從直觀的“數(shù)”走向抽象的“量”
——例談單“1”的滲透

■南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 胡曦茜

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是數(shù)的概念的一次擴(kuò)展，更是學(xué)生在“數(shù)的認(rèn)識”領(lǐng)域的一次認(rèn)知飛躍。對于分?jǐn)?shù)的理解，需要突破對“整體與部分”相對性的理解，即一個(gè)量在某些情境中是整體，而換一個(gè)情境就是部分。因此，在分?jǐn)?shù)意義建構(gòu)過程中的“整體認(rèn)知”教學(xué)，需要引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知從“數(shù)”到“量”的思維轉(zhuǎn)變。

一、問題的提出：錯(cuò)誤的本質(zhì)在哪里

《分?jǐn)?shù)的意義》這一節(jié)概念課一直是小學(xué)概念教學(xué)的難點(diǎn)，這一節(jié)課上完，學(xué)生往往能流暢地模仿著書本上的定義，流暢地說出的意義，而對具體情境中分?jǐn)?shù)的意義卻產(chǎn)生模糊的理解。例如：一節(jié)數(shù)學(xué)課是小時(shí)，如果問學(xué)生“的意義是什么？”學(xué)生能回答：把單位1 平均分成3 份，表示其中的2 份。那么究竟是把誰平均分成了3份？誰占其中的兩份？學(xué)生往往會誤以為把一節(jié)數(shù)學(xué)課平均分成3份。這樣的錯(cuò)誤本質(zhì)上有兩個(gè)：1.沒有理清整體與部分的關(guān)系。想要在具體情境中理解單位“1”的意義，首先要理清誰是整體，誰是部分。整體與部分對應(yīng)著這節(jié)課里兩個(gè)最核心的概念：單位“1”與分?jǐn)?shù)單位，如果再細(xì)一些，鋪墊幾個(gè)問題，教師提問：“這句話中把誰看作一個(gè)整體，要把誰平均分？分完以后每一部分是誰？”學(xué)生就能更準(zhǔn)確地找到答案。2.沒有理解平均分的本質(zhì)。分?jǐn)?shù)的概念與平均分密不可分，為何要分？學(xué)生對于平均分還停留對具體物體平均分這樣淺層直觀的平均分上，而“一節(jié)數(shù)學(xué)課是小時(shí)”這句話中沒有明確直觀地提到“分”這個(gè)動(dòng)作，它是抽象地分，因此學(xué)生不能主動(dòng)想到要將誰“平均分”，所以也找不到被“分”的主人，就是單位“1”。

二、突出矛盾，找準(zhǔn)概念理解的切入點(diǎn)

對于概念的引入，教師應(yīng)該充分考慮學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，特別是對于單位“1”的概念。在學(xué)生之前的學(xué)習(xí)中，雖然沒有引入“單位1”這個(gè)名稱，但學(xué)生對其意義已經(jīng)有初步的體會。向前看一個(gè)概念，追溯學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)有哪些，理解的困難在哪里；向后看這個(gè)概念，思索它的數(shù)學(xué)意義是什么，和其他概念之間的聯(lián)系，這樣我們的教學(xué)才能從學(xué)生的實(shí)際需要出發(fā)，找到意義建構(gòu)的切入點(diǎn)和銜接點(diǎn)。

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：1.回顧：通過分一塊蛋糕和一盤桃子回憶：一個(gè)物體和一個(gè)整體都可以被平均分。2.今天我們又要來認(rèn)識分?jǐn)?shù)了，還能研究些什么呢？我們一起來看一下教材。出示單位“1”的定義。3.引發(fā)學(xué)生思考：這句話里有2 個(gè)1，第一個(gè)是自然數(shù)1，第二個(gè)加了一個(gè)雙引號，還在前面加了兩個(gè)字：單位。單位“1”又是什么意思呢？這就是我們今天的研究重點(diǎn)，想要研究他，還是要從1開始。

這一段教學(xué)設(shè)計(jì)，先從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)引入，分一個(gè)蛋糕和一些桃，都可以得到分?jǐn)?shù)，平均分的主體對象，可以是一個(gè)物體，也可以是一個(gè)整體。再將概念中兩個(gè)“1”的不同直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突。孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，產(chǎn)生認(rèn)知沖突是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念的必要條件。

三、對比提升，創(chuàng)設(shè)概念理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)

單位“1”量的屬性是理解上的難點(diǎn)，從簡單的活動(dòng)入手，能更直觀地讓學(xué)生感受到“量”和“數(shù)”的區(qū)別。數(shù)數(shù)的原理是只有確定了誰是1個(gè)，才有第二個(gè)，他們合在一起就是2個(gè)?！?”一直存在，那它和自然數(shù)1有什么不同？所以，我先帶著學(xué)生理解了數(shù)數(shù)的本質(zhì)，在數(shù)數(shù)中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)單位“1”的內(nèi)涵比自然數(shù)1更為豐富。

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

從數(shù)字1到認(rèn)識單位“1”

1.出示一個(gè)月餅，它可以用“1”表示，那么2個(gè)月餅是幾？明確：2個(gè)“1”是2，因?yàn)椤?”是一塊月餅，所以兩塊月餅就是2個(gè)“1”。2.出示一個(gè)計(jì)量單位：一米長的線段可以看作“1”嗎？那么一根2米長的線段表示幾？明確：如果1米長的線段是“1”，那么2米長的線段就是“2”。因?yàn)?個(gè)“1”是“2”。3.出示一個(gè)整體，（6個(gè)圓形）它可以看作1嗎？學(xué)生會認(rèn)為應(yīng)該看作6，引導(dǎo)學(xué)生，如果1個(gè)圓是“1”，那么6個(gè)圓是“6”，可如果我用一個(gè)圈把這6個(gè)圓圈起來，看作一個(gè)整體呢？它就可以看作1.出示12個(gè)圓，提問：“這是幾？”如果把4個(gè)圓形看作“1”呢？12個(gè)圓形是幾？怎么數(shù)的？4.總結(jié)：剛剛我們從1數(shù)到了2還數(shù)到了3，我們一起來回顧一下：這里的一個(gè)月餅，他是一個(gè)物體，一根一米長的線段，他是計(jì)量單位，一堆圓形，他是一個(gè)整體，他們都可以用“1”表示，這里的1和我們說的1個(gè)月餅的1一樣嗎？5、出示概念：無論是一個(gè)物體也好，一個(gè)計(jì)量單位也好，一個(gè)整體也好，只要把他們看作“1”，我就能數(shù)出“2”“3”，那這里的一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)整體相當(dāng)于一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)，在數(shù)學(xué)上，度量標(biāo)準(zhǔn)也叫度量單位，今天我們給他起一個(gè)新的名字，就叫：單位“1”。

從數(shù)數(shù)的過程中，學(xué)生首先應(yīng)該體會：1 不同，2也不同，能數(shù)到2,3,4……取決于誰是“1”，所以這里的1不是自然數(shù)1，而是一個(gè)物體、一個(gè)整體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位等。他們有的形象可以看見，有的抽象，需要自己去想象。單位“1”概念的由來是從學(xué)生熟知的數(shù)數(shù)的過程中產(chǎn)生的，學(xué)生產(chǎn)生了“需要有一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)”這樣心理需求，單位“1”這個(gè)概念的出現(xiàn)就水到渠成、順理成章了。像這樣，從個(gè)例推廣到一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象或規(guī)律，學(xué)生才能真正把握“數(shù)”的整體意義和“量”的平均分含義，不會因?yàn)榫唧w“數(shù)”而影響對“量”的整體認(rèn)知的建立，從而有效促進(jìn)分?jǐn)?shù)知識結(jié)構(gòu)的自然形成和概念意義的深度理解。

四、圖形表征，感受概念理解的抽象化過程

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是一個(gè)復(fù)雜的過程，學(xué)生只有對學(xué)習(xí)材料進(jìn)行觀察、思考、分析、對比，才能從中抽象出概念的本質(zhì)屬性。在單位“1”概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生理解了單位“1”是一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)后，整數(shù)的產(chǎn)生就是這樣一直數(shù)下去，而分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，就是把單位“1”平均分。分?jǐn)?shù)的意義凸顯了整體和部分的聯(lián)系，平均分是將單位“1”分成了許多部分，沒有部分，何來整體？因此，單位“1”的概念的完善，需借助圖形表征，體驗(yàn)平均分的過程。理解了分?jǐn)?shù)表示的部分與整體的關(guān)系，學(xué)生對單位“1”意義的構(gòu)建將更加完善。

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：出示3 幅圖，分別有3 個(gè)桃子、6個(gè)桃子和12 個(gè)桃子。你能在每個(gè)圖里涂色表示出嗎？（1）交流：第一步都是做什么，怎么表示出平均分成了3份（等分線）？（2）那這三幅圖，總數(shù)不同，涂色的桃子的個(gè)數(shù)也不同，為什么都能表示呢？（3）小組討論：你覺得在一個(gè)分?jǐn)?shù)中，分子和分母分別表示什么？

不同的數(shù)量，卻可以用同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示，這樣的操作經(jīng)驗(yàn)下，學(xué)生明白今天所研究的分?jǐn)?shù)并不表示一個(gè)具體量，它只表示一個(gè)部分占整體的幾分之幾，這個(gè)整體也就是單位“1”。單位“1”變了，同樣一個(gè)分?jǐn)?shù)，它所對應(yīng)的具體量就發(fā)生了改變。對分?jǐn)?shù)意義內(nèi)涵和外延的理解和把握，需要在學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和知識水平基礎(chǔ)上，以整體的眼光進(jìn)行思考，以整體的思維進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知，才能在建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的過程中，促進(jìn)學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的重建和從“數(shù)”到“量”的整體認(rèn)知的思維轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心知識的“再創(chuàng)造”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“再發(fā)展”。