Zhang主要研究了OWA 算子及其權(quán)重為的特例［23］。Zhang將結(jié)合OWA算子的WCMC模型轉(zhuǎn)為0-1整數(shù)規(guī)劃問題，并提供模型中OWA算子任意權(quán)重的解法［24］。Gong將區(qū)間數(shù)形式的個(gè)體觀點(diǎn)與WCMC相結(jié)合，并以線性規(guī)劃求解［25］。

本文研究對象為最小共識成本決策模型。本質(zhì)上，在以Ben-Arieh為代表的最小共識成本決策模型中，共識更類似于追求“一致同意”的完全共識［21，22］，共識成本的計(jì)算、群體觀點(diǎn)的形成，需要考慮所有個(gè)體觀點(diǎn)，而這存在兩個(gè)問題：

其一，部分因利益相關(guān)而擁有明顯偏好的個(gè)體，可能惡意操控自己的觀點(diǎn)，使得最終得出的群體觀點(diǎn)對己方有益，使群體觀點(diǎn)存在一定偏差。Zhang通過引入OWA算子，去除個(gè)體決策信息的極大與極小值，在一定程度上解決了此問題［23］。但OWA算子難以實(shí)現(xiàn)更為復(fù)雜的共識條件，更無法適用于難以排序的多維評價(jià)信息（區(qū)間數(shù)、直覺模糊數(shù)）。

其二，當(dāng)群體中大部分個(gè)體向小部分個(gè)體觀點(diǎn)妥協(xié)帶來的共識調(diào)解成本，大于該小部分個(gè)體可為群體帶來的收益時(shí)，考慮所有的個(gè)體觀點(diǎn)反而會降低群體的總效益。

因此，本文承接 Ben-Arieh及Zhang的研究［21～23］，基于最小共識成本決策模型，提出部分共識模型，即：共識調(diào)解成本的計(jì)算，應(yīng)只考慮滿足一定數(shù)量關(guān)系的個(gè)體，群體觀點(diǎn)的形成也應(yīng)只與這些個(gè)體相關(guān)。本文將“一定數(shù)量關(guān)系的個(gè)體達(dá)成共識”定義為“共識條件（Consensus Condition）”。如在“80%的個(gè)體形成共識”的共識條件下，部分共識模型求得的群體觀點(diǎn)，不僅共識調(diào)解成本最小，形成共識的個(gè)體數(shù)量，也會超出個(gè)體總數(shù)量的80%。

1 理論框架

1.1 最小成本的共識決策模型

假定群決策的決策者集為E＝｛e1，…，en｝，權(quán)重集為W＝｛w1，…，wn｝，oi表示第i名決策者的初始觀點(diǎn)表示其改變后的觀點(diǎn)，o表示基于n名決策者觀點(diǎn)而得到的群體觀點(diǎn)，ci為改變決策者i觀點(diǎn)付出的單位成本?，F(xiàn)有的幾種衡量個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)偏差的方法中，距離測度是最常用的方法之一。在最小共識成本的決策模型中，決策者i的觀點(diǎn)oi與群體觀點(diǎn)o的差值，以p-范數(shù)計(jì)算：

p可取1或2，分別代表Manhattan距離和Euclidean距離，p＝∞時(shí)，公式取值等于oi與o在單維度上的最大差值。Ben-Arieh最小成本下的加權(quán)共識 （Weighted Consensus at Minimum Cost，WCMC）問題，可表示為求解最優(yōu)觀點(diǎn)［21，22］：

Ben-Arieh給出p＝1時(shí)，該模型的求解算法?？紤]到?jīng)Q策者i在不同維度上的妥協(xié)成本不具備線性可加性，Ben-Arieh還給出觀點(diǎn)偏差等于（‖oi-o‖2）2時(shí)，模型的求解算法［21］。

Ben-Arieh提出，決策者觀點(diǎn)oi足夠接近群體觀點(diǎn)o時(shí)即可認(rèn)為形成共識，并無需額外調(diào)解成本，將其定義為共識下的最小成本（εConsensus at Minimum Cost，εWCMC）問題［21］。此時(shí)，εWCMC可表述為：

Zhang在εWCMC中引入OWA算子，新增約束條件，o＝Zhang利用權(quán)重為｛0，1／（n-2），…，1／（n-2），0｝的OWA算子，去除個(gè)體決策中的極大值及極小值，保障群體觀點(diǎn)的科學(xué)合理。

在群決策中，決策參與者都有自己的個(gè)體目標(biāo)，并且經(jīng)常戰(zhàn)略性地操縱偏好信息來實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo)。如為避免此問題，在奧運(yùn)體操項(xiàng)目中，在來自各國評委對運(yùn)動員表現(xiàn)打分之后，最大及最小評分將被舍去，運(yùn)動員的評分由剩余評委的評分算術(shù)平均得出［23］。

在WCMC中，衡量群體觀點(diǎn)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，是調(diào)解所有個(gè)體觀點(diǎn)所需耗費(fèi)的成本。成本是相對于收益的概念，組織支付調(diào)解個(gè)體觀點(diǎn)的成本，是因參與群決策的個(gè)體都會為組織帶來顯性或隱性的資源?；赪CMC決策過程中，部分個(gè)體將使群體觀點(diǎn)產(chǎn)生的偏移，以及帶來的調(diào)解成本，可能超出該部分個(gè)體為組織帶來的資源收益。換言之，將這部分個(gè)體排除在決策之外，組織雖減少一些可調(diào)動資源，但是會減少更多的調(diào)解成本，總效益反而更高。

此兩例表明，群決策中有意識的考慮在部分決策者內(nèi)形成共識，是非常有必要的。

決策者權(quán)重，是個(gè)體調(diào)動資源能力的重要體現(xiàn)，也可視為個(gè)體帶來收益的重要指標(biāo)。若形成共識決策者的權(quán)重和超出設(shè)定值，即可認(rèn)為組織可調(diào)動的資源滿足決策實(shí)施的要求。因此，在決策者權(quán)重超出設(shè)定值的情況下，本文將最小化個(gè)體的共識調(diào)解成本，設(shè)為優(yōu)化目標(biāo)。

1.2 最小成本的部分共識決策模型

定義1部分共識

決策者集為E＝｛e1，…，en｝，權(quán)重集為W ＝｛w1，…，wn｝，若基于滿足一定數(shù)量關(guān)系的、群體中的部分個(gè)體Q，得出群體觀點(diǎn)o，則稱o為部分共識：

部分共識的核心思想，是基于部分個(gè)體的觀點(diǎn)，得出綜合效益最高的群體觀點(diǎn)。

定義2共識條件

部分共識模型中，對部分決策者G1的數(shù)量關(guān)系要求，稱共識條件δ*。

決策者冪集為P（E），對任意決策者冪集的元素P1，P1∈P（E），若：

則稱，P1滿足共識條件，反之，則稱P1不滿足共識條件。共識條件δ*可視為決策實(shí)施所需要的、最低限度的可調(diào)度資源。若某一決策者組合P1滿足共識條件，則認(rèn)為其可調(diào)動足夠的資源支持決策，反之，則認(rèn)為P1并不擁有足夠的資源。

定義3共識空間

所有滿足共識條件δ*的、決策者冪集的元素為G（δ*），稱G（δ*）為當(dāng)前共識條件下的共識空間：

共識空間是所有滿足共識條件的、決策者的組合，是部分共識模型的優(yōu)化空間。共識空間內(nèi)的任一決策者組合，都可調(diào)動足夠的資源支持決策。

定義4部分共識模型

決策者觀點(diǎn)為oi，單位觀點(diǎn)偏差的調(diào)解成本為ci，共識條件為δ*，群體觀點(diǎn)o在共識空間的調(diào)解成本為C（o）：

c（GK，o）為促使部分決策者Gh達(dá)成群體觀點(diǎn)o需付出的調(diào)解成本。

部分共識模型下的最優(yōu)群體觀點(diǎn)為o*：

在形成共識的決策者中，達(dá)成群體觀點(diǎn)o*將付出最少的調(diào)解成本，此部分決策者滿足共識條件，其可調(diào)動的資源，也滿足決策實(shí)施需求。

2 部分共識模型的求解

部分共識模型的求解可劃分為三步：第一，生成滿足共識條件δ*的共識空間；第二，確定部分決策者中的最優(yōu)群體觀點(diǎn)；第三，確定所有決策者組合中的最優(yōu)群體觀點(diǎn)。

2.1 生成共識空間

共識條件為δ*，決策者集為E＝｛e1，…，en｝，決策者權(quán)重集為W ＝｛w1，…，wn｝，生成共識空間，可以視為找出所有權(quán)重和超過δ*的決策者集的子集。

此問題類似于子集和問題（Subset Sum problem）：給定集合S，找出元素和為t的所有子集。子集和問題是背包問題（Knapsack problem）的特例，也是NP-hard問題。

本文問題為找出所有元素和超出t的子集，難度更高，同樣為NP-hard問題，遍歷集合元素的所有組合是目前唯一可行的解法。當(dāng)t＝0時(shí)，算法需生成子集，算法時(shí)間復(fù)雜度為O（2n）。

在部分共識模型中，共識條件δ*代表決策可調(diào)用資源的水平，δ*一定大于0。因此針對δ*＞0時(shí)，本文對窮舉算法進(jìn)行優(yōu)化，跳過生成一定不滿足共識條件的子集，以提升算法的運(yùn)行效率。

算法1初始化：

（1）將權(quán)重W＝｛w1，…，wn｝集內(nèi)元素，按遞增規(guī)則進(jìn)行排序，得集合W′；

（2）設(shè)k＝0，B＝?，G＝?。

運(yùn)行步驟：

計(jì)算集合W′中第0個(gè)至第k個(gè)元素的和，記為sum（1：k），當(dāng)sum（1：k）≤1-δ*時(shí)：

結(jié)束：

將集合B內(nèi)滿足共識條件δ*的元素，添加至集合G：G←｛（e1，…，ek）｜Bi∈B，Bi＝｛w1，…，wk｝，

輸出G。

證明sum（1：k）＞1-δ*時(shí)，集合內(nèi)元素不滿足共識條件δ*。

將權(quán)重W＝｛w1，…，wn｝集按遞增進(jìn)行排序，得集合W′＝｛wσ（1），…，wσ（n）｝，wσ（1）≤wσ（2）≤…≤wσ（n）。

將sum（A）定義為對集合A內(nèi)元素求和，如sum（｛1，2，3｝）＝6。

因?yàn)閟um（1：k）＞1-δ*，所以sum（｛wσ（1），…，wσ（k）｝）＞1-δ*，所以sum（｛wσ（n+1-k），…，wσ（n）｝）＜1-δ*。

因?yàn)榧?W ′中前 k個(gè)最大的元素為｛wσ（n+1-k），…，wσ（n）｝，所以對所有，所以中元素均不滿足共識條件。

證畢

2.2 確定最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)

群決策的評價(jià)方式包括排序、效用值、偏好關(guān)系等，評價(jià)載體可劃分為單維度評價(jià)值（實(shí)數(shù)、模糊數(shù)等）及多維度評價(jià)值（區(qū)間數(shù)、直覺模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)等）。

在Ben-Arieh與Zhang的共識決策模型中，決策者給出的均為單維度評價(jià)值［21～24］。但多維度評價(jià)值在共識決策的相關(guān)研究中常有出現(xiàn)，如Lee的梯形模糊數(shù)、Liu的區(qū)間模糊偏好關(guān)系、Chu的直覺模糊偏好關(guān)系等研究［8，9，18］。

因此，基于Ben-Arieh的研究，本文給出部分共識模型在單維度及多維度評價(jià)值下的求解算法。

決策者集為E＝｛e1，…，en｝，決策者權(quán)重集為W＝｛w1，…，wn｝，評價(jià)方案集為F＝｛f1，…，fm｝，評價(jià)屬性集為A＝｛a1，…，ap｝，ci為改變決策者觀點(diǎn)付出的單位成本。

2.2.1 單維度評價(jià)值

Chiclana的研究表明，在基于Moderator的共識決策模型中，相較于其它距離函數(shù)，Manhattan及Euclidean距離函數(shù)可加速群體共識的形成［26］。因此，本文與Ben-Arieh一致，以Manhattan距離計(jì)算決策者的觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)的差值：

共識空間G（δ*）可由算法1求得，對共識空間G（δ*）內(nèi)決策者組合Gh，該決策者組合的最優(yōu)群體觀點(diǎn)記為向量，向量的第t行值記為

算法2：

初始化：

將名決策者觀點(diǎn)按遞增規(guī)則進(jìn)行排序，oσ（1），t≤oσ（2），t≤…≤oσ（u），t，設(shè)L＝｛1｝，R＝｛u｝，l＝1，r＝n。

運(yùn)行步驟：

當(dāng)L≠r時(shí)：

結(jié)束：

輸出oσ（r），t，oσ（r），t為最佳群體觀點(diǎn)。

算法的有效性證明見Ben-Arieh［21］。

2.2.2 多維度評價(jià)值

當(dāng)決策者給出多維度評價(jià)值時(shí)，其評價(jià)向量記為oi＝（oi，1，…oi，m×p），第t行評價(jià)信息記為oi，t。若評價(jià)信息維度為d，則當(dāng)d≥2時(shí)，無法直接用p范數(shù)計(jì)算向量oi與o的差值。因此，首先以p范數(shù)計(jì)算向量t行評價(jià)信息oi，t與ot的偏差：

p＝1時(shí)，評價(jià)信息各個(gè)維度上的偏差存在可加性。舉例而言，若ot＝［0，1］，此時(shí)ot與［3，4］和［0，7］的偏差相同，均為6。但從概率角度，［0，7］的偏差顯然要更高，取p＝1并不適當(dāng)。p＝2時(shí)，oi，t與ot差值等同于其Euclidean距離，最優(yōu)群體觀點(diǎn)與所有個(gè)體觀點(diǎn)的Euclidean距離之和最小。此問題等同與物流選址領(lǐng)域經(jīng)典的Fermat點(diǎn)問題，雖已有成熟的方法予以解決（重心法、梯度下降法、牛頓法、模擬植物生長算法等），但計(jì)算消耗稍高，且會增大模型的復(fù)雜程度。

Ben-Arieh提出以2范數(shù)的平方，衡量個(gè)體觀點(diǎn)與群體觀點(diǎn)的偏差［21］，在此距離函數(shù)下，多維度評價(jià)值的偏差等于：

對共識空間G（δ*）內(nèi)決策者組合Gh，該決策者組合的最優(yōu)群體觀點(diǎn)記為向量，向量t行值為等于：

此時(shí)，該問題轉(zhuǎn)為易于解決的最小二乘問題。設(shè)：

2.3 確定最優(yōu)群體觀點(diǎn)

部分共識模型下的最優(yōu)群體觀點(diǎn)，有著最小的共識調(diào)解成本。3.2節(jié)已完成在任意決策者組合Gh中，求解調(diào)解成本最小的、部分最優(yōu)群體觀點(diǎn)的共識調(diào)解成本為：

因此，確定最優(yōu)的群體觀點(diǎn)，僅需計(jì)算所有決策者組合、在其部分最優(yōu)群體觀點(diǎn)下的調(diào)解成本，并從中選出最小值即可：

3 基于部分共識模型的群決策方法

本文構(gòu)建的部分共識模型框架適用于群決策中的單維度及多維度評價(jià)值，現(xiàn)分別給出實(shí)數(shù)及直覺模糊數(shù)的群決策方法。

決策者集為E＝｛e1，…，en｝，決策者權(quán)重集為W＝｛w1，…，wn｝，評價(jià)方案集為F＝｛f1，…，fm｝，評價(jià)屬性集為A＝｛a1，…，ap｝，ci為改變決策者i觀點(diǎn)付出的單位調(diào)解成本，δ*為群決策的共識條件。

3.1 基于實(shí)數(shù)的群決策方法

使用部分共識模型，處理基于實(shí)數(shù)的群決策問題，具體步驟如下：

Step 1使用算法1，得到共識條件δ*下的共識空間G（δ*）。

Step 2對共識空間內(nèi)的任意決策者組合Gh，使用算法2，確定最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)。

Step 3使用公式（19），計(jì)算所有決策者組合G（δ*）中的最小共識調(diào)解成本C。取C中最小值，并將最小值對應(yīng)的評價(jià)向量確定為最優(yōu)群體觀點(diǎn)o*，從而得到最優(yōu)決策方案。

3.2 基于直覺模糊數(shù)的群決策方法

首先給出直覺模糊數(shù)的基本定義。

定義5［27］設(shè)X是一個(gè)非空集合，則稱

為直覺模糊集，其中μA（x），vA（x）分別是X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度：

為X中元素x屬于A的猶豫度，稱α＝（μα，vα）為一個(gè)直覺模糊數(shù)（IFN）。

定義6［28］對直覺模糊數(shù)α＝（μα，vα），其得分函數(shù)S為

s（α）∈［-1，1］，s（α）為α的得分值。

使用部分共識模型，處理基于直覺模糊數(shù)的群決策問題，具體步驟如下：

Step 1使用算法1，得到共識條件δ*下的共識空間G（δ*）。

Step 2對共識空間內(nèi)的任意決策者組合Gh，使用公式（18），確定最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)。

Step 3使用公式（19），計(jì)算所有決策者組合G（δ*）中的最小共識調(diào)解成本C，取C中最小值，將最小值對應(yīng)的評價(jià)向量確定為最優(yōu)群體觀點(diǎn)o*。

Step 4使用公式，計(jì)算評價(jià)向量o*中各個(gè)選擇項(xiàng)的得分，從而得到最優(yōu)決策方案。

4 算例

算例1本算例改編自Zhang［23］，在準(zhǔn)備購置一處公寓時(shí)，5名家庭成員對5個(gè)備選項(xiàng)進(jìn)行評價(jià)，選擇項(xiàng)記為fr，r＝1，…，5，5名家庭成員記為ei，i＝1，…，5權(quán)重向量為（0.2，0.3，0.1，0.2，0.2）T。家庭成員ei以區(qū)間［1，5］內(nèi)實(shí)數(shù)評價(jià)備選項(xiàng)fr，記為，其取值越高，偏好程度越強(qiáng)。

共識調(diào)解成本為｛c1，c2，c3，c4｝＝｛1，1，1，2，2｝，共識條件為δ*＝0.8。以本文提出的部分共識模型處理決策信息，初始評價(jià)值為表1。

Step 1生成共識空間，使用算法1，求解權(quán)重和超過δ*＝0.7的所有決策者組合G（δ*），得表2。

表1 備選項(xiàng)評價(jià)值

表2 共識空間

表3 最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)

表4 最小部分共識成本

Step 2使用Ben-Arieh提出的算法2，求解各決策者組合的最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)，得表3。

Step 3使用公式，計(jì)算各決策者組合的最小部分共識成本，得表4。最小部分共識成本為3.5，因此為最優(yōu)群體觀點(diǎn)＝［3，4，2，2，4］，備選項(xiàng)2和4為最優(yōu)選擇。

值得注意的是，本算例中決策者組合G0包括全部決策者，其最優(yōu)群體觀點(diǎn)為，但共識調(diào)解成本卻截然不同。這是因?yàn)椴糠止沧R模型以綜合效益最大化為目標(biāo)，僅對可調(diào)動資源滿足決策需求的決策者群體進(jìn)行調(diào)解。

算例2本算例改編自O(shè)uyang［29］，一家制造公司需要選擇某個(gè)關(guān)鍵零部件的供應(yīng)商，假定存在5個(gè)選擇項(xiàng)fr＝，r＝1，…，5，4名評審專家ei，i＝1，…，4，專家權(quán)重向量為（0.3，0.2，0.3，0.2）T。評審專家使用直覺模糊數(shù)（Intuitionistic Fuzzy Values，IFVs），從產(chǎn)品成本（a1）方面評估各個(gè)潛在供應(yīng)商的表現(xiàn)，專家ei對供應(yīng)商fr的評價(jià)記為

表5 備選項(xiàng)評價(jià)值

共識調(diào)解成本為｛c1，c2，c3，c4｝＝｛1，1，1，2｝，共識條件為δ*＝0.8。以本文提出的部分共識模型處理決策信息，初始評價(jià)值為表5。

Step 1生成共識空間，使用算法1，求解權(quán)重和超過δ*＝0.8的所有決策者組合G（δ*），得表6。

Step 2使用公式，求解各決策者組合的最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)，得表7。

表6 共識空間

表7 最優(yōu)部分群體觀點(diǎn)

Step 3使用公式（19），計(jì)算各決策者組合的最小部分共識成本，得表8，最小部分共識成本為0.5，因此為最優(yōu)群體觀點(diǎn)。

表8 最小部分共識成本

Step4 使用公式（26）計(jì)算向量中模糊評價(jià)值的得分，得因此，供應(yīng)商5是最優(yōu)選擇。

5 結(jié)論

本文改進(jìn)了Ben-Arieh及Zhang的最小共識成本決策模型。在界定了部分共識、共識條件、共識空間的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建了部分共識模型，提出了一種處理群決策中單維度、多維度個(gè)體評價(jià)信息的新思路：群決策中群體觀點(diǎn)的形成，應(yīng)僅基于群體中、滿足一定數(shù)量關(guān)系的部分個(gè)體。在保障形成共識的部分個(gè)體所調(diào)動資源滿足決策實(shí)施的前提下，規(guī)避因利益相關(guān)而持有極端觀點(diǎn)的個(gè)體，同時(shí)也避免絕大多數(shù)個(gè)體向少部分個(gè)體妥協(xié)造成的群體總效益下降。

本文給出了共識空間及最優(yōu)群體觀點(diǎn)的求解算法，證明了算法的有效性，同時(shí)還給出在部分共識模型框架下，基于實(shí)數(shù)及直覺模糊數(shù)兩類評價(jià)值的群決策方法。實(shí)際案例的分析結(jié)果，表明了本文方法的實(shí)用性和可行性。